Đại số - Tiết 57: Hệ thức Viet và ứng dụng

Chuyeân ñeà Toå Toaùn.[r]

Giải phương trình: x2 – 6 x + 5 = 0

Giải:

’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0

Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:



, ,

1

2

;

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c =

0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

2

1

















H y tÝnh : x· 1 +x 2 = (H/s1)

x 1 x 2 = (H/s2)

1 2

x x

     

( ) 2

2 2

a b

a

      





  - b

a

1 2

x x

         

2

4 4

ac a

  c

a

1 HÖ thøc vi- Ðt

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603) Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm

và các hệ số của phương trình bậc hai

và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông

F.Viète

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng

tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×























a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Áp dụng:

1)Biết rằng các phương trình sau cĩ nghiệm, khơng giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chúng:

Gi¶i

¸p dơng

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiƯm cđa ph ¬ng

tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×























a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

2)Khơng giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình

x2 – 5x + 6= 0 và tính nhẩm nghiệm của phương trình

Ta có: 1 2

( 9) 9

b

x x

a c

x x

a

  









§Þnh lÝ vi- Ðt

tr×nh ax2 + bx + c= 0 (a 0) ≠ th×























a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Gi¶i

¸p dông

•Không giải phương trình hãy tính tổng

và tích hai nghiệm của phương trình

x2 – 5x + 6= 0 và tính nhẩm nghiệm của phương trình

Vì ’= 9 – 5 = 4>0

Suy ra: 2 + 3 = 5

2 3 = 6 Vậy hai nghiệm của phương trình là:

x1=2 ; x2=3

x1+ x2 =

x1.x2 =

 5

5 1

 



b a

6

6 1

 

c a

Ta có:

Hoạt Động nhóm

Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )

Cho ph ơng trình 2x2- 5x+3 = 0 a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của ph

ơng trình

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2.

Nhóm 3 và nhóm 4 ( Làm ?3 )

Cho ph ơng trình 3x2 +7x+4=0

a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng trình v tính a-b+cà

b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của

ph ơng trình

c) Tìm nghiệm x2.

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

th× :





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

a

x2=

Ho¹t §éng nhãm

Trả lời:

Phương trình 2x2 -5x + 3 = 0 a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3

a+b+c =2+(-5)+3=0 b/ Thay x=1 vào phương trình ta được: 2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 3/2 => x2 = 3/2

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

a

x2=

Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh

2= c

a



Ho¹t §éng nhãm

Nhóm 3 và nhóm 4:

a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4 a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0 b/ Thay x= -1 vào phương trình ta được: 3+(-7)+4=0

Vậy x= -1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 4/3 => x2 = -4/3

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

?4 :TÝnh nhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

a/ - 5x2+3x +2 =0;

b/ 2004x2+ 2005x+1=0

b/ 2004x2+2005x +1=0 (a=2004 ,b=2005 ,c=1)

Ta cã: a-b+c=2004-2005+1=0

x2= - 1

2004

VËy x1= -1,

a/ -5x2 +3x+2=0 (a=-5, b=3, c=2)

Ta cã: a+b+c= -5+3+2= 0

VËy x1=1, 2 2 2



Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

a

x2 =

Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh

2= c

a



Lêi gi¶i

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 :(SGK)

Tæng qu¸t 2:(SGK)

2 T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch

cña chóng :

Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích của hai nghiệm phương trình bậc hai

Ngược lại nếu biết tổng của hai số bằng S và tích của chúng bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình nào?

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng

trình x2 – Sx + P = 0

bằng P Gọi một số là x thì số kia là

x(S – x) = P

Nếu Δ= S2- 4P ≥0, thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

áp dụng

bằng 17, tích của chúng bằng 72

Giải :

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình

x2_ 17x + 72 = 0

Δ = 172- 4.1.72 = 289-288 = 1 >0

8 2

1 17 ,

9 2

1

17

2

1    x   

x

Vậy hai số cần tìm là 8 và 9

S -x

Theo giả thiết ta có ph ơng trình

<=> x 2 - Sx + P= 0 (1)

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng

trình x2 – Sx + P = 0

áp dụng

?5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình : x2- x + 5 = 0

Δ= (-1)2 – 4.1.5 = -19 < 0

Ph ơng trình vô nghiệm

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1

và tích bằng 5

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 – Sx

+ P = 0

Luyện tập

1)Duứng ủieàu kieọn a + b + c = 0 hoaởc

a – b + c = 0 ủeồ tớnh nhaồm nghieọm cuỷa moói phửụng trỡnh sau:

a)3x2 -7x + 4 = 0;

2

 b)  3x  (1 3)x  1 0

Giaỷi a) Ta coự: a + b + c = 3 + (-7) + 4 = 0

PT coự hai nghieọm x1 = 1, x2 = 4

3

c

PT coự hai nghieọm x1 = -1,

x2 =

b)Ta coự: a -b + c =   3 [ (1   3)] 1 0 

1 1

3 3

c a



  

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 – Sx

+ P = 0

2) Bài 27/ SGK Dùng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm các nghiệm của ph

ơng trình.

a/ x2 – 7x+12= 0

Giải

a/ Δ =(7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 =1 > 0

Vì : 3 + 4 = 7 và 3 4 = 12 nên x1=3, x2= 4

là hai nghi m c a ph ơng trình ệ ủ (1)

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 - Sx +

P = 0

Hai soỏ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: x2 – 32x + 231 = 0

’ = 256 – 231 = 25 > 0

x1 = 16 + 5 = 21

x2 = 16 – 5 = 11 Vaọy u = 21, v = 11

3)Baứi taọp: 28 /SGK Tỡm hai soỏ u vaứ v trong moói trửụứng hụùp sau:

a) u + v=32, u.v = 231

Giải

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 – Sx

+ P = 0

VỀ NHÀ Bài vừa học:

-Học thuộc định lớ Vi-ột và cỏch tỡm hai

số biết tổng và tớch -Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm: a+b+c=0; a-b+c=0 -Trường hợp tổng và tớch của hai nghiệm ( S và P) là những số nguyờn cú giỏ trị tuyệt đối khụng

quỏ lớn

Bổ sung thờm: Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT

* Cho PT baọc hai (m-4)x2 – 2(m – 2)x + m - 1 = 0, trong ủoự m laứ tham soỏ

a) Tỡm giaự trũ cuỷa m ủeồ PT coự hai nghieọm phaõn bieọt

b) Tỡm giaự trũ cuỷa m ủeồ PT coự nghieọm x1 = 2 Tớnh x2

Chuyên đề Tổ Toán