[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN HỌC GIẢI TÍCH 1
Thời gian làm bài 120 phút
Mã số đề thi: 61
1.(1,0đ) Chứng minh rằng, hàm số y (x)sin(lnx)cos(lnx)là nghiệm của phương trình
0 y ' xy '' y
2.(2,0đ) Cho hàm số
2 x khi p
2 x khi x
cos
x sin x
sin )
x
3
, tìm giá trị của tham số p để hàm số
này liên tục trên tập số thực R
x 1
1 ln ) x ( , chứng minh rằng f(n)(0)(n1)!
4.(2,5đ) Tính chu vi và diện tích của hình hoa 4 cánh được tạo bởi 4 đường tròn
1 y ) 1 x (
1 ) 1 y ( x
2 2
2 2
5.(2,0đ) Tính tích phân
0 x
3
dx e
x
================================
***** (Thi giữa kỳ, học kỳ I năm học 2019-2020)
Mã số đề thi: 61 1.(1,0đ) Ta có y (x)sin(lnx)cos(lnx) (1)
)' x ).(ln x sin(ln )'
x ).(ln x cos(ln )]'
x cos(ln )
x [sin(ln
)
x
(
'
f
'
x
) x sin(ln )
x cos(ln x
1 )
x sin(ln x
1 )
x
2 '
x
' x )]
x sin(ln )
x [cos(ln x
)]'
x sin(ln )
x [cos(ln x
) x sin(ln )
x cos(ln )]'
x
(
'
f
''
2
x
1 )]
x sin(ln )
x [cos(ln x
]
)' x ).(ln x cos(ln )'
x ).(ln x sin(ln
2
x
) x sin(ln )
x cos(ln x
x
1 )
x cos(ln x
1 )
x
2 2
x
) x cos(ln 2 x
) x sin(ln )
x cos(ln )
x cos(ln )
x
Thay (1), (2) và (3) vào biểu thức x2y ''xy'y ta được
) x cos(ln )
x sin(ln x
) x sin(ln )
x cos(ln x x
) x cos(ln 2 x y ' xy '' y
0 ) x cos(ln )
x sin(ln )
x sin(ln )
x cos(ln )
x cos(ln
Trang 22.(2,0đ) Hàm số
2 x khi p
2 x khi x
cos
x sin x
sin )
x
3
có D(f) = R (0,25đ) liên tục
với
2
\
R
x vì biểu thức tạo ra f(x) là các hàm số sơ cấp (0,25đ) Điểm gián đoạn của hàm số có
thể có tại điểm
2
x
(0,25đ)
Đặt
12 2
2 6
2 3
3
6
t 1 x sin 1 x cos
t x sin
t x sin
t x sin
x sin
2
thì t 1 (0,25đ)
) 1 t
t t )(
1 t (
) 1 t t )(
1 t ( ) 1 t )(
1 t ( 1
t
) 1 t ( ) 1 t ( t 1
t t x
cos
x sin x
sin
10 11
2 12
3 2
12
2 3 2
3
1 t
t t
t )
1 t
t t )(
1 t
(
) t )(
1 t (
10 11
2 10
11
2
12
1 1 1
1 1
1 1
t
t t
t lim
x cos
x sin x
sin
2 10
11
2
1 t 2
3
2
x
(0,25đ)
12
1 2
f ) x ( lim 2
x
2 x
12
1
p thì
hàm số f(x) đang xét liên tục trên tập số thực R (0,25đ)
*Có thể tìm
x cos
x sin x
sin
3
2 x
bằng cách sử dụng Quy tắc L’Hospitale: Biểu thức
x cos
x sin x
sin
2
3
cần tìm giới hạn khi
2
x
có dạng vô định
0
0
khi
2
x
x sin x cos 2
x sin
x cos 3
1 x sin
x cos 2 1
lim )'
x (cos
)' x sin x
sin ( lim x
cos
x sin x
sin lim
3 2
2 x 2
3
2 x
) L ( 2
3
2
12
1 2
1 3
1 2
1 1
1 2
1 1
1 3
1 1 2
1 x sin
1 2
1 x sin
1 3
1 x sin 2
1 lim
3 2
3 2 2
x
3.(2,5đ) Biến đổi ln1 ln(1 x) ln(1 x)
x 1
1 ln ) x
cấp 3 và cấp 4 của f(x):
1 )
1
(
) x 1 (
1 ) 1 (
x 1
1 )'
x 1 (
x 1
1 )]'
x 1 ln(
[
)
x
(
2 2
2 1
)
1
(
)
2
(
) x 1 (
1 ) 1 ( ) x 1 )(
1 ( )' x 1 ( ) x 1 )(
1 ( ]' ) x 1 [(
)]' x ( f
)
x
(
TailieuVNU.com
Trang 3Bước 1 Với n = 1, ta có ( 1 ) 1 1 1 1
) x 1 ( ) x 1 (
1 ) x 1
!.(
0 ) x 1 ( )!
1 1 ( ) x (
Bước 2 Giả sử (4) đúng với n, tức là ta có ( n ) n n
) x 1 (
)!
1 n ( ) x 1 ( )!
1 n ( ) x ( f
Bước 3 Ta phải chứng minh (4) đúng với (n+1), thật vậy:
) 1 ( ) x 1 )(
n )!.(
1 n ( )' x 1 ( ) x 1 )(
n )!.(
1 n ( ]' ) x 1 ( )!
1 n [(
)]' x ( f
)
x
(
1 n )
1 n ( 1
n 1
n
) x 1 (
]!
1 ) 1 n [(
) x 1 ( ]!
1 ) 1 n [(
) x 1 ( n )
x 1
(
n
)!
1
n
Như vậy, công thức xác định đạo hàm cấp n của hàm số
x 1
1 ln ) x
n n
)
n
(
) x 1 (
)!
1 n ( ) x 1 ( )!
1 n
(
)
x
(
f
với quy ước 0! = 1.(0,5đ) Bây giờ khi thay x = 0 vào công thức
n )
n
(
) x 1
(
)!
1 n
(
)
x
(
f
1
)!
1 n ( ) 0 1 (
)!
1 n ( ) 0 (
*Để chứng minh công thức xác định đạo hàm cấp n của hàm số
x 1
1 ln ) x ( , ta có thể làm bằng cách gọn hơn như sau:
x 1 1 x
1 1
) x 1 ( 1
x 1 1
) x 1 (
) x 1 (
1 ) x 1 (
0
x 1 1
x 1 1 x
1
1 ln ) x ( ' f x 1
1
ln
)
x
(
2 2
' '
'
) 1 n ( )
n
(
x 1
1 ) x ( f
) 1 n (
1 n
) n (
) x 1 (
)!
1 n ( )
x 1 (
)!
1 n ( x
1
1 )
x 1 (
! n x
1
1
n )
n
(
) x 1 (
)!
