Đại số lớp 9 - Tiết số 57 - Hệ thức việt và ứng dụng

Đại số lớp 9 - Tiết số 57 - Hệ thức việt và ứng dụng

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=

• Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 =

• Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm

2

; x

b 2a

−

Nêu công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

2.Từ công thức nghiệm, hãy tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

2

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì dù

đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có:

Đó là hệ thức mà Vi-et,nhà Toán học người Pháp phát hiện vào đầu thế kỷ XVII và thành định lí mang tên ông

Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương

trình ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

1 2

b

a c

x x

a

 + = −







?2 Cho ph ¬ng tr×nh : 2 x 2 -5x +3 = 0(1) a/Xác định a,b,c rồi tính a+b+c

b / Chứng tỏ x 1 =1 là một nghiệm của (1) c/ Dùng định lí Vi-et để tính x 2

2 x 2 -5x +3 = 0(1) a/a = 2;b =-5; c =3 ; a+b+c = 2-5+3 = 0

b / Thay x=1 vào (1)có: 2.1-5.1+3 = 0 nên x =1 là một nghiệm của (1)

c/ Áp dụng định lí Vi-et ta có:

x 1 x 2 = mà xca = 32 1 =1 nên x 2 = 3

2

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có :

• a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :

x 1 = 1 và x 2 = c

a

TỔNG QUÁT:

GIẢI:

Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương

trình ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) thì

1 2

b

a c

x x

a

 + = −







?3 Cho ph ¬ng tr×nh : 3 x 2 +7x +4 = 0 (2) a/Xác định a,b,c rồi tính a-b+c

b / Chứng tỏ x 1 =-1 là một nghiệm của (2) c/ Dùng định lí Vi-et để tính x 2

3 x 2 -7x +4 = 0(2) a/a = 3;b =7; c =4 ; a-+b+c = 3-7+4 = 0

b / Thay x = -1 vào (2)có:

3(-1)+7(-1)+4 = 0 nên x =-1 là một nghiệm của (2) c/ Áp dụng định lí Vi-et ta có:

x 1 x 2 = mà xc 4 1 = -1 nên x 2 =

3

−

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có :

• a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :

x 1 = 1 và x 2 =

a c

TỔNG QUÁT:

GIẢI:

• a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm :

x 1 = -1 và x 2 = a

c

−

Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng

S và tích bằng P Gọi một số là x thì số kia là S - x Theo giả thiết ta có ph ơng trình

x(S – x) = P hay x 2 - Sx + P= 0 (1) Nếu Δ= S 2 - 4P ≥0,

thì ph ơng trình (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

Điều kiện để có hai số đó là S 2 -4P ≥0

Nếu hai số cú tổng bằng S và tớch

bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của

phương trỡnh bậc hai x 2 - Sx + P = 0

Vớ dụ 1: Tỡm hai số, biết tổng của

chỳng bằng 27, tớch của chỳng bằng

180.

∆

3

9 =

=

∆

Giải: Hai số phải tỡm là nghiệm của

phương trỡnh x 2 - 27x + 180 = 0

= 27 2 - 4.1.180 = 729-720 = 9;

12 2

3 27 15

2

3

27

2

x

Hai số cần tỡm là 15 và 12

Vớ dụ 2:Tớnh nhẩm nghiệm của phương

trỡnh x 2 - 5x + 6 = 0

Giải:Vỡ 2+3 = 5 và 2.3 = 6 nờn x 1 =2 và

x 2 =3 là hai nghiệm của phương trỡnh đó

cho

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ

trống ( )

a/ 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2= ; x1.x2=

b/ 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2= x1.x2=

c/ 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2= ; x1.x2=

d/ 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2= ; x1.x2=

2

1 2

-31

5

25

Khụng cú Khụng cú

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của

a/ Δ =(7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 =1 > 0 Vì : 3 + 4 = 7 và 3 4 = 12

b/ Δ =(-7)2 – 4.1.13 = 49 – 52 = -3 < 0

Vậy: Phương trình (2) vô nghiệm

x1= 1; x2= -2

x1= 1; x2= -2

B C

D Phương trình vô nghiệm

x1= -1; x2= -2

x1= -1; x2= -2

A

C

Nghiệm của phương trình 5x2 – 15x+10 = 0 là:

TRẮC NGHIỆM

x1= 1; x2= 2

François Viète (sinh 1540 - mất 13/02/1603) tại Pháp

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu

các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển

mạnh

-Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình

- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã

- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng

1.Cho phương trình 2x 2 - 3x + 1 = 0

Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình Không giải phương trình; hãy tính giá trị các biểu thức:

a/ ; b/

c/ ; d/

2.Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình (k - 1) x 2 - 2kx + k - 4 = 0 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc tham số k

1 x 1 x

x 1 x + 1

• Làm bài tập 28; 29; 30; 33sgk

• Chuẩn bị ‘‘Luyện tập’’

3.Tìm giá trị của m để phương trình x 2 – mx + m + 1 = 0 có nghiệm x 1 , x 2

thỏa mãn x 1 x 2 + 2 (x 1 + x 2 ) - 19 = 0

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT