Bài giảng môn học phương trình vi phân

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... 3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một: Hệ là thuần nhất nếu f1, f2 đồng nhất bằng không... VD2: HPTVP tuyến tính cấp một không thuần nhất:

CHƯƠNG 3:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một:

Hệ là thuần nhất nếu f1, f2 đồng nhất bằng không

Điều kiện ban đầu: x ( t ) b1 0 = 1, x ( t ) b2 0 = 2

Nghiệm tổng quát : xi = ϕi ( t, C , C , i1 2 ) = 1 2 , thỏa mãn hệ phương trình

VD2: HPTVP tuyến tính cấp một không thuần nhất:

20

ĐỊNH LÝ 1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với

3.2 Phương pháp khử:

CÁCH GIẢI

Khử các biến hàm từ các phương trình vi phân cấp một ( cấp hai), đưa về một phương trình vi phân cấp cao chỉ chứa một biến hàm

Giải phương trình vi phân cấp cao

Sử dụng phép khử tìm các biến còn lại

VD3 Giải hệ phương trình vi phân

VD4 Giải hệ phương trình vi phân

dx

x y t dt

dy

x y dt

VD5 Giải hệ phương trình vi phân

VD6:

L1 = 2D +10 → L1x = 2D +10 ( ) x = 2x'+10x

(5.2) Trang 40-41:

3, 5, 7, 9, 10, 13, 15, 23, 24, 27, 29

CHƯƠNG 3:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP 1

(tiếp)

3.4 Phương pháp véc tơ riêng, giá trị riêng đối với hệ PTVP tuyến tính cấp một thuần nhất:

A VIẾT DƯỚI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

Nghiệm của phương trình trên khoảng mở D là véc tơ cột X ( t ) = [ x ( t )i ] sao cho các hàm thành

phần đối với X thoả mãn hệ trên D.

VD10( tiếp) Hệ có hai nghiệm

2

3 2 X

3 X

B ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

X , X 2 là phụ thuộc tuyến tính trên D nếu

không độc lập tuyến tính trên khoảng D

VD 10( tiếp):

2

3 2 X

VD 10( tiếp) X 4 3

X

d dt

D PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ RIÊNG, GIÁ TRỊ RIÊNG

B1: Giải phương trình đặc trưng A − λ I = 0 để tìm

B3: Nghiệm tổng quát X ( ) i Xi ( )

i

t = ∑ c t

VD 11: Giải hệ phương trình vi phân

VD12 Giải hệ phương trình vi phân

VD13 Giải hệ phương trình vi phân

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

(5.4) Trang 82-83: 3, 5, 7, 9, 11, 13 (5.6) Trang 121: 2, 3

ÔN TẬP CUỐI KÌ:

Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 60 phút

Câu 1 ( 2,5 điểm) : Giải phương trình vi phân cấp 1

• Phương trình vi phân với biến số phân li

• Phương trình thuần nhất(đẳng cấp)

• Phương trình vi phân toàn phần

Câu 2 ( 2,5 điểm): Giải phương trình vi phân một hoặc cấp hai bằng đổi biến hạ bậc

• PT tuyến tính cấp 1 đối với y ( hoặc đối với x)

• Phương trình Bernoully đối với y ( hoặc đối với x)

• Phương trình vi phân cấp 2 khuyết y

• Phương trình cấp 2 khuyết x

Câu 3 ( 2,5 điểm): Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng

Câu 4 ( 2,5 điểm):

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính KHÔNG thuần nhất:

o Phương pháp khử

o Phương pháp toán tử vi phân tuyến tính

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

o Phương pháp véc tơ riêng, giá trị riêng