Để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, trước tiên hoc sinh cần có những kiến thức nhất định về phương pháp chứng minh bất đẳng thức:.. [r]
Trang 11 TấN Đấ̀ TÀI:
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ”
2 :ĐẶT VẤN Đấ̀
2.1:TẦM QUAN TRONG CỦA VẤN Đấ̀
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sụ́ng , trong khoa học và cụngnghợ̀ hiợ̀n đại ,nhṍt là trong những năm chuõ̉n bị bước sang thờ́ kỷ XXI – kỷnguyờn của “cụng nghợ̀ hiợ̀n đại và thụng tin”, Sự phát triển của các khoa học
đó chứng minh lời tiờn đoán của Các Mác (K.Marx): "Một khoa học chỉ thực sự phỏt triển nếu nú cú thể sử dụng được phương phỏp của toỏn học" Viợ̀c nắm vững các kiờ́n thức toán học giúp cho học sinh có cơ sơ
nghiờn cứu các bụ̣ mụn khoa học khác đụ̀ng thời có thể hoạt đụ̣ng có hiợ̀u quatrong mọi lĩnh vực của đời sụ́ng
Trong nhà trường THCS có thể nói mụn toán là mụ̣t trong những mụnhọc giữ mụ̣t vị trí hờ́t sức quan trọng Bởi lẽ, toán học là mụ̣t bụ̣ mụn khoahọc tự nhiờn mang tính trừa tượng cao, tính logíc đụ̀ng thời mụn toán còn làbụ̣ mụn cụng cụ hổ trợ cho các mụn học khác, có tính thực tiờ̃n phổ dụng.Những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm viợ̀ctrong toán học trở thành cụng cụ để học tọ̃p những mụn khoa học khác và nó
là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất caotrong cuộc sống xã hội Mụn toán có kha năng tư duy lụgic, phát huy tính linhhoạt, sáng tạo trong học tọ̃p và mụn toán là mụ̣t trong những mụn học khónhṍt
Mụn toán có vai trò to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phõ̉mchṍt trí tuợ̀, rốn luyợ̀n cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác,hợp lụgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luọ̃n, trong họctọ̃p.Qua đó có tác dụng lớn rốn luyợ̀n cho học sinh trí thụng minh, sáng tạo.Là mụ̣t giáo viờn trực tiờ́p giang dạy mụn toán ở trường THCS tụi đi sõunghiờn cứu nụ̣i dung chương trỡnh và qua thực tờ́ dạy học tụi thṍy: trongchương trỡnh toán THCS "Các bài toán về cực trị trong đại sụ́" rṍt đa dạng,phong phú và thú vị, có mụ̣t ý nghĩa rṍt quan trọng đụ́i với các em học sinh ởbọ̃c học này
Trong chương trỡnh đại sụ́ ở trung học cơ sơ thỡ “giá trị của biểu thức đạisụ́” là mụ̣t mang kiờ́n thức quan trọng, để phát triển mang kiờ́n thức này trongđó có bài toán “Tỡm giá trị lớn nhṍt và giá trị nhỏ nhṍt của biểu thức đại sụ́”có tầm quan trọng trong mụn toán; bài toán này rṍt đa dang, phong phú vàthường xuṍt hiợ̀n trong các đề thi HSG và tuyển sinh vào THPT, hơn nữa bàitoán này có nhiều ứng dụng thực tờ́ trong đời sụ́ng ví dụ như “Tỡm con đường
Trang 2ngắn nhất trong các con đường ; Tìm vận tố lớn nhất của vật khi trượttrên dốc, ”.
Việc tìm ra phương pháp giai mới, độc đáo của một bài toán trên sẽ gâynên sự hào hứng, phấn chấn cho học sinh, điều đó có ý nghĩa to lớn trongviệc vun đắp lòng say mê học toán, khám phá, phát minh những vấn đề mới Tóm lại bài toán tìm GTLN, GTNH của biểu thức đại số có nhiều ýnghĩa về mặt lý luận cũng như ứng dụng vào thực tiễn, là một phần kiến thứckhông thể thiếu đươc trong chương trình toán học
2.2: THỰC TRẠNG LIÊN QUAN TỚI VẤN ĐỀ ĐANG NGHIÊN CỨU 2.2.1 : Đối với học sinh
Trên thực tế giang dạy Toán thcs những năm qua tôi nhận thấy các bàitoán“tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” là một trongnhững phần quan trọng trong môn toán THCS đặc biệt là trong công tác bồidưỡng học sinh giỏi Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi vànhững trường tôi đã từng dạy thì thấy học sinh không có hứng thú với loạitoán này, bởi lẽ trong chương trung học cơ sở, dạng bài tập tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số được đưa vào tiết học một cách nhỏ
lẻ, chưa có hệ thống; số lượng bài tập củng cố kiến thức(bài tập tương tự) làchưa có nhiều, hơn nữa chưa đưa ra được phương pháp giai cụ thể cho từngdang bài tập dẫn đến học sinh rất lúng túng khi giai các bài toán này, các emkhông biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào, các em rất khó hệ thống đượccác bài tập và phương pháp giai dạng bài toàn này Bài toán “tìm giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” không những chỉ khó với nhung
HS trung bình mà ngay ca những HS khá giỏi khi gặp bài toàn này vẫn connhiều em không biết cách giai Do vậy, hầu hết học sinh rất ngại khi gặp cácbài toán này và không biết vận dụng để giai quyết các bài tập khác Vì thế, tỷlệ học sinh yếu kém chưa được giam nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môntoán chưa cao
2.2.2: Đối với giáo viên.
Còn rất nhiều giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạyhọc giai toán Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà chủyếu giai toán cho học sinh và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng Trongquá trình dạy học giai toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thaotác tư duy và phương pháp suy luận Thông thường giáo viên thường giai đếnđâu vấn đáp hoặc giai thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiềugiáo viên còn coi việc giai xong một bài toán kết thúc hoạt động, giáo viênchưa thấy được trong quá trình giai toán nó giúp cho học sinh có đượcphương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổxung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể cóđược
Trang 3Năm học 2012 – 2013 là năm học thứ mười ba tôi được phân công giangdạy bộ môn toán và bồi dưỡng HSG môn toán THCS nên phần nào tôi đã cókinh nghiệm trong dạy học bộ môn Qua thực tế, ban thân cũng nhận thấytrong quá trình dạy học môn toán giáo viên phai biết hướng dẫn, tổ chức chohọc sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiếnthức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương phápgiai quyết vấn đề của bài toán Chỉ trong quá trình giai toán tiềm năng sángtạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhậnmột sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều gia thuyết khiphai lý giai một vấn đề, biết đề xuất nhữnh giai pháp khác nhau khi sử lý mộttình huống Hơn nữa tôi cũng nhận thấy rằng để gây hứng thú cho học sinhhọc tập bộ môn, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo khám phá kiến thức của họcsinh, người thầy không những chỉ trang bị cho HS các kiến thức và kĩ năngcần thiết mà còn phai trang bị cho HS các phương pháp học tập phù hợp vàtrang bị cho mình những phương pháp và kiến thức nhất định về chuyên mônnghiệp vụ
2.2.3: Đối với nhà trường
Khi đặt vấn đề nghiên cứu sang kiến kinh nghiệm trước Hội đồng sưphạm của nhà trường tôi đã được sự nhất trí đồng thuận của Ban giám hiệunhà trường và của đồng nghiệp và được sự quan tâm giúp đỡ của nhà trường
về cơ sở vật chất và tinh thần, được đồng nghiệp đóng góp nhiều kinh nghiệmquý báu trước khi tôi thực hiện nghiên cứu sang kiến kinh nghiệm sư phạmnày Với suy nghĩ đó, tôi đã quyết đinh nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhấtvà giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” để góp một phần nhỏ mọn của mìnhvào sự nghiệp giáo dục chung và quan trọng hơn là để phục vụ cho quá trìnhday học của mình sau này và trau rồi chuyên môn nghiệp vụ cho mình, cho sựnghiệp giáo dục của mình
2.3 :LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Với việc nhìn nhận được tầm quan trọng của vấn đề và đứng trước thựctrạng trên nên tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giang dạycủa ban thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sựgiúp đỡ của các bạn đồng nghiệp,tôi mạnh dạn quyết định chọn nghiên cứu đề
tài sáng kiến kinh nghiệm “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức dại số” với mong muốn giúp học sinh nắm chắc kiến thức một cách
có hệ thống và có kĩ năng, có phương pháp làm dạng bài tập “tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất” của biểu thức đại số; hình thành ở học sinh tư duy tíchcực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giai quyết vấn đề; Rènluyện kha năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếpnghĩ khoa học; có hướng thú học toán ; bổ sung thêm tài liệu cho việc ônluyện học sinh giỏi và nghiệp vụ giang dạy của mình sau này, đồng thời mongđược đóng góp một phần nhỏ bé của mình với các bạn đồng nghiệp qua đó
Trang 4góp phần nâng cao hiệu qua, chất lượng trong dạy học toán của trường THCSQuang Lợi theo tinh thần đổi mới và giúp cho sư nghiệp giáo dục của đơn vịcũng như của huyện được nâng lên
2.4 : GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU CỦA SANG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.4.1: Đối tượng nghiên cứu
+) Chủ thể nghiên cứu: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức đại số
+) Khách thể nghiên cứu:Hoc Sinh khối 7,8,9 Trường THCS Quang Lợi
2.4.2: Mức độ nghiên cứu: Nghiên cứu mạch kiến thức về GTLN, GTNH
của biểu thức đại số và các phương pháp tìm GTLN, GTNH của biểu thức đại số
2.4.3: Cấp độ nghiên cứu: Do thời gian và điều kiện cơ sở vật chất của nhà
trường có hạn nên đề tài chỉ nghiên cứu ở mức độ cấp trường
2.4.4 : Thời gian nghiên cứu:
-Nghiên cứu trong 1 năm học: 2012-2013
-Kế hoạch nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm cụ thể như sau :
+)Tháng 9: Thao luận, tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu líthuyết; xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm, hoàn chỉnh các biểu mẫuđiều tra, tiến hành điều tra HS, phân tích số liệu điều tra
+)Tháng 10: Viết đề tài nghiên cứu và cho vận dụng vào thực tế giangdạy và ôn luyên môn toán trong tháng 10 và các tháng tiếp theo tại đơn vị.+)Tháng 1 năm 2013:Điều tra và kiểm nghiệm tính hiệu qua của đề tài.+) Tháng 2 năm 2013:Điều chỉnh lại và viết chính thức các nội dung củasáng kiến kinh nghiệm, in ấn đóng quyển và nộp
3: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lậptiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện cácgiai pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giớikhách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đềtrên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đang và Nhà nước ta trong giaiđoạn lịch sử hiện nay
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại khoa học kĩ thuật phát triển như vũ bãohiện nay Tại nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của ban chấp hành Trung ươngkhóa VIII về những giai pháp chủ yếu trong giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ
Trang 5một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước ápdụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào dạy học, đam baođiều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Chính vì vậy đòihỏi từng bộ môn trong nhà trường THCS phai có cách nhìn nhận cai tiếnphương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh Một trongnhững yêu cầu đặt ra của cai cách là phai đổi mới phương pháp dạy học theohướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướngdẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giai quyếtnhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức
đã học vào bài tập và thực tiễn
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới dạy học môn toán,Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinhcó thể xem việc giai toán là hình thức chủ yếu của việc học toán mà ngườihọc thường xuyên phai làm Mặt khác, mỗi bài toán ta có thể xem là một định
lý, có những bài toán là tiền đề của những kiến thức khác
Giai toán còn là hình thức tốt để rèn luyện các kĩ năng: kĩ năng tính toán,kĩ năng biến đổi, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học Giai toán còn là mộthình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiếnthức Việc tìm kiếm kiến thức, lời giai cho một bài toán là rèn luyện phươngpháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận trong giai quyết các vấn đề và quađó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ Hìnhthành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, nhân sinh quan cáchmạng
Việc tìm ra lời giai của một bài toán khó, phương pháp giai mới, độc đáocủa một bài toán sẽ gây nên sự hào hứng, phấn chấn, khoái trá, điều đó có ýnghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán và ước mơ vươn tớivinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đềmới
Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu qua vàkhông thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triểnnăng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xao ứng dụng toán học vào thực tiễn
Vì vậy, tổ chức có hiệu qua việc dạy giai bài tập có vai trò quyết định đối vớichất lượng dạy học toán
Trong quá trình dạy học giai toán, loại toán mà học sinh thường cam thấykhó là bài toán “tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.Tuynhiên, đó mới là những bài tập rèn luyện được tư duy, trí tuệ nhiều nhất, họcsinh cam thấy rất hứng thú khi tìm ra được con đường đi nhanh nhất, thuận lợinhất Đặc biệt, đây là những bài toán để phát hiện được những học sinh thôngminh có óc tư duy trừu tượng tốt nhất Và trong đề tài này tôi sẽ đề cập đếnvấn đó
Trang 6Vì vậy trong công tác đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mớiphương pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phai vận dụng sángtạo các phương pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phai tổ chức dạyhọc sao cho học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các bộmôn học khác nói chung, qua đó hình thành kiến thức, kĩ năng và nhận thứccủa học sinh Nhiệm vụ cơ ban của bộ môn là đam bao cho học sinh nắmvững những kiến thức, phương pháp và vận dụng sáng tạo vào thực tiễn
4: CƠ SỞ THỰC TIỂN:
4.1:Những thuận lợi và khó khăn của vấn đề nghiên cứu.
4.1.1: thuận lợi.
