CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phương pháp:
+ So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0
Chú ý:
0 0 0
0 0
A B A
B
Hoặc:
0 0 0
0 0
A B A
B
+ Tìm x nguyên để P nguyên: P A Z B U A
B
+ Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k Z )
+ Tìm Min Max của
A P B
: Nếu bậc của tử bậc của mẫu: chia xuống chú
ý dấu bằng xảy ra
Chú ý SD BĐT: a b 2 ab
Bài 1: Cho biểu thức:
(x 1) 1 2x 4x 1 x x
x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A > -1
HD:
a, Rút gọn được:
2
x 1 A
x 1
b, Để A 1 thì
Do đó x 2 x 2 và x 1 phải cùng dấu
mà
2
2 4
nên x 1 0 x 1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1, x 0, x 1 thì A > -1
Bài 2: Cho biểu thức:
2
3 x 3x 27 3x x 3
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A < -1.
Trang 2ĐKXĐ: x 0, x 3, x 3
a, Rút gọn được:
x 3 A
x
b, Để A 1 thì
x 0
(vì 3 > 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 0, x 3 thì A <-1
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A>0
HD:
a, ĐKXĐ: x 1
Ta có:
2
1 2 1 2
A
b, Để
1
2
A x x
, Đối chiếu với điều kiện ta được: 1
1
2
x
Bài 4: Cho
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận gí trị nguyên
HD:
a, Ta có: a3 4a2 a 4 a a 2 1 4 a2 1a 1 a 1 a 4
Và
ĐKXĐ: a1,a2,a4 Rút gọn ta được:
1 2
a P a
b,
a P
Để P nguyên khi a-2 là ước của 3 =>a 1;3;5
Trang 3Bài 5: Cho biểu thức:
3
4
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị cảu M khi
1 2
x
HD:
ĐKXĐ: x0,x2
a,
3
4
x
x M
x
b, Khi
hoặc
1 2
x
Bài 6: Cho biểu thức:
2
2: 10 25
D
a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức:
HD:
a, ĐKXĐ: y2,x0,x5
Khi đó:
2 2
D
2
.
b, Vì x2 x 2 4 y2 4xy0
x 2y2 0
và x 2 0
7
2, 1
3
Bài 7: Cho
A
x 0,y 0,x 2 ,y y 2 2x2
Trang 4a) Rút gọn biểu thức A
b) Choy 1 Hãy tìm x để
2 5
A
HD:
a,
A
1
2
x y x
A
2
1
x y x
A
2
5
x
x 1 4 x2 4x 7 0
x 1
Bài 8: Cho biểu thức:
1
Q
x
a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị cảu Q biết :
3 5
4 4
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
HD:
a,
1
Q
x
2
2
x x
2
2
x x
2 2
2
x x
, ĐK: x 0; 1;2
1
x Q
b, Với
x x
hoặc x 2 (Loại) Với
2
c, Để Q Z x 3; 2;1
Trang 5Bài 9: Cho biểu thức:
A
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A>0
c) Tính giá trị của A trong TH x 7 4
HD:
ĐKXĐ: x 0, 2,3
Ta có:
A
2
.
b, Để
2
4
3
x
x
c, Khi x 7 4 x11 hoặc x 3 (loại), Thay vào A
Bài 10: Cho biểu thức:
2
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A=-1
c) Tìm các giá trị của x để A<0
HD:
a, ĐKXĐ: x0,x 2
2 2
A
.
b, Để 1 4 2 1 4 2 3 0 1 4 3 0
3
x
x
c, Để
2
3
x
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên:
Trang 62 2
M
x
HD:
ĐKXĐ: x 0,x 2
2
M
x
4 4 4
M
2
2 2
.
2
M
x x
Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay
1
x x
nguyên, Mà
Bài 12: Cho biểu thức:
2
P
x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4
HD:
a,
2
1
P
x
1
P
x
2 2
2
P
x x
b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4
ĐK x1,x2 , Để P nguyên thì
x
Với x=3 thỏa mãn
Trang 7Bài 13: Cho biểu thức:
2
A
HD:
ĐKXĐ: x0,x6
Ta có:
2
A
2
.
