[r]
Trang 1(Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1 (1,5d) Cho hàm số
0 x khi a
0 x khi x
x sin ) x (
Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên R
Câu 2 (1,5đ) Tìm giới hạn
x 1
x tan
Câu 3 (1,5đ) Tính đạo hàm cấp n của hàm số
1 x x 2
x )
x
Câu 4 (1,5đ) Tính tích phân e
1
dx x
x ln 1 x ln
Câu 5 (1,5đ) Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 n
n n
n
) 2 x ( n
2
! n
Câu 6 (1,5đ) Khai triển hàm số
3 x 4 x
1 x x ) x
2
thành chuỗi lũy thừa của x và xác định miền hội tụ của
chuỗi
Câu 7 (1,0đ) Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai câu 7a hoặc 7b sau đây:
7a Xét tính liên tục của hàm số n n
lim ) x
7b Định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), tại điểm x(a, b) và áp dụng để tìm giới hạn
h
x arctan )
h x arctan(
lim
0 h
2
, 2
==============================
Đáp án và thang điểm Đề thi cuối kỳ môn học GIẢI TÍCH 1 (MAT1094) - Đề số 1
(Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm bài 150 phút)
1
Vì sin3x và x là các hàm sơ cấp nên khi x ≠ 0 thì hàm
x
x sin ) x ( là hàm sơ cấp nên liên tục trên R\{0}= (-∞, 0) (0, ∞)
0,25
do đó f(x) liên tục trên R f(x) liên tục tại x = 0 0,25
x
x sin lim 3 x
x sin 3 lim x
x sin lim ) x
(
lim
0 x 0
x 0
x 0
đặt t = 3x, khi x 0 thì t 0 nên 3.1 3
t
t sin lim 3 ) x ( lim
0 t 0
Theo định nghĩa, f(x) liên tục tại x = 0 lim (x) (0)
0
(2), mặt khác, theo giả thiết f(0) = a (3) 0,25
Cộng 1,50
Cách
khác
Khi x 0 thì sin3x 0
x
x sin
có dạng vô định
0
0
nên có thể áp dụng quy tắc Lôpital để tìm
x
x sin
lim
0
x
0,25
3 x cos 3 lim '
x
)' x (sin lim x
x sin lim ) x
(
lim
0 x 0
x 0
x 0
1 x
x tan ln lim 1 x
x tan ln x
1 lim x 1
x
x x
e e
1 x
x tan
lim
Trang 2khi x ∞
2 x
1 2 1 x
1 x
x tan ln 2
tan 1 x 2
x tan
x
1 x
x tan
có dạng vô định
nên có thể áp dụng quy tắc Lôpital để tìm
x
1 x 2
x tan ln lim
x
0,25
1 x 2
x tan 1 x 2
x cos ) 1 x 2 (
lim '
x
' 1 x 2
x tan ln lim x
1 x
x tan ln
lim
2 2 x
x x
1 x
x 2 sin ) 1 x
(
2 lim
2 x
(*)
0,25
2 x
2 x
) 1 x ( 1 1 x 2
x 2 sin lim
2 1
x
x 2 sin ) 1 x (
lim
2
khi x ∞
0 ) 1 x 2 (
1 , 0 sin 1 x
x 2 sin x
1 2
2 1 x
x 2
2
2
) 1 x
(
1 1 x
x 2 sin
có dạng vô định
0
0
nên có thể áp dụng quy tắc Lôpital để tìm
2 x
) 1 x 2 ( 1 1 x
x 2 sin lim
0.25
2 1 x
x 2 cos ) 1 x 2 ( lim 2 ' ) 1 x ( 1
' 1 x 2
x 2 sin lim )
1 x 2
(
1 1 x 2
x 2 sin
lim
x 2
x 2
1 e 1 x 2
x tan lim 0 2
) 1 x 2 ( 1 1 x 2
x 2 sin lim
1
x
2 x
0,25
Cộng 1,50
Cách
khác
1 x 2
x 2 1 x 1 x 2
x 2
t sin ) t sin(
1 x
x 2 sin t
1
0,25
0 1
0 2 t
t sin lim
t lim 2 t
t sin
t lim 2 t sin
t lim 2 1 x 2
x 2 sin ) 1 x (
2 lim
0 t
0 t 0
t 2
0 t 2
1
Trang 33
1 x 2
B 1 x
A ) 1 x 2 )(
1 x (
x 1
x x
x )
x
1 B
1 A 0
B A
1 B A 2 )
1 x )(
1 x (
) B A ( x ) B A 2 ( ) 1 x 2 )(
1 x
(
) 1 x ( B ) 1 x
2
(
A
1 x 2
1 1 x
1 )
x (
Có thể chứng minh hoặc chỉ cần đưa ra công thức n 1
n n )
n (
) b ax (
a
! n ) 1 ( b
ax
1
1 n n
1 n
n n )
n (
) 1 x (
! n ) 1 ( )
1 x (
1
! n ) 1 ( 1
x
1
1 n
n n )
n (
) 1 x 2 (
2
! n ) 1 ( 1
x
1
) n ( )
n ( )
n
(
) 1 x (
2 )
1 x (
1
! n ) 1 ( 1
x 2
1 1
x
1 ) x (
Cộng 1,50
4
1
e
1
) x (ln d x ln 1 x ln dx x
x ln 1 x ln
e
1
2 3
1 2
) x ln 1 ( d ) x ln 1 ( 2
1
đặt t = 1 + ln2x, khi x = 1 thì t = 1 và khi x = e thì t = 2
2
1 3 1
dt t
2
1 3 4
t
8
3
2 2 1
8
3 1 2 8
3
4 3
4
Cộng 1,50
Cách
khác
, dx x
x ln 1 x ln
I
e
1
x ln 1
dt t 2
3 dx x
x ln dx x
x ln 2 dt t 3 x ln 1
và khi x = 1 thì t = 1 và khi x = e thì
3
2
t
0,25
3 2
1
3
dt t 2
3
3 2
1
4
t
8
3
8
3 1 2 8
3
1 n
n n 1
n
n n
n
t a )
2 x ( n
2
!
