b) Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra chiều cao AH của tam giác ABC. Trong không gian Oxyz. Trong không gian Oxyz. Tính thể tích của khối hộp đã cho. Trong không gian Oxyz. a) Chứng [r]
Trang 1HÌNH HỌC 12
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHƠNG GIAN
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
Trang 3Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định
NỘI DUNG
1 Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2 Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện
3 Bài tập trắc nghiệm
4 Bổ sung đầy đủ các dạng toán, câu hỏi trong đề thi THPTQG
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899
Trang 4ÔN TẬP CHƯƠNG III - 44 – 69
II PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - 70 – 73 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - 74 – 83 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG - 84 – 93 MẶT CẦU - 94 – 99
ÔN TẬP CHƯƠNG III - 100 – 129
ÔN TẬP THI THPT - 130 – 148 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM - 149 – 152
Trang 5Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
-0O0 -
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Hệ trục tọa độ trong không gian
Cho ba trục Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng , ,
đôi một Gọi i j k, , là các vectơ đơn vị tương ứng
trên các trục Ox Oy Oz Hệ gồm ba trục như vậy , ,
được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz
trong không gian hay đơn giản được gọi là hệ tọa
Các mặt phẳng ( ) ( ) ( )Oxy , Oyz , Oxz đôi một
vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa
4 Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Trong không gian Oxyz , cho A x y z( A; ;A A) (,B x y z B; ;B B),C x y z( C; ;C C), D x y z( D; ;D D)
x
y z
Trang 65 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a=(a a a1; ;2 3) (,b= b b b1; ;2 3) Ta có:
Trang 7Bài 3 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 2;2− ) (B − ) (C − )
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
x x x x
y y y y
z z z z
Trang 8- Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ
Bài 7 Trong không gian Oxyz Cho ba điểm A(− −1; 2;3 ,) (B 0;3;1 ,) (C 4;2;2)
a) Tính tích vô hướng AB AC b) Tính côsin của góc BAC
Trang 9Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
30 42 2 35
AB AC
AB AC
Bài 8 Trong không gian Oxyz Cho ba điểm A(1;2;1 , 5;3;4 ,) (B ) (C 8; 3;2− )
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
HD Giải
a) Ta có: AB=(4;1;3)⇒AB= 26,AC=(7; 5;1− )⇒AC=5 3,BC=(3; 6; 2− − )⇒BC=7
Nhận xét: AB BC =4.3 1.( 6) 3.( 2) 0+ − + − = ⇒AB⊥BC Hay tam giác ABC vuông tại B
b) Gọi S là diện tích tam giác ABC , ta có: 1 . 1 26.7 7 26
Vấn đề 3 Lập phương trình mặt cầu – Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm và bán kính mặt cầu
Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I a b c bán kính r có phương trình là:( ; ; )
( ) (2 ) ( )2 2 2
x a− + −y b + −z c =r
Đặc biệt phương trình mặt cầu tâm 0 0;0;0 bán kính r : ( ) x2+y2+ =z2 r2
Trong không gian Oxyz, phương trình x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0 với a2+ + − >b2 c2 d 0 là phương trình mặt cầu tâm I a b c bán kính ( ; ; ) r= a2+ + −b2 c2 d
Bài 9 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
Trang 10Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
Bài 10 Trong không gian Oxyz Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(5; 3;7− ) và có bán kính r=2 b) Đi qua điểm M(5; 2;1− ) và có tâm
b) Mặt cầu (S) tâm J(3; 3;1− ) và đi qua điềm M(5; 2;1− ) nên có bán kính r=JM= 5
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2
x− + +y + −z =
c) Mặt cầu (S) tâm C(4; 4;2− ) và đi qua điềm O(0;0;0) nên có bán kính r=OC=6
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( ) (2 ) ( )2 2
x− + +y + −z =
Bài 10 Trong không gian Oxyz Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua bốn điểm A(1;0;0 ,) (B 0; 2;0 ,− ) (C 0;0;4) và gốc tọa độ O
b) Đi qua bốn điểm A( ) (1;1;1 , 1;2;1 , 1;1;2 ,B ) (C ) (D 2;2;1)
c) Đi qua ba điểm A(1;2; 4 , 1; 3;1 ,− ) (B − ) (C 2;2;3) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( )Oxy
d) Đi qua hai điểm A(3; 1;2 , 1;1; 2− ) (B − ) và có tâm nằm trên trục Oz
c) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0
Trang 11Tâm I∈( )Oxy nên ta có: c=0 (4)
Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a= −2,b=1,c=0,d = −21
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+ +z2 4x−2y−21 0=
=
Giải hệ 3 phương trình trên, ta có: a=0,b=0,c=1,d= −10
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+ − −z2 2 10 0z =
Bài 11 Trong không gian Oxyz Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(0;8;0 ,) (B 4;6;2 ,) (C 0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( )Oyz
b) Có bán kính r=2, tiếp xúc với mặt phẳng ( )Oyz và có tâm nằm trên trục Ox
c) Có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mp( )Oyz
Tâm I∈( )Oyz nên ta có: a=0 (4)
Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a=0,b=7,c=5,d=48
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+ −z2 14y−10z+48 0=
b) Tâm I∈Ox⇒I a( ;0;0) Vì tâm I nằm trên trục Ox và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )Oyz nên điểm
đến mp( )Oyz Do đó: r=1 Vậy mặt cầu có phương trình: ( ) (2 ) ( )2 2
x− + −y + −z =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a=(2; 1;2 ,− ) (b= 3;0;1 ,) (c= −4;1; 1− ) Hãy tìm tọa độ các vectơ sau: a) m=3a−2b c+ b) n=2a b+ +4c
Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1;1 ,− ) (B 0;1;2 , 1;0;1) (C ) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 3 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;1; 1 ,− ) (B 4;1; 3 ,− ) (C 3;7;0)
a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Trang 12Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
c) Tìm tọa độ điềm A đối xứng của A qua M '
Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ avà b tạo với nhau một góc 600
Bài 7 Trong không gian Oxyz Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A(2; 1; 3− − ) và có tâm C(3; 2;1− )
b) Có đường kính AB với A(−1;2;1 ,) (B 0;2;3)
c) Có tâm là điểm I(2; 1;3− ) và tiếp xúc với mp( )Oxy
d) Có tâm là điểm I(2; 1;3− ) và tiếp xúc với mp( )Oxz
e) Có tâm là điểm I(2; 1;3− ) và tiếp xúc với mp( )Oyz
Trang 13Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Tích có hướng của hai vectơ
a Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a=(a a a1; ;2 3) (,b= b b b1; ;2 3) Tích có hướng của
hai vectơ a và b , kí hiệu là a b, hoặc a∧b, được xác định bởi:
Diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD= AB∧AD
Diện tích tam giác ABC là 1
2
ABC
Thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' là V ABCD A B C D ' ' ' '= (AB∧AD AA) '
Thể tích khối tứ diện ABCD là 1 ( ).
3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax By Cz D+ + + =0, trong đó A B C D, , , không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng hay còn gọi là phương trình mặt phẳng
c Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (α) Đặc điểm của mặt phẳng (α)
D = 0 Ax By Cz+ + =0 (α) đi qua gốc tọa độ O