.
x
Bài 14: Cho biếu thức:
2 2
4
x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A biết
1 2
x
c) Tìm giá trị của x để A<0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
HD:
A, Rút gọn A ta được:
1 2
A x
c, Để A 0 x2
2
x
Bài 15: Rút gọn biểu thức: 2 2
x A
x
HD:
2
1
x
A
Bài 16: Tính giá trị của biểu thức:
A
x y z
1 ,y , 3
HD:
Trang 8
x y z x y z x y z x y z
A
x y x y z
, Vì x y x y z , 0,x y z 0 Thay x, y, z vào ta được:
1 2 3
A
Bài 17: Tìm số tự nhiên n để
2
1
A
n
, có giá trị nguyên
HD:
8
1
n
n
, Khi A nguyên thì n8n2 1 và
2
1 7 0;1;2;3
, thử lại chọn n=0 ; 2 Bài 18: Cho biểu thức: 3 2
3 3
1
x A
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm GTLN của A
HD:
a,
x x
A
b, Để A nhận giá trị nguyên thì: x2 1 U 3 3; 1;1;3
Nếu x2 1 1 x 0,A 3
Nếu x2 1 3 x 2 A1
c, 2
3 1
A
x
lớn nhất khi x 2 1 nhỏ nhất, mà x2 1 1, x R
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<0
HD:
a, Rút gọn
2
1 2
P
x
b, Để
x
Trang 9Bài 20: Cho biểu thức:
.
K
a) Rút gọn K
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
HD:
a, ĐKXĐ: x 1;2;3
.
K
2
x K
2
2 1
x K
b, Nếu x 0 K 0
Nếu
2 2
2
0
, vậy K lớn nhất bằng
2
3 khi x= - 1
Bài 21: Cho phân thức :
2
A
a) Rút gọn phân thức :
b) Tìm giá trị của phân thức khi x=4
HD:
a, ĐKXĐ: x1,x 3
2
A
Bài 22: Cho biểu thức :
A
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A
HD:
a, ĐKXĐ: x 1
Ta có:
A
2
1
A
Trang 10b, Ta có:
2
2
A
x
8 15
Bài 23: Cho biểu thức:
2 2
2
5 6
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
HD:
a, ĐKXĐ: x2;x 3
3
A
x
b,
x A
, đề A nguyên thì 4 3 4
Bài 24: Cho biểu thức :
2 2
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết: 2x2 5x 2 0
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 25: Cho biểu thức:
2 2
4
A
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 4
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 26: Cho biểu thức:
2
2 2
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A khi x2 7x 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức: 2
A
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A biết: x2 6x 8 0
Trang 11Bài 28: Cho
M
a) Rút gọn M
b) Tìm x để
3 5
M
c) Tìm x Z để M Z
Bài 29: cho biểu thức:
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P 3x
c) Với x > 1, Hãy so sánh P với 3
Bài 30: Cho biểu thức: 2
9
A
x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2
c) Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên âm Bài 31: Cho biểu thức: 2
B
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị cảu B khi x= -3
c) Tìm x nguyên để biểu thức B có giá trị là 1 số nguyên
Bài 32: Cho biểu thức:
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P biết x 5 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4
d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
Q P
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=0, P=
1 4 c) Tìm giá trị của x để P>0, P<0
Trang 12Bài 34: Cho biểu thức:
:
1
2 1
P
,(x0,x1) a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để
1 2
c) Tìm GTNN của P khi x > 1
Bài 35: Cho
2
A x
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi
3 2
2017 1
2017 2016
Bài 36: Cho biểu thức:
A
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị cảu x để A nguyên dương
Bài 37: Cho biểu thức:
3
P
a) Tìm điều kiện của P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các số nguyên x để
1
P nhận giá trị nguyên