n
n n
n
2
! n
Trang 4e 1 R e 2
n
1 1 lim 2
n
1 1
2 lim 2
! n ) 1 n (
n 2 )!
1 n ( lim a
a
n
n n
n n
n 1 n
n n
1 n
2
e x 2 2
e 2
e R 2 x R
2
e
x (đầu mút phải) chuỗi trở thành chuỗi dương
1 n n 1
n n
n
b n
e
! n
n
1 1
e b
b n
e
! n
n
1 n n
n
do
n
n
1 1
bn là dãy tăng và không tiến về 0 khi n ∞ nên chuỗi phân kỳ tại đầu mút phải
của khoảng hội tụ
0,25
2
e
x (đầu mút trái) chuỗi trở thành chuỗi đan dấu
1 n n 1
n
n
n n
b n
e
! n ) 1 (
n
1 1
e b
b n
e
! n ) 1 (
n
1 n n
n n
do
n
n
1 1
bn là dãy tăng và không tiến về 0 khi n ∞ nên chuỗi phân kỳ tại đầu mút
trái của khoảng hội tụ
0,25
miền hội tụ của chuỗi là
2 2
e , 2 2
e
2
e x 2 2
e
Cộng 1,50
6
1 x
3 3 x
13 2
1 1 ) 1 x )(
3 x (
2 x 5 1 3 x x
1 x x )
x
2
0,25
3
x 1
1 3 13 3
x 1 3
13 3
x
13
(sử dụng
n
t t 1
1
trong miền hội tụ t , với 1
3
x
0,25
0 n n
n 3
2
3
x 3
13
3
x 3
x 3
x 1 3
13
trong miền hội tụ 1
3
x hay x 3 (4) 0,25
x 1
1 3 x 1
3 1
x
3
(sử dụng
n
x x
1
1
trong miền hội tụ x ) 1 0,25
0 n
n 3
2
x 3
x x 1
n
0 n
1 n 0
n n
0 n n
n
x 3
13 3 2
1 1 x 3 3
x 3
13 2
1 1 )
x
[giao của (4) và (5)]
0,25 Cộng 1,50
n
n n
Trang 51
x limx 1 lim 3 x limn 4 1
n
n n
:
1
n 2 n
n n
x
3 x lim x
3 lim x
1 x khi x
1 x khi 1 )
x
vì lim (x) lim x2 1 ( 1)
1 x 1
1 x 1
nên hàm số liên tục tại x = -1 (7)
vìlim (x) lim1 1 (1)
1 x 1
x
1 x 1
nên hàm số liên tục tại x = 1 (8) 0,20
Cộng 1,00
7b
Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và x0 (a, b), nếu tồn tại giới hạn
R A x
x
) x ( ) x
(
lim
0
0 x
thì A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0
vàđược ký hiệu là f’(x0)
0,20
Đặt x = x – x0, f = f(x) – f(x0) thì
x
) x ( ) x x ( lim x
f lim x
x
) x ( ) x ( lim ) x ( '
0 x 0
x 0
0 x
x 0
Xét hàm f(x) = arctanx xác định trong khoảng
2
,
2 , theo định nghĩa đạo hàm của hàm f(x) tại điểm
2
, 2
h
x arctan )
h x arctan(
lim x
x arctan )
x x arctan(
lim x
) x ( ) x x ( lim )
x
(
'
f
0 h 0
x 0
x
0,20
Mặt khác
1 x
1 )' x (arctan )
x ( '
Từ (9) và (10) suy ra
1 x
1 h
x arctan )
h x arctan(
0
Cộng 1,00