*Từ Ban giám hiệu: Được sự đồng thuận nhất trí cao của Ban giám
hiệu nhà trường và của đồng nghiệp khi tôi đề cập vấn đề nghiên cứu đề tàinày Ban giám hiệu nhà trường nhà luôn quan tâm đến vấn đề chuyên môn vàthường xuyên kiểm tra, tổ chức dự giờ, rút kinh nghiệm cho giáo viên đặc biệtlà vấn đề đổi mới phương pháp, sử dụng thành thạo và hiệu qua thiết bị dạyhọc Ban giám hiệu nhà trường luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấnđấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sángtạo nhất
*Từ cơ sở vật chất: Nhà trường có phòng học bộ môn, phòng học máy
chiếu, phòng thiết bị và thiết bị dạy học tương đối đầy đủ và đam bao chấtlượng , có hệ thống máy vi tính kết nối mạng Interner tạo điều kiện thuận lợicho việc giang dạy, nghiên cứu của giáo viên và học sinh
*Từ Giáo Viên: Đội ngũ giáo viên của nhà trường nhiệt tình, tâm huyết
với nghề, năng động, sáng tạo, chủ động tìm tòi, nghiên cứu, nâng cao nănglực và hiệu qua trong giang dạy; có đội ngũ giáo viên trẻ và năng động thìviệc áp dung các phương pháp dạy học theo su hướng đổi mới phương pháp
“Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh” là một lợi thế rất lớn trong quátrình truyền đạt kiến thưc cho học sinh, vì với đội ngũ trẻ năng động, với kiếnthức sẵn có kết hợp với viêc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin cóthể rễ ràng trau rồi kiến thức, nghiệp vụ sư phạm cho mình giúp cho công tácgiang dạy đạt kết qua cao Đó là mặt tích cực của đội ngũ giáo viên tại đơn vị
tôi Ví dụ: Với viêc trau rồi kiến thức của mình mỗi giáo viên có nguồn cung
cấp riêng, nhưng nhìn trung có thể lấy từ các nguồn sau: Các sách tham khao,
trên báo trí, học hỏi đồng nghiệp, lấy qua mạng Internet,
*Từ Hoc Sinh:HS của trường năng động và đã có ý thức học tập, tiÕp
cËn nhanh víi thiÕt bÞ d¹yhäc Chủ động tiếp thu kiến thức toán học trêncác phương tiện thông tin đại chúng như : sách tham khao, các báo toán hoctuổi thơ, toán học tuổi trẻ, qua mạng Internet, trên truyền hình,
4.1.2: Khó khăn.
Trang 7*Về đội ngũ giáo viên: Bên cạnh những mặt tích cực vẫn còn những thiếu
sót cần khắc phuc như: mỗi giáo viên chỉ biết học tập và trau rồi kiến thức từcác tài liệu có sẵn, mà chưa thực sự bỏ thời gian công sức để thu thập và viết
ra cho mình một tài liệu kiến thức, phục vụ cho quá trình giang dạy của
mình.Đó là một viêc làm thiết thực và cần thiết Ví dụ: Muốn giang dạy tốt
mang kiến thức tìm GTLN và GTNH của biểu thức đại số ta có thể biên soạnmột chuyên để về GTLN và GTNH của biểu thức đại số
Nhiều GV chưa xây dựng phương pháp học tập và kỹ năng giai toán chohọc sinh; dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học,phương tiện dạy học, và ngại ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học
*Về học sinh:: Hầu hết các em là con em gia đình làm nông nghiệp, con
dân tộc ít người điều kiện kinh tế gia đình còn nhiều khó khăn, trình độ nhậnthức chung của phụ huynh hoc sinh còn thấp nên ngoài thời gian học tập trênlớp các em còn phai phụ giúp gia đình, do đó chưa đầu tư nhiều thời gian chohọc tập bộ môn.Hơn nữa do hoàn canh khó khăn nên các em không có điềukiện để trang bị thêm tài liệu tham khao Số em có ý thức tự giác học tập ởnhà là chưa nhiều, khi gặp dạng toán khó các em chưa chịu khó nghiên cứusuy nghĩ, còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng (nhiều em quên kiến thức cũhoặc chưa định rõ bài toán cần làm thuộc dạng toán nào) dẫn đến lời giaithường mắc phai những sai lầm thiếu sót
*Về cơ sở vật chất: Mặc dù nhà trường đã có đầy đủ các phòng học bộ
môn và trang tiết bị dạy học tương đối đầy đủ nhưng về tài liệu tham khao vàsách nâng cao để phục vụ cho GV và HS nghiên cứu thì có rất ít
Những thuận lợi và khó khăn trên có anh hưởng không nhỏ đến hoạt độnggiang dạy của tôi, và chất lượng giáo dục của nhà trường vì vậy tôi luôn cốgắng và tìm nhiều biện pháp để tăng cường chất lượng trong giang dạy đểđam bao cung cấp cho học sinh những kiến thức có hệ thống, có kĩ năng làmbài tập, có phương pháp học tập, nghiên cứu theo hướng tích cực, chủ động,sáng tạo về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạisố
4.2: Kết quả điều tra thực trạng:
Tôi đã thực hiện điều tra thực nghiệm tại đơn vị với các lớp 7, 8, 9 về chấtlượng giáo dục bộ môn toán thông qua bài kiểm tra khao sát đầu năm ; điềutra về kha năng giai bài toán “ tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số”; điềutra hứng thú học tập môn toán đại số đối với lớp 8 ,lớp 9 , kết qua điều tra cụthể như sau:
Điều tra 95 HS về khao sát chất lượng giáo dục đầu năm học 2012 – 2013đối với môn toán cho kết qua như sau:
Trang 8Lớp Số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu kém
Trang 95 :NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
5.1: Chương I:XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
5.1.1: Mục tiêu nghiên cứu
+) Tìm hiểu sâu hơn, đầy đủ hơn về nội dung kiến thức và bài tập tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
+) Tập hợp, hệ thống các kiến thức và xây dựng hệ thống các dạng bài tập vềtìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
+) Tìm hiểu, phân tích nguyên nhân dẫn đến những sai lầm thương mắc phaivà những thiếu sót trong lời giai bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củabiểu thức đại số Qua đó, nhằm giúp học sinh có được hệ thống kiến thức đầyđủ; rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy toán học và có kĩ năng giai bài toántìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Đồng thời nhằm mụcđích nâng cao năng lực học toán cho học sinh Cuối cùng rút ra được một số kếtluận sư phạm và kinh nghiệm về việc tìm giá trị lớn nhất giá, trị nhỏ nhất củabiểu thức đại số
+) Nghiên cứu đề tài để tạo cho mình có một tài liêu chuyên môn giúp chocông tác giang dạy sau này Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp cho GV thamkhao khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá trìnhdạy học của mình
+) Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giai pháp góp phần thựchiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tậpcủa học sinh
5.1.2.: Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tiến hành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiêm này , tôi thực hiện qua 6nhiệm vụ sau:
+)Nghiên cứu phương pháp dạy học , đổi mới phương pháp dạy học môntoán ở trường THCS , Nghiên cứu chương trình và SGK , SBT , Các tài liệutham khao và nâng cao của môn toán THCS
+) Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiến của vấn đề nghiên cứu.+) Điều tra và phân tích thực trạng về tình hình học tập của học sinh vàdạy học của giáo viên
+) Tìm hiểu về nội dung giá trị của biểu thức đại số và phương pháp giaimột số dạng toán “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”trong chương trình toán hoc THCS, có sự nâng cao
+) Tìm hiểu và phân tích một số khó khăn và sai lầm mà học sinh thườngmắc khi giai bài toán tìm “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcđại số”, tìm các biện pháp khắc phục
Trang 10+) Đưa ra các dạng bài tập và phương pháp giai bài toán “tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”.
+) Vận dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm vào trong công tác giang dạymôn đại số và công tác ôn luyện học sinh để kiểm nghiệm tính kha thi và tínhhiệu qua của đề tài tại đơn vị nhà trường
+) Rút kinh nghiệm và đánh giá kết qua đạt và chưa đạt trong quá trìnhvận dụng thực tế của sáng kiến kinh nghiệm
5.1.3: Phương pháp nghiên cứu.
Tiến hành sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng các nhóm phươngpháp sau :
Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết
Đọc và phân tích tài liệu về phương pháp dạy học môn toán, đổi mớiphương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của HS; Chươngtrình, về đại số của môn toán THCS, SGK, SBT và các tài liệu tham khao liênquan đến việc dùng tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn :
+) Quan sát theo dõi HS và học hỏi đồng nghiệp: Thông qua các giờ dạy
trên lớp, giờ dạy có phát phiếu học tập với nội dung “tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của biểu thức đại số”, có thể quan sát trực tiếp tình hình học tậpcủa học sinh về kha năng tiếp thu bài, về kĩ năng làm bài, về những mặt làmđược và chưa làm được cũng như những sai lầm trong bài làm của học sinh.Thông qua việc trao đổi bàn bạc với bạn đồng nghiệp nhằm nắm bắt, thu thậpđược những tài liệu thông tin có liên quan đến nội dung đề tài cần nghiên cứu
+) Phương pháp điều tra sư phạm : Phỏng vấn, trao đổi, khao sát điều tra
số liệu theo phiếu, thống kê và phân tích số liệu điều tra
+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm : Giang dạy thực nghiệm nội dung
tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số để bước đầu kiểm nghiệm tính khathi và hiệu qua của nội dung đã được xây dựng trong đề tài tại đơn vi
+) Tổng kết kinh nghiệm và đánh giá kết qua.