Trang 14Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
A = 0 By Cz D+ + =0 (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
B = 0 Ax Cz D+ + =0 (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
C = 0 Ax By D+ + =0 (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
A = B = 0 Cz D+ =0 (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
A = C = 0 By D+ =0 (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)
B = C = 0 Ax D+ =0 (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)
Chú ý:
Mặt phẳng ( )Oxy có phương trình: z=0 và có vectơ pháp tuyến k=(0;0;1)
Mặt phẳng ( )Oxz có phương trình: y=0 và có vectơ pháp tuyến j=(0;1;0)
Mặt phẳng ( )Oyz có phương trình: x=0 và có vectơ pháp tuyến i=(1;0;0)
4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng ( )α không đi qua gốc O, cắt trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm
( ;0;0 ,) (0; ;0 ,) (0;0; )
A a B b C c (với a b c, , ≠0) thì có phương trình: x y z 1
a+ + =b c Phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( )α
5 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng ( )α1 và ( )α2 có phương trình:
( )α1 :A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1=0; ( )α2 :A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2=0 Khi đó ( )α1 và ( )α2 có hai vectơ pháp tuyến là: n1=(A B C1; ;1 1),n2 =(A B C2; ;2 2)
Trang 15Bài 2 Trong không gian Oxyz Cho ba điểm A(1; 1;2 ,− ) (B −1;0;3 ,) (C 0;2;1)
a) Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC Suy ra chiều cao AH của tam giác ABC
Vậy AB và AC không cùng phương ⇒A B C, , không thẳng hàng ⇒A B C, , tạo thành một tam giác
b) Ta có: Diện tích tam giác ABC là 1 1 16 9 25 5 2
Bài 3 Trong không gian Oxyz Cho bốn điểm A(1;0;1 ,) (B −1;1;2 ,) (C −1;1;0 ,) (D 2; 1; 2− − )
a) Chứng minh 4 điểm A B C D, , , tạo thành một tứ diện
b) Tính diện tích của tam giác BCD
c) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy ra chiều cao AH của tứ diện ABCD
Thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' là V ABCD A B C D ' ' ' ' = (AB∧AD AA) ' 6=
Bài 5 Trong không gian Oxyz Cho bốn điểm A(0;1;1 ,) (B −1;0;2),C 1;1;0(− ),D 2;1; 2( − )
a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng
b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D
Trang 16V DK
S∆
Vấn đề 2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương pháp: có 4 loại cơ bản
Loại 1 Viết phương trình mặt phẳng ( )α khi biết vectơ pháp tuyến n=(A B C; ; ) và một điểm
0 0; ;0 0
M x y z thuộc ( )α
Phương trình( )α có dạng: A x( −x0) (+B y y− 0) (+C z z− 0)=0
Khai triển, rút gọn đưa về dạng tổng quát: Ax By Cz D+ + + =0 với D= −(Ax0+By0+Cz0)
một mp( )α (hoặc nằm trên ( )α ) thì n= ∧a blà một vectơ pháp tuyến của mp( )α
Loại 2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa ba điểm A B C, , không thẳng hàng (hay đi qua ba điểm
, ,
A B C)
Tìm vectơ pháp tuyến nα = AB∧AC
Mặt phẳng ( )α qua điểm A( hay B hay C) và có vectơ pháp tuyến là nα(loại 1)
Trang 17Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp
Phương trình( )α cĩ dạng: Ax By Cz D+ + + ' 0= (1)
Thay tọa độ điểm M vào (1) tìm được 0 D '
Loại 4 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa hai điểm M N, và vuơng gĩc với mặt phẳng
( ) :β Ax By Cz D+ + + =0
Tìm vectơ pháp tuyến nα =MN∧nβ
Mặt phẳng ( )α qua điểm M( hay N) và cĩ vectơ pháp tuyến là nα(loại 1)
Bài 6 Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A(2;5; 7− ) và song song với giá của hai vectơ a= −(1; 2;3 ,) (b= 3;0;5)
b) Đi qua ba điểm B(2; 1;3 ,− ) (C 4;0;1 ,) (D −10;5;3)
c) Đi qua điểm E(0;2;0) và song song với mặt phẳng ( )β : 2x+3y− − =4z 2 0
d) Đi qua OE và vuơng gĩc với mặt phẳng ( )β : 2x+3y−4z− =2 0
e) Đi qua ba điểm M(1;0;0 ,) (N 0; 2;0 ,− ) (P 0;0; 3− )
HD Giải
a) Ta cĩ: a b∧ = −( 10;4;6) Mặt phẳng ( )α : ( )
qua 2;5; 7có vectơ pháp tuyến 10;4;6
Bài 7 Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A(1; 2;4− ) và nhận n=(2;3;5) làm vectơ pháp tuyến
b) Đi qua điểm B(0; 1;2− ) và song song với giá của hai vectơ u=(3;2;1 ,) (v= −3;0;1)
c) Đi qua điểm C(2; 1;2− ) và song song với mặt phẳng ( )β : 2x y− + + =3z 4 0
Trang 18Tốn 12 GV Lư Sĩ Pháp
d) Đi qua hai điểm D(1;0;1 ,) (E 5;2;3)và vuơng gĩc với mặt phẳng ( )γ : 2x y z− + − =7 0
e) Đi qua ba điểm M(−3;0;0 ,) (N 0; 2;0 ,− ) (P 0;0; 1− )
HD Giải
a) Mặt phẳng ( )α : ( )
( )
qua 1; 2;4có vectơ pháp tuyến 2;3;5
a) Gọi ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I(3;2;5),
(2; 2; 4)
AB= − − Như vậy, mặt phẳng ( )α : ( )
qua 3;2;5có vectơ pháp tuyến 2; 2; 4
Bài 9 Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Chứa trục Ox và điểm A(4; 1;2− ) b) Chứa trục Oy và điểm B(1;4; 3− )
c) Chứa trục Oz và điểm C(3; 4;7− ) d) Đi qua D(2;6; 3− ) và song song mp( )Ozx
HD Giải
Trang 19Bài 10 Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua A(3; 1; 5− − )đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng ( )β : 3x−2y+2z+ =7 0 và
( )γ : 5x−4y+ + =3 1 0z
b) Đi qua các hình chiếu của điểm B(2;3;4) trên các trục tọa độ
c) Đi qua điểm M(2; 1;2− ), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( )χ : 2x y− + + =3z 4 0
Trang 20Tương tư, phương trình mặt phẳng (BCD : ) 6x+5y+ −3z 42 0=
b) Ta có: AB= −( 4;5; 1 ,− ) CD= −( 1;0;2) Mặt phẳng ( )α đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD nên
Bài 12 Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểmG(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho G là trọng tâm của tam giác
b c c
Trang 21Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
Vậy mp( )α đi qua H và có vectơ pháp tuyến là OH=( )2;1;1 nên có phương trình: 2x+ + − =y z 6 0 c) Gọi giao điểm của ( )α với ba trục Ox Oy Oz lần lượt là , , A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c , ) a b c, , >0 Mặt phẳng ( )α có phương trình theo đoạn chắn : x y z 1
Phương trình mặt phẳng ( )α theo đoạn chắn : 1 6 3 2 18 0
3 6 9
x y z
x y z
+ + = ⇔ + + − =
Vấn đề 3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , hai mặt phẳng ( )α1 và ( )α2 có phương trình:
( )α1 :A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1=0; ( )α2 :A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2 =0 Khi đó ( )α1 và ( )α2 có hai vectơ pháp tuyến là: n1=(A B C1; ;1 1),n2 =(A B C2; ;2 2)
2 2 2 6= = ≠ ⇒ α song song với ( )β2
c) Hai mặt phẳng ( )α3 và ( )β3 có hai vectơ pháp tuyến là: nα =(1;2;3 ,) nβ =(3;6;9)
Trang 23Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bài 17 Trong không gian Oxyz Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )α và ( )β cho bởi phương trình sau: ( )α :x+2y+2z+11 0,= ( )β :x+2y+2x+ =2 0
Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm
Bài 19 Trong không gian Oxyz Tìm trên trục Oyđiểm cách đều hai mặt phẳng: ( )α :x y z+ − + =1 0 và
Vậy điểm M(0; 3;0− ) là điểm cần tìm
Bài 20 Trong không gian Oxyz Cho hai mặt phẳng ( )α :x y z+ + − =3 0 và ( )β :x y z− + − =1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )γ vuông góc với ( )α và ( )β sao cho khoảng cách từ O đến mp( )γ bằng 2
Vậy, phương trình mặt phẳng ( )γ : x z− +2 2 0= hoặc x z− −2 2 0=
Bài 21 Trong không gian Oxyz
a) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa trục Oz và tạo với mp( )β có phương trình 2x y+ − 5z=0
một góc 600
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua A(3;0;0 ,) (B 0;0;1) và tạo với mp( )Oxy một góc 600
HD Giải
Trang 24Vậy, phương trình mặt phẳng ( )α : x− 26y+3x− =3 0 hoặc x+ 26y+ − =3 3 0z
Vấn đề 5 Bài toán liên hệ giữa mặt phẳng và mặt cầu
Viết phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu
Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I bán kính r ⇔d I( ,( )α =) r
Bài 22 Trong không gian Oxyz Lập phương trình mặt cầu tâm I( )1;1;5 và tiếp xúc với mặt phẳng
Trang 25Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bài 24 Trong không gian Oxyz Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1) (B ) ( )C
Vậy, phương trình mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x−2z+ =1 0
Bài 24 Trong không gian Oxyz Lập phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng
( )β :x y+ + + =2 1 0z và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x+4y−6z+ =8 0
Gọi ( )α là tiếp diện cần tìm Mặt cầu (S) có tâm I(3;1; 2− )và M∈( )S
( )α đi qua điểm M(4;3;0) và có VTPT là n=IM=(1;2;2) nên có phương trình:
1 x− +4 2 y− +3 2 z−0 = ⇔ +0 x 2y+2 10 0z− =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ u v và w trong mỗi trường hợp sau: ,
a) u=(4;3;4 ,) (v= 2; 1;2 ,− ) w=( )1;2;1 b) u= −(1; 1;1 ,) (v= 0;1;2 ,) w=(4;2;3)
c) u=(4;2;5 ,) (v= 3;1;;3 ,) w=(2;0;1) d) u= −( 3;1; 2 ,− ) ( )v= 1;1;1 ,w= −( 2;10;1)
Bài 2 Trong không gian Oxyz Cho ba điểm A(1;0;0 ,) (B 0;0;1),C 2;1;1 ( )
a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
d) Tính các góc của tam giác ABC
Bài 3 Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A(2;0;1)và nhận n=( )1;1;1 làm vectơ pháp tuyến
Trang 26Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
b) Đi qua điểm B(1;0;0) và song song với giá của hai vectơ u=( ) (0;1;1 ,v= −1;0;2)
c) Đi qua ba điểm M( ) (1;1;1 ,N 4;3;2 ,) (P 5;2;1)
d) Đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng ( )β :x y+ + − =2z 7 0
e) Đi qua hai điểm A(0;1;0 ,) (B 2;3;1)và vuông góc với mặt phẳng ( )β :x+2y z− =0
Bài 4 Trong không gian Oxyz Cho tứ diện có các đỉnh A(5;1;3 , 1;6;2 ,) (B ) (C 5;0;4 ,) (D 4;0;6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC )
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua cạnh D và song song với mặt phẳng (ABC )
Bài 5 Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm M(2;0; 1 ,− ) (N 1; 2;3 ,− ) (P 0;1;2)
b) Đi qua điểm A(1;1; 1 ,− ) (B 5;2;1) và song song với trục Oz
c) Đi qua điểm C(3;2; 1− ) song song với mặt phẳng ( )β :x−5y z+ =0
d) Đi qua hai điểm A(0;1;1 ,) (B −1;0;2)và vuông góc với mặt phẳng ( )β :x y z− + + =1 0
Bài 6 Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(−1;2;3 ,) (B 2; 4;3 ,− ) (C 4;5;6)
b) Đi qua điểm D(1;3; 2− ) và vuông góc với trục Oy
c) Đi qua điểm D(1;3; 2− ) và vuông góc với đường thẳng MN, với M(0;2; 3 ,− ) (N 1; 4;1− )
d) Đi qua điểm D(1;3; 2− ) song song với mặt phẳng ( )β : 2x y− + + =3z 4 0
e) Đi qua hai điểm P(3;1; 1 ,− ) (Q 2; 1;4− )và vuông góc với mặt phẳng ( )β : 2x y− + + =3z 4 0
f) Đi qua điểm K(2; 1;2− ) song song với trục Oyvà vuông góc với mặt phẳng ( )β : 2x y− + + =3z 4 0g) Đi qua điểm H(−2;3;1)và vuông góc với hai mặt phẳng
( )β : 2x+ +y 2z+ =5 0, ' : 3( )β x+2y z+ − =3 0
Bài 7 Đi qua điểm M( )1;1;1 và cắt ba tia tại Ox Oy Oz, , các điểm A B C, , sao cho thể tích tứ diện OABC
nhỏ nhất
Bài 8 Cho hai mặt phẳng ( )α : 2x+ − +y 5 14 0,z = ( )β :x my+ −2mz+ =5 0 Tìm m để ( ) ( )α ⊥ β
