Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai đường trung tuyến qua trung điểm hai cạnh góc.. vuông cắt nhau theo một góc nhọn mà cos 4 5[r]
Trang 1Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP
Hotline: 0989189380
Bài giảng số 2: ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Một số hệ thức véc tơ cần nắm vững trong phần này:
a IA b IB c IC. 0
GA GB GCO
(G là trọng tâm của tam giác ABC)
Qui tắc trung điểm, qui tắc hình bình hành
Một số hệ thức lượng cơ bản trong tam giác
Định lý hàm số cosin, sin
Công thức độ dài đường trung tuyến, đường phân giác
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC ta luôn có:
a IA b IB c IC
Từ bài toán trên ta có một số bài toán sau
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC có bán kính r , O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính R , G là trọng tâm ABC và H là trực tâm ABC , ta có các đẳng thức sau:
a)
1
IA IB IC
bc ca ab
b) OI2 R22Rr
Hệ thức gồm a) và b) được gọi là hệ thức Ơle
9
IH R Rr a b c ab bc ca
Giải:
a) Từ a IA b IB c IC 0
2 2 2 2 2 2
a IA b IB c IC ab IA IB bc IB IC ca IC IA
a IA b IB c IC ab IA IB AB bc IB IC BC ca IA IC AC
0
IA a ab ac IB b ab bc IC c ca bc abc bca cab
a IA b IB c IC a b c abc a b c
a IA b IB c IC abc
b) Ta có: a IA b IB c IC 0
a b c OI a OA b OB c OC
a b c OI R a b c abc a b c
2 2
Trang 2c) Từ a IA b IB c IC 0
, ta có: a IG GA b IG GB c IG GC0
a b c GI a GA b GB c GC
a b c GI a a b c GA b a b c GB c a b c GC abc a b c
2
9a m a 9b m b 9c m c abc
GI
a b c
2
4
GI
a b c
2 2
GI
9
GI
2a b c b a c c b a 6abc 2ab2bc2ca a b c
3abc a b c ab bc ca a b c a b c
Do đó
2 2 2
4 9
ab bc ca a b c
d) Ta có: IH HA a IH HB b IHHC c 0
2 a HA b HB c HC abc
IH
Ta lại có: HA2 4R2a2, HB2 4R2b2, HC2 4R2c2 (tự chứng minh)
2 a 4R a b 4R b c 4R c abc
IH
3 3 3
4R a b c abc abc
2
4R 8Rr ab bc ca a b c
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong ABC ta luôn có:
2
a b c
Trang 3Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP
Hotline: 0989189380
m m m
Giải:
Trước hết ta chứng minh bài toán tống quát sau: Với M là điểm bất kỳ trong ABC, ta luôn có:
Thật vậy, ta có: * . . .
VT
MA GA GA MB GB GB MC GC GC
2 2 2
3 3 GA GB GC MG GA GB GC
Dấu “=” xảy ra
MA GA MA GA
MB GB MB GB
MC GC MC GC
M G
a b c
Áp dụng:
a) Bất đẳng thức 5 được chứng minh nếu thay điểm M ở * bởi G, ta có: GA GB GC 3
2
3 3
b) Bất đẳng thức 5 chứng minh bằng cách áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi
Ta có:
2 2 2 3
a m
2 2
2 2 2
3 2 3
b
b
b m
Trang 42 2
2 2 2
3 2 3
c
c
c m
5
VT
2 2 2
3
2
Dấu “=” xảy ra abc
*Chú ý: 5 cũng chứng minh trực tiếp được bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta luôn có: 4 Rm a m bm c r 4R
Giải:
+) Chứng minh: m a m bm c r 4R
Xét AMO, ta có: m a OA OM RRcosA
cos
b
m RR B, m c RRcosC
+) Chứng minh: m am bm c 4R
Ta có:
3
3
2
3
3
3
2 2
3
Ta chứng minh:
2 2 2
2 4 2
R
sin A sin B sin C 2
2 2 cosAcosBcosC 2
(đúng với mọi ABC nhọn)
4
m am bm c 4R
Ví dụ5: Cho ABC Tìm điểm M sao cho: 2 cos
2
A
nhỏ nhất
Giải:
C B
A
O
M
F E
A
Trang 5Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP
Hotline: 0989189380
Ta có: 2 cos
2
A
2
MA
2 cos
2
MA
2 cos
2
A MA
2 cos
2
AB AC
Đặt AB AE
AB
, AC AF
AC
, AE AF 1
AB AC
AB AC
2
A
2 cos 1 cos ,
2
A
Vậy VTmin ABAC
MA AI
M A
Ví dụ 6: Cho ABC Gọi G I r lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn , ,
nội tiếp ABC Giả sử h a, h h , b, c m a, m b, m lần lượt là các chiều cao và trung tuyến của c ABC kẻ từ
các đỉnh , A B C Chứng minh rằng: , max ; ;
2
Giải:
Ta có: 1 1 1 1
r h h h (tự chứng minh)
Và a IA b IB c IC 0
Ta có: max ; ; 1
3
1
1
GA GB GC
IA IB IC GI
2 r GI 2S aIA bIB cIC
1
2
GI r
2
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong ABC ta luôn có:
Trang 61 cos cos cos 3
2
2 sin2 sin2 sin2 9
4
3 a b c 3 3R
4 cos 2 cos 2 cos 2 3
2
5 sin sin sin 3
6 x2y2z2 2xycosB2yzcosC2zxcosA
Giải:
Chọn e e 1, 2, e3
là các vectơ đơn vị trên các cạnh AB BC CA , ,
xe1 ye2 ze3 0
2 2 2
2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos 0
Bất đẳng thức 6
Thay xyz bất đẳng thức 1 1
Bất đẳng thức 5 được suy ra từ 1
Ta chứng minh bất đẳng thức 2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng
thức: cos 2 cos 2 cos 2 3
2
Chọn các vectơ đơn vị e e 1, 2, e3
nằm trên các cạnh OA OB OC , , (hoặc không cần chọn)
Ta xét: OA OB OC 2 0
2R cos 2C 2R cos 2A 2R cos 2B 3R
3 cos 2 cos 2 cos 2
2
Từ đó suy ra bất đẳng thức 2
Bất đẳng thức 4 chứng minh tương tự
Bất đẳng thức 3 được suy ra từ bất đẳng thức 2
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho trọng tâm G của ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:
MA MB MC MA GA MB GB MC GCGA GB GC
Bài 2: Cho ABC Tìm điểm M sao cho: MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất
C B
A
e1
e2
e3
C B
A
O
e1
e2
e3
Trang 7Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP
Hotline: 0989189380
Bài 3: Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d Tìm trên d, điểm M sao cho MA2 MB2MC2MD2
nhỏ nhất
Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai đường trung tuyến qua trung điểm hai cạnh góc
vuông cắt nhau theo một góc nhọn mà cos 4
5
Bài 5: Cho đa giác đều A A1 2 A Tìm điểm n M sao cho: MA1MA2 MA n nhỏ nhất
Bài 6: Cho ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có:
2 2 2
2 2 2
3a b c
a MA b MB c MC
Bài 7: M là một điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong ABC ta luôn có:
3
OG MG MA MB MC
Từ đó suy ra:
2 2 2
2 2
9
OG R
Ta có: OH3OG
2
GH OG
9
Từ các đẳng thức trên hãy chứng minh:
e) 2IOGH
Bài 8: Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong ABC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt tại , ,
M N P Chứng minh rằng: ab MN bc NP ca PM 4S2