5.2: Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Trang 11Từ những thuận lợi, khó khăn, đặc điểm của học sinh, chất lượng giai toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Với mục đích giúp học sinh có được hệ thống kiến thức,các dạng bài tập đầy đủ, có kĩ năng giai toán và tránh được những sai lầm thiếu sót trong giai toán Tôi đã xây dựng các biện pháp giai quyết vấn đề của đề đài nghiên cứu như sau.
5.2.1:Biện pháp 1: Trang bị các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
.Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: a) Cho biểu thức f(x) xác định trên D.
Định nghĩa 1: Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí hiệu M =
maxf(x), nếu hai điều sau được thoa mãn:
i) Với mọi x thuộc D thì f(x) M, với M là hằng số.
ii)Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M.
Định nghĩa 2: Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m =
minf(x) nếu hai điều kiện sau được thoa mãn:
*: Với mọi x thuộc D thì f(x) m, với m là hằng số.
**:Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m.
b Cho biểu thức f(x, y, ) xác định trên D
Định nghĩa 1’: Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x, y, ), kí hiệu M =
max f, nếu hai điều kiện sau được thoa mãn:
i)Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì f(x,y, ) M ( M là hằng số ) ii)Tồn tại x0,y0, sao cho f(x0,y0, ) = M.
Định nghĩa 2’: Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x, y, ), kí hiệu m =
min f, nếu hai điều kiến sau được thoa mãn:
i)Với mọi x,y, để f(x,y, ) xác định thì f(x,y, ) m, ( m là hằng số ).
ii) Tồn tại x0, y0, , sao cho f(x0,y0, ) = m
Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phai khi làm loại bài toán này, ta
cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, rèn những phan xạsau:
+ Chứng tỏ f (x , y , .)≤ M hoặc f (x , y , .)≥ m ) với mọi x , y , .
thuộc D
+ Chỉ ra sự tồn tại x0, y0 thuộc D để f (x , y , .) đạt cực trị
Chú y đến miền giá trị của biến
Trang 12Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A , MinA là giá trị nhỏ nhấtcủa A
Một số tính chất của GTNN và GTLN của biểu thức đại số:
a/ Maxx∈ A f (x )≤ max x ∈B f (x) b/ Minx ∈ A f (x)≥ min x ∈B f (x)
Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó
f (x) và g(x) cùng đạt giá trị lớn nhất Tương tự nếu tồn tại x0 thuộc
D mà tại đó f , g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng
f (x )}
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ
cũng phai tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x) nhưng xét trên hai TXĐ khácnhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau Để cho phù hợp vớichương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta gia thiết là các bài toán đang xét đềutồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó
Một số hằng bất đẳng thức thông dụng:
*A2
0 với mọi x dấu bằng xẩy ra A=0
* A 0 với mọi A 0 Dấu bằng xẩy ra A=0
* A 0 với mọi x Dấu “=” xẩy ra A=0
* A A A với mọi x dấu bằng xẩy ra A=0
* A B A B Dấu bằng xây ra AB 0
Trang 13* A B A B Dấu bằng xây ra AB 0 và A B, cũng có thể diễnđạt điều kiện trên là A B 0 hoặc A B 0.
Dấu bằng xẩy ra a=b
+ Bất đẳng thức Côsi cho ba số a, b, c không âm (a, b, c 0)
.Dấu bằng xẩy ra a=b=c
+ Bất đẳng thức Côsi cho n số a1, a2, , an không âm
n
a a a n
1 2
n n
a
b b b (Với quy ước: nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
5.2.2:Biện pháp 2: Trang bị cho học sinh một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số,trước tiên hoc sinh cần có những kiến thức nhất định về phương pháp chứngminh bất đẳng thức:
Phương pháp biến đổi và dùng tính, chất điều kiện bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a, bR Ta có: a4 b4 ab3 a b3 (1)
Giai:-Phương pháp biến đổi tương đương(1) a4b4 ab3a b3
Trang 14Giai: Dùng điều kiện và tính chất của bài toán
(a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b4
1 4
Phương pháp quy nạp (phương pháp này ít sử dụng cho việc tìm
GTLN, GTNN của biểu thức đại số)
B1 Chứng minh bất đẳng thức đúng với k=i
B2 Gia sử bất đẳng thức đúng với mọi k
B3 Ta đi chứng minh biểu thức đúng với n= k+1
Ví dụ: Cho a, b, c lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một
tam giac vuông Chứng minh rằng: an +bn cn (2 n và n N)
Giai: Với n=2 ta có: a2 +b2 c2 bất đẳng thức đúng theo định lí pi ta go.G/s bất đẳng thức đúng với n = k Ta có: a k +b k ck Ta chứng minh bấtđẳng thức đúng với n = k+1 Khi n = k+1 ta c:
a k+1 +bk+1 = a.a k +b.bk c(ak +bk ) c ck = ck+1 hay ak+1 +bk+1 ck+1 đpcm
Phương pháp phản chứng
Trang 15Để chứng minh AB, ta gia sử A < B, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí
ab bc ca
Chứng minh rằng a, b, c là các số dương
Giai:G/s Trong ba số a,b,c có một số không dương.(vì a,b,c vai trò như
nhau ) nên ta có thể gia sử số không dương đó là a ( a 0 )
Phương pháp tam thức bậc hai:
Kiến thức của phương pháp này là kiến thức trọng tâm của học sinhTHCS lớp 9 Đối với một số bài toán tìm GTLN, GTNH của biểu thức đại số(bậc hai) nhiều khi ta phai vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trìnhbậc hai
Chú ý: + Nếu < 0 th× f x cïng dÊu víi hÖ sè a
+ Khi a chứa tham số ta cần biện luận
Ví dụ: Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
2 2
Trang 16Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn
4
;03
Từ yêu cầu bài toán => 0 ( a 2)2 4( a2 2 a 1) 0
3.(Bất đẳng thức cô si)
Ví dụ2: Cho a+b =2 Tìm GTNN của a4 + b4
Trang 17D B với D là biểu thức nhỏ hơn hặc bằng A
Ví dụ:Với n N và n > 1 thì ta có:
2 (Dành cho hoc sinh lớp 8)
Giai: Yêu cầu bài toán tương đương với bất đẳng thưc sau:
Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số.
-Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vân dung các bàitoán cơ ban về phân số Ta có hai bài toán cơ ban sau:
Bài toán 1: Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
Trang 18b) Chứng minh tương tự: Nếu a b => a.c b.c
=> a.b + a.c a.b + b.c
=>
1
x 2
4 ( x y )
Trang 19Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thểvận dụng các bai toán cơ ban về bất đẳn thức chứa dấu giá tri tuyệt đối sau;
Bài toán 1.Chứng minh rằng:
a) a b ab Dấu “=” xay ra khi và chỉ khi ab 0
b)a b a b Dấu bằng xay ra khi và chỉ khi ba b0
Bài toán 2.Chứng minh rằng nếu x, y khác 0 thì:
x x
y y
x
Dấubằng xay ra khi và chỉ khi x y.Từ đó suy ra nếu m, n > 0 ta có:
1) m 2
n n
Khi cần áp dụng các bài toán này ta phai chứng minh rồi mới vận dụng
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biêut thức sau: x y x 3 y 5
Giai: Ta áp dụng bài toán 1 Ta có:
xy
Giai: Ta có: x 3; y 3; z 3
1 1 1 1
Theo bài toán ta có:
1 1 1 1 1 1 1
yz xz xy
Vậy GTNN của biểu thức xyz
yz xz
Trang 20i)2(x2+y2) (x+y) 2 4xy
ii)(x2 + y2 + z2) (x + y + z) 2 3(xy + xz + yz)
Chú ý: khi cần sử dung các bất đẳng thức trên ta cần chứng minh.
Ví dụ1: Cho x, y 0 thỏa mãn x + y = 1 Hãy tìm GTNN của biểu thức:
2 2
1 1
1 1
2
1 1
mà :
22 2
2
1 1 1
1 1
y x y
y x
Vậy
2 2
1 1
x
25
hay GTNN của biểu thức lá 25
Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về căn thức bậc hai.
Khi chứng minh bài bất đẳng thức có chứa căn bậc hai, ta có thể vận dụngcác bài toán cơ ban về bất đẳng thức chứa căn thức
Bài toán 1 Cho a, b > 0 Chứng ninh rằng ab
b a
2 Dấu “=” xay rakhi và chỉ khi a = b
Bài toán 2 Chứng minh rằng
axby a2 b2x2 y2 Dấu “=” xay rakhi và chỉ khi ay bx
Bài toán 3 Chứng minh rằng: a2 b2 x2 y2 ab2 x y2
Dấu “=” xay ra khi và chỉ khi ay bx
* Chú ý: Các bài toán 2 và 3 đều được chứng minh dựa vào bất đẳng thức
Bunhiacôpski
5.2.3:Biện pháp 3:Trang bị một số phương pháp giải một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
5.3.1 Dạng 1:Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của đa thức
Trường hợp 1: Đa thức là tam thức bậc hai ax 2 + bx + c
Cách giải chung của dạng toán trên là :
Dựa vào lũy thừa bậc chẵn biến đổi đa thức đã cho về dạng :
Trang 21* y = M – [g(x)] 2 ( M là hằng số ).Khi đó y M Vậy GTLN của đa thức đã cho là M đạt đươc khi và chỉ khi g(x) = 0.
* y = m + [h(x)] 2 (m là hằng số ).Khi đó y m Vậy GTNN của đa thức đã cho là m đạt đươc khi và chỉ khi h(x) = 0.