Bài 9 Xác định m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
a) ( )α : 2x ny+ +2z+ =3 0,( )β :mx+2y−4z+ =7 0
b) ( )α : 2x y mz+ + − =2 0,( )β :x ny+ +2z+ =8 0
Bài 10 Cho hai mặt phẳng có phương trình là 2x my− + − + =3z 6 m 0 và
(m+3)x−2y+(5m+1)z−10 0= , Với giá trị nào của m thì:
a) Hai mặt phẳng đó song song b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau d) Hai mặt phẳng đó vuông góc
Bài 11 Tính khoảng cách từ điểm M(1;2;0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
Trang 27Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bài 14
a) Cho mặt cầu có phương trình x2+y2+ −z2 6x−2y+4z+ =5 0 và điểm M0(4;3;0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M 0
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α :x+2y−2z+ =5 0
c) Cho bốn điểm A(3; 2; 2 , 3;2;0 ,− − ) (B ) (C 0;2;1 ,) (D −1;1;2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc
Trang 28II Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
Cho hai đường thẳng dvà d'lần lượt đi qua hai điểm M0(x y z , 0; ;0 0) /( / / /)
0 0; ;0 0
M x y z và có vectơ chỉ phương lần lượt a=(a a a1; ;2 3), / ( / / /)
III Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x y z và có vectơ chỉ phương là 0; ;0 0) a=(a a a1; ;2 3), mặt phẳng ( )α
có phương trình: Ax By Cz D+ + + =0 Gọi n=(A B C; ; ) là vectơ pháp tuyến của( )α Ta có các điều kiện:
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x y z , có vectơ chỉ phương 0; ;0 0) a=(a a a1; ;2 3)và điểm M
Cách khác: Tính khoảng cách từ điểm Mđến đường thẳng ∆, ta thực hiện các bước sau:
B1 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa Mvà vuông góc với ∆
B2 Tìm giao điểm H của ∆ và ( )α
B3 Khoảng cách từ Mđến ∆ chính là khoảng cách giữa hai điểm M và H: d M( ,∆ =) MH
2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Trang 293 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆/
∆ qua điểm A và có vect ơ chỉ phương a
Cách khác: Để tích khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆/, ta thực hiện các bước:
B1 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆/
Bước 1 Xác định một điểm cố định M0(x y z thuộc 0; ;0 0) ∆
Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương a=(a a a1; ;2 3)của ∆
Bước 3 Phương trình tham số của ∆:
Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B thì ∆có VTCP là a=AB
Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )α thì ∆có VTCP là a=nα
Bài 1 Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số và chính tắc(nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M0(1;2;3) và có vectơ chỉ phương là a=(1; 4; 5− − )
b) Đi qua hai điểm A(1; 2;3 , 3;0;0− ) (B )
c) Đi qua điểm C(3;2;1) và vuông góc với mặt phẳng ( )α : 2x−5y+ =4 0
d) Đi qua D(−2;1;2)và song song với trục Oz
HD Giải
Trang 30b) Đường thẳng ∆ qua hai điểm A và B nên có VTCP là a=AB=(2;2; 3− )
Phương trình tham số của ∆ :
c) Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )α : 2x−5y+ =4 0 nên có VTCP là a=nα =(2; 5;0− )
Phương trình tham số của ∆ :
3 2
2 51
x t
y t z
; không có phương trình chính tắc của∆
d) Đường thẳng ∆ song song với trục Oz nên có VTCP là a= =k (0;0;1)
Phương trình tham số của ∆ :
212
x y
; không có phương trình chính tắc của∆
Bài 2 Trong không gian Oxyz Viết phương trình tham số và chính tắc(nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M(4;3;1) và song song với đường thẳng /
2 23
Trang 31( / / )
B∈d ⇒B −t + t Mặt khác: B∈ α ⇔ +( ) 4 2t/+ = ⇔ = −8 0 t/ 6Vậy B(8; 8;4− )
Vậy, đường thẳng ∆ qua hai điểm A và B nên có VTCP là a= AB=(7; 8;4− )
