ĐẠI 9 - TIẾT 57 - HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG - MẠNH HÀ

Tính nhaåm nghieäm cuûa caùc phöông trình sau.[r]

Chuyên đề Tổ Toán

Giải phương trình: x2 – 6 x + 5 = 0 bằng 2 cách

(bằng công thức nghiệm và bằng cách đưa về pt tích)

Giải:

KIỂM TRA BÀI CŨ

Giải bằng cách đưa về phương trình tích:

Ta có: x 2 – 6 x + 5 = 0  x 2 – x – 5x + 5 = 0

 x( x – 1 ) – 5 ( x – 1 ) = 0

 ( x – 1 ) ( x – 5 ) = 0

Phương trình có 2 nghiệm:

x  1;x  5

’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0  ,  2

Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:



1

2

;

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5

Giải bằng công thức nghiệm

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (a#0) có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

2

1

















H y tÝnh : x· 1 +x 2 =

x 1 x 2 =

1 HÖ thøc vi- Ðt

1 2

x x

     

( ) 2

2 2

a b

a

      





  - b

a

1 2

x x

         

2

4 4

ac a

  c

a

Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 HÖ thøc vi- Ðt

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603) Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm

và các hệ số của phương trình bậc hai

và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông

F.Viète

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng

tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×























a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

1 HÖ thøc vi Ðt

Áp dụng:

Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chúng: a/ 2x2 - 9x + 2 = 0

b/ -3x2 + 6x -1 = 0

Gi¶i

a/ x1+ x2 =

x1.x2 = 1

 9 9

 



b/ x1+ x2 =

x1.x2=

6 2 3







1 1

3 3







¸p dông

Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng

tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th×























a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Vì pt có nghiệm nên theo hệ thức Vi ét ta có

Hoạt Động nhóm

T 1 và t 3 ( ổ ổ Làm ?2 )

Cho ph ơng trình 2x2- 5x+3 = 0 a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của ph

ơng trình

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2.

T 2 và t 4 ( ổ ổ Làm ?3)

Cho ph ơng trình 3x2 +7x+4=0

a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng trình v tính a-b+cà

b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của

ph ơng trình

c) Tìm nghiệm x2.

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của ph ơng trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Nhờ định lớ Vi ột nếu biết 1 nghiệm

của pt thỡ cú thể suy ra nghiệm kia

Ta xột 2 trường hợp đặc biệt sau

1 HÖ thøc vi Ðt

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph ¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0 (a≠0)

th× :





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph

¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x1=1, cßn

a

x2=

Ho¹t §éng nhãm

T 1 vµ t 3 ( ổ ổ Lµm ?2 )

Trả lời:

Phương trình 2x2 -5x + 3 = 0 a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3

a+b+c =2+(-5)+3=0 b/ Thay x=1 vào phương trình ta được: 2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 3/2 => x2 = 3/2

Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa

tổng các hệ số với 2 nghiệm của pt?

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph ¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0 (a≠0) th×





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph

¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x1=1, cßn

a

x2=

Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh

ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph ¬ng

tr×nh cã mét nghiÖm x1= -1, cßn nghiÖm

2= c

a



Ho¹t §éng nhãm

Tổ 2 và tổ 4:

Phương trình 3x2 +7x + 4= 0

a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4 a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0 b/ Thay x= -1 vào phương trình ta được: 3+(-7)+4=0

Vậy x= -1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 4/3 => x2 = -4/3

Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các hệ số với 2 nghiệm của pt?

1 HÖ thøc vi Ðt

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph ¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0(a≠0) th×





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

?4 :TÝnh nhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

a/ - 5x2+3x +2 =0;

cã a=2004 ,b=2005 ,c=1

=>a-b+c=2004-2005+1=0

2004

VËy x1= -1,

=>a+b+c= -5+3+2= 0



Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh

ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph

¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x1=1, cßn

a

x2=

Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh

ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph ¬ng

tr×nh cã mét nghiÖm x1= -1, cßn nghiÖm

2= c

a



Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Lêi gi¶i

§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm

cña ph ¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0(a≠0) th×





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

¸p dông

Tæng qu¸t 1 :(SGK)

Tæng qu¸t 2:(SGK)

2 T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch

cña chóng :

Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích của hai nghiệm phương trình bậc hai

Ngược lại nếu biết tổng của hai số bằng S và tích của chúng bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình nào?

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của ph ơng trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng

trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

+ Cho hai số có tổng là S và tích bằng P Gọi một số là x thì số kia là

x(S – x) = P

Nếu Δ= S2- 4P ≥0, thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

áp dụng

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180

Giải :

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình

x2_ 27x +180 = 0

Δ = 272- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0

12 2

3 27 15

2

3

27

2

1    ,x    x

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

S -x

<=> x 2 - Sx + P= 0 (1)

Tiết 56 HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của ph ơng trình ax2 + bx + c= 0(a≠0) thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2 Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng

trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

áp dụng

?5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Giải Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình : x2- x + 5 = 0

Δ= (-1)2 – 4.1.5 = -19 < 0

Ph ơng trình vô nghiệm

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1

và tích bằng 5

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình x2-5x+6 = 0

Giải

 = 25 – 24 = 1>0

Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6, nên x1= 2, x2= 3 là hai nghiệm của ph ơng trình đã cho

Ngoài 2 cỏch giải ở phần kiểm tra Qua bài học này ta cú thể giải pt

x 2 – 6x + 5 = 0 bằng 2 cỏch nữa?Đú là những cỏch nào?

* Dựng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 để tớnh nhẩm nghiệm

Giải

Ta có a=1, b= - 6, c=5

=>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0

Nờn phương trỡnh cú hai nghiệm là:

1 1; 2 c 5

a

* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.

Vì : 1 + 5 = 6 và 1 5 = 5 nên x1=1 ,x2= 5 là hai nghi m c a ệ ủ

ph ơng trình

Giải

’ = 9 – 5 = 4>0

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của ph ơng trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì           a c x x a b x x 2 1 2 1 áp dụng Tổng quát 1 :(SGK) Tổng quát 2:(SGK) 2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0 Luyện tập Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải ph ơng trình, hãy điền vào những chỗ trống ( )

a/ 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

b/ 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

c/ 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

d/ 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

2 1

2

5

-7

-31

5

 1

25

Khụng cú Khụng cú

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

B

A

C

D

sai

úng Đ

Sai

Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào:

4x2 - 6x + 2 = 0 => x1 =……… ; x2 =……

2x2 + 3x + 1 =0 => x1 = ……… ; x2 =……

1

2

- 1 -1/2

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của ph ơng trình

ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì





















a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)

Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ph ơng trình x2 – Sx

+ P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

Hướng dẫn về nhà:

a) Bài vừa học:

-Học thuộc định lớ Vi-ột và

cỏch tỡm hai số biết tổng và tớch -Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm: a+b+c=0; a-b+c=0 -Trường hợp tổng và tớch của hai nghiệm ( S và P) là những số nguyờn cú giỏ trị tuyệt đối khụng quỏ lớn

Tiết 57 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ẫT VÀ ỨNG DỤNG

BTVN : 26,27 28 / tr53 , 29/ tr54 (SGK)