PT MU LOGARIT NGUYỄN bá cư

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I.. Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

 n

n thua so

a  a.a a (n Z ,n 1,a R)   

 a 1a ; a

 a 0 1 ; a 0 

 a n 1 n

a

  ; (n Z ,n 1,a R / 0 )     



m

n m n

a  a ; ( a 0;m,n N  )



m n

n

a

a a



2 Các tính chất :

 a a m n a m n

 a m n a m n

a





 (a ) m n(a ) n m a m.n

 (a.b) n a b n n

 ( ) a n a n n

b  b

3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ; ( a > 0 , a1 )

 Tập xác định : D R

 Tập giá trị : T R  ; ( a x0  x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R

 Đồ thị hàm số mũ :

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

log N M a  dn a M N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi a 0,a 1



 



2 Các tính chất :

 log 1 0 a  log a 1 a 

 log a a M M a log N a N

 log (N.M) log N log M a  a  a log ( ) log M log N a M a a

 log N a   .log N a ; N >0 Đặc biệt : log N a 2 2.log N a

3 Công thức đổi cơ số

 log N log b.log N a  a b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

 a

b

1 log b

log a

 và k a

a

1

k



4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định : D R  

 Tập giá trị T R 

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x a đồng biến trên R 

* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R 

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

Đạo hàm

1. x ' x

a = a lna;  u ' u

a = a lna.u'

2  x ' x

e = e ;  u ' u

e = e u'

3  a 

log x =

xlna;  a 

' u' log u =

u.lna

4   ' 1

lnx = ,(x > 0)

ln u =

u, (Trong đó U = U(x) có đạo hàm theo x)

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT MŨ VÀ PT LOGARIT

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x

O

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản: a M

= a N M = N và a X  b X loga b b; 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2 3 2 1

2

4

x x 

HD: 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 2

4

x x   x  x  

3

x

x





           

 Vậy phương trình có nghiệm: x0,x 3

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :

2 3 1 1

3 3

x x

  

 

 

HD:

2

2

3 1

( 3 1) 1 1

3

x x

x x

 

  

 

 

2

x

x





           

 Vậy phương trình có nghiệm: x1,x2

Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 1 2

2x 2x 36

HD: 2 1 2 2 36 2.2 2 36

4

x

x  x   x 

8.2 2

4

x x

x



Vậy phương trình có nghiệm: x1,x2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 2 1

5 2x x 50

HD: 5 22 1 50 5 4 50 20 100 log 10020

2

x

x

Vậy phương trình có nghiệm: xlog 10020

2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số(Dạng 1)

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2 8 5

3 x 4.3x 270

HD: 3 38 2x4.3 35 x270

 2

6561 3x 972.3x 27 0

Đặt t3x0(các em có thể đặt t = 3x+4

) Phương trình (*) 2

1 9

6561 972 27 0

1 27

t

t

 



 



9

x

27

x

Vậy phương trình có nghiệm: x 2,x 3

Trên bước đường thành công, không có dấu chân của kẻ lười biếng

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25x2.5x150

25x2.5x15 0 5x 2.5x150 (*)

Đặt t5x 0

2 15 0

3 (loai)

t

t t

t





       

 Với t 5 5x   5 x 1

Vậy phương trình có nghiệm: x1

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 2 2

3x 3x 24

3

x

Đặt t3x0

Pt (*) 2

3

( loai) 3

t t

t







  

 Với t 3 3x   3 x 1

Vậy phương trình có nghiệm: x1

Dạng 2:

x

f x

ma + n a.b + pb = 0

* Cách giải : Chia hai vế của pt cho a2x hoặc b 2x ; (a 2f(x) hoặc b 2f(x) )

Ví dụ : Giải các phương trình sau:

1) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0; 2) 2.22x - 9.14x + 7.72x = 0; 3.) 25x + 10x = 22x + 1

3 Phương pháp: Lấy logarit hai vế

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 2 1 1

8 5

8

x x  

HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được

8 5 log (8 5 ) log ( )

 

log 8x log 5x  log 8 x x 1 log 5 1

 2      

8

1 0

x

x

 





.log 5 log 5 1 1 log 8

Vậy phương trình có nghiệm: x 1,x 1 log 85

Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 2

3 2x x 1

HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được

3 2x x  1 log (3 2 )x x log 1

2

3

0

1 log 2 0

x x





3

0

0 1

log 3 log 2

x

x











Vậy phương trình có nghiệm: x0,x log 32

4 Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để

chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

Ta thường sử dụng các tính chất sau:

+ Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một

nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

+ Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương

trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau : 3x4x 5x

HD: 3x4x 5x 3 4 1

   

    

    (*)

Ta có x2 là nghiệm của phương trình (*) vì

1

    

   

   

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất

Thật vậy, xét ( ) 3 4

f x    

   

   

Ta có f x( ) NB trên R vì '( ) 3 ln3 4 ln4 0

f x     

   

    ,  x R Do đó + Với x2 thì f x( ) f(2) hay 3 4 1

    

   

    , nên pt (*) không thể có nghiệm x2 + Với x2 thì f x( ) f(2) hay 3 4 1

    

   

    , nên pt (*) không thể có nghiệm x2 Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Giải các phương trình sau:

1

16 0,125.8

3 6.9x13.6x6.4x 0 4 ( 2 3 )x( 2 3 )x 4

5 2x2x22 x x2 3 6 3.8x4.12x18x2.27x 0

7 2.22x9.14x7.72x 0 8 12.3x3.15x5x1 20

9 logxlog 39 x91 10 1 2 1

3

x

x

   

 

 

11 2x2 x 8 41 3 x 12

2 5 6 2

2x x 16 2

13 2x2x12x23x3x13x2 14 2 3 5x x1 x2 12

15 (x2 x 1)x21 1 16 25x 10x 22x1

17 3x15x2 18 7x2.71x 9 0

19 22x62x7170 20 (2 3)x (2 3)x 4 0

21 2.16x15.4x 8 0 22 (3 5)x16(3 5)x 2x3

23 (7 4 3) x3(2 3)x 2 0 24

1 1 1 2.4x6x 9x

25

2 3 3

x

x x



5x5x 5x 3x3x 3x

27 log2x  3 1 log2x1 28 x2 (3 2 )x x2(1 2 ) x 0

2x  4 30 32x3 9x2 3x 5

31

4

1

x x

      

   

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ( Đề nghị các em xem lại tính ĐB – NB của hàm số mũ )

1 Bất Phương trình cơ bản(dạng1):

a a f x( )  b 0

0

b

b









 



Bất Phương trình có vô số nghiệm

Bất pt : f x( )

a  b ( ) log

( ) log

a

a





khi khi

1

a a



 

b f x( )

0

b

b









 



Bất Phương trình vô nghiệm

Bất Pt : f x( )

a  b ( ) log

( ) log

a

a





khi khi

1

a a



 

3

1 log 2

2

x

Vậy bất phương trình có nghiệm: 1 log 23

; 2

1

x







6

13

x R

Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ; 

2 Phương pháp: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số: Bất Phương trình cơ bản(dạng2)

a a f x( ) a g x( )  ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x





khi khi

1

a a



 

b af x( )  ag x( )  ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x





khi khi

1

a a



 

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:  2 2

x

x



x

x

x



Vậy bất phương trình có nghiệm: ;16

7

S   

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:   1  2 3

52 x  52  x (1)

5 2



 Phương trình (1)   1  2 3

2

2

        Vậy bất phương trình có nghiệm: S  1; 2

3 Phương pháp:Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2

5x5 x26

5

x



Đặt t5x 0

Ta có: (1) 2

 1 5x 25505x 52  0 x 2

Vậy bất phương trình có nghiệm: S  0; 2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2x+1

3 10.3x 3 0

HD: 32x+110.3x 3 0  2

3 3x 10.3x 3 0

Đặt t3x 0

3

3

x



Vậy bất phương trình có nghiệm: S   1;1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 5.4x2.25x7.10x 0 (*)