Phương trình tham số của ∆ :
1 784
HD Giải
0
0 0
0
x x at
y y bt z
0
0
0
x x at y
d2
d1
Trang 32Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp
Vậy d/có phương trình tham số là:
1 2
2 30
x t
y t z
x t y
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp( )α
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp( )α
HD Giải
a) Một vectơ chỉ phương của d là a=(1;4;2)và một điểm nằm trên d là M0(0;8;3)
b) Gọi ( )β là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp( )α nên mp( )β qua điểm M0(0;8;3) và có vectơ pháp tuyến là nβ =nα∧ =a (2;1; 3− )
Bài 5 Trong không gian Oxyz Cho tứ diện ABCDvới A(0;0;2 , 3;0;5 , 1;1;0 ,) (B ) (C ) (D 4;1;2)
a) Viết phương trình tham số của đường cao tứ diện ABCD hạ từ D
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mp(ABC )
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
Trang 33x t
y t z
a'
a d
d' M' M
Trang 34Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bài 8 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng ( )α : 2x y z+ + − =1 0 và đường thẳng
− Gọi M là giao điểm của dvà( )α , hãy viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua M
vuông góc với dvà nằm trong ( )α
Gọi a∆là VTCP của đường thẳng ∆, ta có a∆ ⊥nαvà a∆ ⊥a Suy ra a∆ =nα∧ = −a ( 4;8;0)
Phương trình tham số của đường thẳng
2 41
272
Bước 3 Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa d và d'
1
0
0/ / '
Xét vị trí tương đối của đường
thẳng d lần lượt với các đường thẳng sau:
Ta có đường thẳng d đi qua M0(1; 1;5− )và có VTCP là a=(2;3;1)
a) Đường thẳng d đi qua 1 M1(3;2;6)và có VTCP là a1=(4;6;2)
Trang 35dvà d là hai đường thẳng chéo nhau 4
Bài 10 Trong không gian Oxyz Cho hai đường thẳng : 1 1
Các giá trị ,tt thỏa mãn (3) Do đó hệ phương trình (I) có một nghiệm Vậy / dcắt d/
b) Thay t=0 vào phương trình tham số của d/ta được giao điểm M(3;0; 1− )
Bài 11 Trong không gian Oxyz Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau
1:
=
=
thay vảo (1), ta được: 1 2+ a= ⇔ =1 a 0
Vậy hai đường thẳng dvà d/cắt nhau khi và chỉ khi a=0
Vấn đề 3 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
Trang 36Xét số nghiệm t của phương trình (1), ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ dsong song với mp( )α
Trường hợp 2 (1) có một nghiệm t=t0 ⇔ dcắt mp( )α tại một điểm M x( 0+a t y1 0; 0+a t z2 0; 0+a t3 0)
Trường hợp 3 Phương trình (1) vô số nghiệm ⇔ dnằm trong mp( )α
Vậy đường thẳng dvuông góc với mp ( )α2
Trang 37Vậy đường thẳng dnằm trong mp ( )α4
Bài 13 Trong không gian Oxyz.Cho đường thẳng : 1 1
Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa điểm M và vuông góc với ∆
Tìm giao điểm H của ∆và ( )α
α
a
M 0
H M
α
M 0
H
Trang 38Gọi ( )α là mặt phẳng qua điểm A(1;2;1)và vuông góc với ∆ Ta có: nα =a∆ =(1;2; 2− )
Vậy phương trình của mp( )α : 1( ) (x− +1 2 y− −2) ( )2 z− = ⇔ +1 0 x 2y− − =2z 3 0
Phương trình tham số của
Gọi H là giao điểm của ∆ và mp( )α
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
Trang 39Bài 15 Trong không gian Oxyz
a) Tính khoảng cách từ điểm M(1; 1;1− ) đền đường thẳng
Bài 16 Trong không gian Oxyz
a) Tính khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng : 1
Trang 40Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp Bài 17 Trong không gian Oxyz Cho đường thẳng : 1
=
Vậy có hai điểm M cần tìm: M1(−1;0;0) hoặc M2(2;0;0)
Bài 18 Trong không gian Oxyz Cho hai đường thẳng 1
3:
Vậy có hai điểm M cần tìm: M1(4;1;1) hoặc M2(7;4;4)
Bài 19 Trong không gian Oxyz Cho điểm A(0;0; 2− )và đường thẳng : 2 2 3
C A