Chú ý : Với tam thức bậc hai ax 2 + bx + c, khi a > 0 thì cho ta bài toán tìm GTNN, khi a < 0 thì bài toán đi tìm GTLN
Các ví dụ :
Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau:A = x2 – 4x + 2
Giai : Ta có : x2 – 4x + 2 = x2 – 2.2.x + 22 – 2 = -2 + (x – 2 )2
Vì (x – 2 )2 0 nên -2 + (x – 2 )2 -2
Vậy GTNN của biểu thức A là -2 đạt được khi (x – 2)2 = 0 x = 2
Nhận xét : Ở đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một hiệu với số thứ nhất là x, số thứ hai là 2 như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được dạng của hằng đẳng thức cần áp dụng, biết cách xác định được số thứ nhất và số thứ hai trong hằng đẳng thức đó
Vậy: A đạt GTNN bằng
3
2 Như vậy số thứ hai sẽ là
3 2
Trang 22Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ nhầm dấu khi áp dụng hằng đẳng thức.Hạng tử đầu tiên đã xuất hiện bình phương nhưng lại có dấu trừ ở đằng trước nên để áp dụng được hằng đẳng thức chúng ta phai nhóm các hạng tử với nhau và đặt dấu trừ ở đằng trước dấu ngoặc.
Ví dụ4: Tìm GTLN của biểu thức sau : D = -2x2 + 5x +1
Trang 23.c) C = ax2 + bx + c ( a 0)
Xét các giá trị của a , a > 0, a < 0
*Vậy để tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a 0) ta biến đổi ax 2 + bx + c
Chú ý:Tùy theo giá trị của a mà bài toán yêu cầu tìm GTNN hay GTLN ,
khi a > 0 thì cho ta bài toán tìm GTNN, khi a < 0 thì bài toán đi tìm GTLN
Trường hợp 2: Đa thức gồm nhiều biến
Trang 24= 40- (x + 5)2 - (3x- 4y)2 40.Vậy GTLN của A là 40
(a1 + a 2 + + a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 + 2a 1 a 2 + + 2a n-1 a n + 2a n a 1
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thứcB = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 2
Giai: B =2x2 + 2xy + y2 –2x+2y + 2
+ Trong quá trình giai ta có thể dùng cách đổi biến
Cách 2: (đặt ẩn phụ) C = x2- 4xy + 5y2 + 10x- 22y + 28
= (x2- 4xy + 4y2) + (y2- 2y + 1) + 27 + 10x - 20y = (x- 2y)2 + (y- 1)2 + 27 + 10 (x- 2y)
Đặt x- 2y = t ta được C = t2 + (y- 1)2 + 27 + 10t = (t + 5)2 + (y- 1)2 + 2 2
Trang 25Dấu “=” xay ra khi :
Vậy GTNN của C là 2 ⇔ y = 1; x = -3
Ví dụ4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 26Ta có : A = ( t – 6) ( t + 6) = t2 – 36 -36.
GTNN của A là -36 Đạt được khi t = 0 x2 + 5x = 0 x = 0, x = -5
Nhận xét : Ví dụ trên nếu chúng ta khai triển đa thức trên bằng cách nhân các đa thức với nhau thì ta được đa thức bậc 4.Việc tìm giá trị nhỏ nhất của
đa thức bậc 4 không mấy dễ dàng ,rất khó khăn do đó để giam bớt đi bậc của
nó ta tìm cách đi cách đi đổi biến.
Trang 27Ví dụ3 : Tìm GTNN của biểu thức sau :C = x4 – 6x3+ 10x2 – 6x + 19
Giai :
Ta có : C = x4 – 6x3+ 10x2 – 6x + 9 = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + 9 + 10 = (x2 – 3x )2 + (x – 3)2 + 10 10
Vậy MinC= 10 x2 – 3x = 0 và x – 3 = 0 ,MinC= 10 x = 3
Nhận xét : Ví dụ 3 nếu chúng ta tìm cách đi đổi biến như ví dụ 1, 2 thì rất khó Vậy ta tìm cách đi biến đổi để đưa về dạng tổng quát
Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức: D = -x(x +1)( x + 2)(x + 3) + 7
Giai : Ta có: D = - x(x +1)( x + 2)(x + 3) + 7= -(x2 + 3x )(x2 + 3x + 2 ) + 7 Đặt x2 + 3x = t
Trang 28Vậy GTLN của A bằng 25 đạt được khi t = 3 x2 - 4 = 3 x = 7
d) Gia sử ta có
max ( ) min ( )
Nếu f (x) 0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên a b1 ; 1
min f (x) = min f (x) = a trên a b1 ; 1
Nếu max f (x) 0 còn min f (x) 0 trên a b1 ; 1
Ta có: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên a b1 ; 1
min f (x) = - max f (x) trên a b1 ; 1