HD: Chia (*) hai vế cho 4x 0 ta được:

2

2

x

t  

 

 

Ta có: (**) 2

5

0 2

1

2

x

x

t

x

t t

x t

  



 







 



 

 Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ;0 1; 

BÀI TẬPỀN LUYỆN:

Giải các bất phương trình sau:

1 16x4 8; 2

2 5 1

9 3

x

  

 

  ; 3

6 2

9x 3x

4 4x2 x 6 1; 5

2

4 15 4

3 4 1

2 2

x x

x

 



 

  ; 6

2

4 15 13 4 3

x  x  x

   

7 5x2 7x 121; 8 2 1 1

16

x

x  

    ; 9 2x2.5x2 2 53x 3x

10 25x1125; 11 22x622x7 17; 12   1  2 3

x  x

13 52x32.5x2 3; 14

4x 2x 3

  ; 15 5.4x2.25x7.10x

16

16 0,125.8

   ; 17 32x84.3x5270; 18 6.9x13.6x6.4x0

19 ( 2 3 )x( 2 3 )x4; 20 log2x  3 1 log2x1 ; 21

2 5 6 2

2x x 16 2

22 2.22x9.14x7.72x0 23 8 1

8

2

3

I PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương pháp : Đưa về dạng cơ bản: loga M loga NM Nvà loga f x( ) b f x( )a b

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : log2xlog (2 x 3) log 42

HD: log2 xlog (2 x 3) log 42 (1)

x

     

Do đó phương trình(1)log2 x x(  3) log 42 x x(  3) 4

4 (loai)

x

x





         Vậy phương trình có nghiệm: x1

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : 2

log xlog x log 9x

HD: log2 xlog2x2 log 92 x (1)

Điều kiện: x0

Phương trình (1)log2x2log2 xlog 9 log2  2x2log2xlog 92

1

2

Vậy phương trình có nghiệm x3

2 Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2

log x2log x 2 0

HD: log22 x2log2 x 2 0 (1)

Điều kiện: x0

Phương trình 2

(1)log xlog x 2 0

Đặt tlog2 x

Lúc đó: 2

2

2

1

4

x x

t t









Vậy phương trình có nghiệm 2, 1

4

x x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 1 log ( 2 x 1) logx14

HD: 1 log ( 2 x 1) logx14 (1)

Điều kiện: 1 0 1 (*)

    

 2

log (x 1) log (x 1) 2 0

Đặt tlog (2 x1)

Lúc đó: phương trình (2) 2 2 0 1

2

t

t t

t





       

 2

2

x

 

Vậy phương trình có nghiệm 3, 5

4

x x

3 Phương pháp: Mũ hóa hai vế:

Ví dụ: log (33 x  8) 2 x

Điều kiện: 3x 8 0

 

3

log (3 8) 2 2 3

x

x

x

x

loai

x

  



 Vậy phương trình có nghiệm x2

4 Phương pháp: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không

quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b)

thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0

(a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau : log2xlog52x 1 2

HD: log2 xlog52x 1 2 (1)

Điều kiện: x0

Ta có x2 là nghiệm của phương trình (*) vì log 2 log2  52.2 1  2

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất

Thật vậy, hàm số ylog2x y, log52x1 đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến

+ Với x2, ta có:

log2 xlog 2 12 

+

log 2x 1 log 2.2 1 1

log2 xlog52x 1 2 Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi x2

+ Với 0 x 2, ta có:

log2 xlog 2 12 

+

log 2x 1 log 2.2 1 1

log2 xlog52x 1 2 Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi 0 x 2

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau

1 log 2.log 2.log 4x 2x 2 x1 ; 2 1

3

x



3 log2x  3 1 log2x1; 4 3 1

2 log log x 0



8

2

3

x  x  ; 6 log (42 4) log (21 1 3)

2

x  x x 

7 log ( 1) log ( 4) log (3 )