1 n ( ) x ( f
4.(2,5đ) (a) Vẽ đồ thị
- Đồ thị của hai đường tròn
1 y ) 1 x (
1 ) 1 y ( x
2 2
2 2
giao nhau tại các điểm O(0,0); A(1,1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1 ) 1 y ( x
1 y ) 1 x (
2 2
2 2
giao nhau tại các điểm O(0,0); B(1,-1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1 y ) 1 x (
1 ) 1 y ( x
2 2
2 2
giao nhau tại các điểm O(0,0); C(-1,-1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1 ) 1 y ( x
1 y ) 1 x (
2 2
2 2
giao nhau tại các điểm O(0,0); C(-1,1) (0,25đ)
Trang 4(0,25đ) (b) Tính chu vi
Do tính đối xứng của hình vẽ nên chu vi L của hình hoa bốn cánh này là L = 8L1 với L1 là độ dài cung OA của đường tròn x2 (y1)2 1có phương trình 2
1(x) 1 1 x f
y trên đoạn 1
x
0 .(0,25đ)
Theo công thức tính độ dài cung b
a
2 ' 1
1 1 f (x)] dx
1 b
0 a
x 1 1 ) x (
(0,25đ)
ta có
2 2
' 1 2
2 2
2 2
'
1
x 1
1 )]
x ( f 1 x
1
x x
1
x 2 2
1 x 1
)' x 1 ( 2
1 )' x 1 1
(
)
x
(
f
2
0 2 0 arcsin 1
arcsin x
arcsin x
1
dx dx
)]
x ( f 1
0 1
1 0
2 ' 1 1
Do đó 4
2 8 L 8
(c) Tính diện tích
Do tính đối xứng của hình vẽ nên diện tích S của hình hoa bốn cánh này là S = 4S1 với S1 là diện tích của cánh hoa nằm ở góc vuông thứ nhất của hệ tọa độ Oxy được tạo bởi cung OA của đường tròn x2 (y1)2 1 trên đoạn 0x1 và cung OA của đường tròn (x1)2 y2 1 có phương
2(x) 1 (x 1)
f
y trên đoạn 0x1.(0,25đ)
Theo công thức tính diện tích hình phẳng b
a
1 2
1 f (x) f (x)dx
1 b
0 a
) 1 x ( 1 ) x ( f
x 1 1 ) x ( f
2 2
2 1
(0,25đ)
1
TailieuVNU.com
Trang 5
2 2
2 2
dx dx x 1 ) 1 x ( d ) 1 x ( 1 dx dx x 1 dx ) 1 x ( 1
1 0 1 0
2 2 1
0
2 2
x 1
x arcsin 1 x 1 x 2
1 1
1 x arcsin 1 ) 1 x ( 1 ) 1 x
(
2
0 1 0 2
1 0
2
x x arcsin x
1 x 2
1 ) 1 x arcsin(
) 1 x ( 1 ) 1 x
(
2
(1 1) 1 (1 1) arcsin(1 1) (0 1) 1 (0 1) arcsin(0 1)
2
1 1 1 arcsin1 0 1 0 arcsin0 (1 0)
2
2
1 ) 1 arcsin(
0 1 0 arcsin 1
,
0
2
1
1 2
1 4 4 1 0 0 2
0 2
1 2 0 0 0
2
1
) 2 ( 2 1 2 4 S 4
a
x arcsin a
x a x 2
1 dx x
5.(2,0đ)
0
2 x 2 0
x 3 0
x
3
) x ( d e x 2
1 dx e x dx e
x
0
t 2
dt te 2
1 I t
x
0 t 0 x x
Đặt
dt e ) t ( dv
dt ) t ( du dt
e dt ) t ( ' v dv
dt dt 1 dt ) t ( ' u du e
) t ( v
t ) t ( u
t t
0 b
b 0 b
b 0 b 0
) t ( du ) t ( v lim )
t ( v ) t ( u lim 2
1 ) t ( dv ) t ( u lim 2
1 ) t ( dv ) t ( u
2
1
I
0 t b b 0 t b b
0
t b
b 0
t b
b 0 b
b
e
t lim 2
1 dt
e lim te
lim 2
1 )
t ( du ) t ( v lim )
t
(
v
)
t
(
u
2
1
b 0 t b 0 b
1 e
1 lim 2
1 e
b lim 2
1 e
1 lim 2
1 e
0 e
b
lim
2
1
2
1 e
b lim 2
1 1 0 2
1 e
b
lim
2
1
b b b
Khi bthì b
e nên biểu thức cần tìm giới hạn b
e
b
có dạng vô định
0 e
1 lim )' e (
' b lim e
b
b b b
) L ( b
Do đó
2
1 2
1 0 2
1 0 2
1 2
1 e
b lim 2
1
b