Gọi M, N là trung điểm của AB và CD.. Mặt phẳng AB’D cắt SC tại C’... Câu 1 · Mặt phẳng ABD chứa AD//SBC nên nó cắt mặt phẳng SBC theo giao tuyến B’C’ song song với AD... Học sinh làm cá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
AN GIANG Khĩa ngày: 27/11/2010
MÔN TOÁN
A. HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài
1
1
x mx y
x
=
hàm số cĩ cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của
đường thẳng : 2 d x y+ - 1 0=
1
x mx y
x
=
+
· TXĐ: D =¡ \ { }- 1
·
2 /
2
1
y
x
-=
+
· Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu Û y/ = cĩ hai nghiệm phân0
biệt Û x2+2x m+ - 3= cĩ hai nghiệm phân biệt khác -10
4 (*)
m
m m
ìï D = - >
ïï
· Giả sử đồ thị hàm số cĩ điểm cực, cực tiểu là
( ; ); ( ; )
A x y B x y
· Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:
· Do đĩ: y1 =2x1+m y; 2 =2x2+m
· Hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng
d x y+ - =
( 11 1 ) ( 22 2 )
2
· Theo định lý Viet, ta cĩ:
1 2
1 2
2 3
x x
x x m
ìï + = -ïí
-ïỵ
· Do đĩ: m2+6m- 39 0< Û - -3 4 3<m< - +3 4 3 (thỏa (*))
· Vậy: Giá trị cần tìm là: 3 4 3- - <m< - +3 4 3
3,0 điể m
Bài
2 Câu 1 Giải phương trình:2x2+ +x x2+ +3 2x x2+ =3 9
· Đặt: t= +x x2+3
· Phương trình trở thành:
2,0 điể m
Trang 22 12 0 3
4
t
t t
t
é = ê
· Với
2 2
3
3
1
x
x
x
-ìï £ ïï
Û íï
-ïïî
ìï £ ïï
· Với
2 2
4
4 4
(VN) 13
8
x
x x
ìï £ -ïï
Û íï
ïïî
ìï £
ï
· Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =1
Câu
2
Giải hệ phương trình:
x y x y xy
ïïí
ïïî
5
2
1 1
x y xy x y
x y xy x y xy x y
x y xy x y
x y
x y xy x y
ïï
ïî
ïï
Û íï
ïïî
ìï + = ï
Û íï =
ïî
ìï = ï
Û íï =
ïî
· Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ìï =x y 11
ïí
ï = ïî
2,0 điể m
Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm của
AB và CD Chứng minh rằng:
MN £ AD BC .
2,0 điể m
Trang 3M
A
C
D
· Ta có:
MN MA AC CN
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
Þ 2MNuuuur=(MAuuur+MBuuur)+ACuuur+BDuuur+(CNuuur+DNuuur)
· Vì M, N là trung điểm của AB, CD Nên:
MAuuur+MBuuur = r uuurCN +DNuuur = r
· Do đó:
2 2 2
MN AC BD
MN AD BC
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
· Đặt: m=max(AD BC, )
· Ta có:
uuuur uuur uuur uuur uuur 2
MN m
· Suy ra (đpcm)
Bài
4 Câu 1 Cho dãy thực ( )u được xác định như sau: n
2
1
2
minh rằng dãy ( )u hội tụ n
· Xét hàm số ( ) 1ln 1( 2) 2010
2
f x = +x
-· Khi đó: ( )f x liên tục trên ¡
/
2
1
2 1
x
x
· Đặt: ( ) 2010 1ln 1( 2)
2
g x = +x - +x
4,0 điể m
Trang 4· ( )g x = -x f x( ) liên tục trên ¡
2 /
2
1
1
x x
x
· Do đó: ( )g x tăng trên ¡
· Mà:
1
2
· Phương trình ( )g x = có nghiệm duy nhất L.0
· Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại số c sao cho
/ 1
1
1
2
+
+
· Do đó:
1 2
1 0
2
n n
+
£ ççç ÷÷ - £ £ ççç ÷÷ - " ³
· Chuyển qua giới hạn thì dãy ( )u hội tụ về L n
· Suy ra (đpcm)
Câu
2
1
a³ b³ ; a £ ; 3 ab £ ; 6 ab£ 6c Chứng minh rằng a b c+ - £ 4
· BĐT cần chứng minh được viết dưới dạng:
1 3 2
a b+ + £ + +c
1
c
+ + =çç + + ÷÷+ - çç + ÷÷+
· Suy ra:
c
c a b
· Dấu “=” xảy ra
3 2 1
a b c
ìï = ïï ï
Û íï =
ï = ïïî
3,0 điể m
Bài
3
Một điểm B’ di chuyển trên đoạn SB Mặt phẳng (AB’D) cắt SC tại C’ Đặt x = SB’.
4,0 điể m
Trang 51/ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D theo a và
x.
2/ Tìm x để tứ giác AB’C’D có diện tích bé
nhất.
Câu
1
· Mặt phẳng (ABD) chứa AD//(SBC) nên nó cắt mặt
phẳng (SBC) theo giao tuyến B’C’ song song với AD
· Mặt khác ADSA; ADAB nên AD(SAB) hay ADAB’
· Vậy ADC’B’ là hình thang vuông
· Ta có thể tích khối chóp S.ABCD là 3 3
3
a
V =
/ /
1
1
/
SABC SAB C
V
V
/
2
2
2 /
2
3
SACD SAC D
x a x
a
12
SAB C D
1,5 điể m
Câu
2 · Do AB’C’D là hình thang vuông, nên
/ /
/ / /
2
AB C D
S = AD+B C AB
· Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBA’, ta được:
·
3
2
a
a
/ /
/ /
4
AB C D
AB C D
x
-· Xét hàm số:
4
y= x+ a a +x - ax với 0;2aéêë ùúû
2,5 điể m
S
A
D
Trang 6
/
2 /
y
x ax y
a x ax
-=
-=
4
x
x
é = ê ê
ê = ê (0) 2 3; 5 13 2 13; ( )2 2
y = yỉ ưç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷= y a =a
tích tứ giác AB’C’D bé nhất
1 Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa
2 Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 cho từng câu Tổng điểm toàn bài không làm tròn