2

1

2 2

1 2

2 x  x  x

4

3

x x 9 log32 x log32 x150

10 log2 x2.log7 x 2 log2x.log7x 11 log5 xlog5x 6 log5x2

12 log5xlog25xlog0,2 3 13  2 

logx 2x 5x4 2

1

x

x



2

log (4x144) 4log 2 1 log (2   x 1)

4 logx2 logx

18 log3 log9 1 9 2

2

x

1 4 3

log log x 5 0 21 log 6.5 x 25.20x log 25

x

8

2 log 2 1 log 5 x  1 log 5 x5

2

log 2x1 log 2x 2  2 25  1   

2

1 log 4 4 log 4 1 log

8

x  x 

3

5

5 log x 6x 8 2 log x4 0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình cơ bản1:

a log ( ) ( )

( )

b

f x a

f x b

f x a

  



khi khi

1

a a



  , Điều kiện f x( )0

b log ( ) ( )

( )

b

f x a

f x b

f x a

  



khi khi

1

a a



  , Điều kiện f x( )0

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log (2 x 2) 3

Điều kiện x   2 0 x 2

3 2

log (x    2) 3 x 2 2  x 10

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S10;

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2

1 2

log (x 7 )x 3

0

x

x x

x

 



    



2

log (x 7 )x 3

3

       

 

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:….(Tự giải nhé!)

2 Phương pháp:Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ sốDạng cơ bản 2)

a log ( ) log ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x





khi khi

1

a a



  , Điều kiện ( )f x 0, ( )g x 0

b log ( ) log ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x





khi khi

1

a a



  , Điều kiện ( )f x 0, ( )g x 0

2 log (x 5) log (3 x) 0

x

x x

 



   

  



2 log (x 5) log (3  x) 0 log (x 5) log (3 x) 0

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S   1;3

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: log (0,5 x 1) log (22 x)

x

    

+ Lúc đó: log (0,5 x 1) log (22 x)  log (2 x 1) log (22 x)

log (2 x) log (x 1) 0

2 xx 1 1

1 0

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : 1 5 1; 5

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log (5 x 2) log (5 x 2) log (45 x1)

HD: + Điều kiện:

2

1

4

2

x x

x

x

 



 

+ Lúc đó: log (5 x 2) log (5 x 2) log (45 x1)

x2 4 4x 1 x24x     5 0 1 x 5

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S  2;5

3 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2

0,5 0,5 log xlog x2

HD: + Điều kiện: x0

+ Đặt : tlog0,5x

+ Lúc đó: 2

0,5 0,5

          

0,5

4 0,5

0,5

2

x x

x

x x

 





+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : 1; 4

2

  

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2

2

2 log

x

x





2





 + Đặt : tlog2x

+ Lúc đó: 2

2

2 log

x

x





0

1

t

t t

t t





 

      



2

4

1

2

x x









+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : 1  

2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 2

log x13logx360

HD: + Điều kiện: x0

+ Đặt : tlogx

+ Lúc đó: 2

log x13logx360 2

t  t 

4 9





Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :  4  9 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các bất phương trình sau:

1 1

3

2

x x

 

3 log (2 x 5) log (3 2 ) 42  x  4 log (2 x24x 5) 4

5 log (26 3 )5  x 2 6 log (13 4 )3  x 2

7 log3xlog9xlog27x11 8 1 1 1

1 logxlogx 



9

2 16

1 log 2.log 2

x



 10 4 1

log (3 1).log ( )

x

2(log x) 5log 9x  3 0 12 3 1 3 3 4

3 log xlog x log (3x )3

13 log2x  3 1 log2x1 14 8 1

8

2

3

2 log log x 0



  16

2

log (4x144) 4log 2 1 log (2   x 1)

1 4 3

log log x 5 0 18  2   

5 log x 6x 8 2 log x4 0

19 log5xlog25xlog0,2 3 20 7x2.71x 9 0

8 log x 4x 3 1

23 2.16x15.4x 8 0 24 log24.3x 6 log29x 6 1

25 log5xlog5x 6 log5x2; 26 log( 2 2 3) log 3 0

1

x

x



BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1