Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHNguyễn Quốc Thái BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thái

BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 12 - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thái

BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 84 601 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh 12 - 2020

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, ngườitrực tiếp hướng dẫn tôi lựa chọn và thực hiện đề tài này, cảm ơn Thầy đã tận tâm chỉbảo, giúp đỡ và truyền đạt kiến thức để tôi hoàn thành luận văn của mình.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, đặc biệt là khoa Toán- tin và phòng sau đại học đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Qua đây tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên trong lớp Toángiải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ cũ, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thànhkhóa học này

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 12 năm 2020

Học viên

Nguyễn Quốc Thái

N là tập hợp các số tự nhiên, R là tập hợp các số thực, R+= [0; +∞) I = [a,b].

[x]+= |x|+x2 , [x]− = |x|−x2

C (I, R) là không gian Banach các hàm liên tục u : I → R với chuẩn

kukC = max {|u(t)| : t ∈ I}

C (I, R+) = {u ∈ C (I, R) : u(t) > 0 t ∈ I}

L(I, R) là không gian Banach các hàm số khả tích Lebesgue u : I → R với chuẩn

AC(I, R) là tập hợp các hàm số liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b]

L(I, R+) = {u ∈ L(I, R) : u(t) ≥ 0 hầu khắp nơi t ∈ I}

LI là tập hợp các tóan tử tuyến tính bị chặn l : C (I, R) → L (I, R) sao cho hàm số

t → sup {|l(u)(t)| : kukC = 1}

Mục lục

Giới thiệu 1Chương 1 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến

tính 31.1.Định lý về các bất phương trình vi phân 31.2.Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy (1.1) và(1.2) 11Chương 2 Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc nhất

tuyến tính 192.1.Giới thiệu bài toán và các định nghĩa 192.2.Bất phương trình vi phân hàm 212.3.Các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên nhiều điểm cho hệphương trình vi phân hàm tuyến tính 24Kết luận 35Tài liệu tham khảo 36

Giới thiệu

Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỷ 18 như một công thức toán họccho những bài toán trong vật lý và hình học Tuy nhiên cho đến cuối thế kỷ 19 chúngchỉ được biết đến trong các áp dụng cụ thể và chưa có sự nghiên cứu mang tính chất

hệ thống Đầu thế kỷ 20, sự quan tâm dành cho phương trình vi phân đã tăng lên,đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ khí, sinh học và kinh tế Ở thời điểm đó, cácnhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định tínhcho phương trình vi phân hàm và những thuyết đó còn tồn tại đến ngày nay Vào thậpniên 1970, những phát kiến lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán biên cho phươngtrình vi phân hàm được đề xuất và đặt nền tảng cho lý thuyết về bài toán biên chophương trình vi phân hàm đã được xây dựng Các công cụ về giải tích hàm và tôpô lànhững công cụ hiệu quả nhất để nghiên cứu lĩnh vực này Tuy nhiên việc nghiên cứucác bài toán biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm mới chỉ thành công một phầnnào Vẫn còn nhiều khó khăn trong nghiên cứu về phương trình vi phân hàm ngay cảtrong trường hợp phương trình là tuyến tính Trong những năm gần đây những nỗ lựcnghiên cứu này đã thành công trong trường hợp một số bài toán biên cho phương trình

vi phân hàm Đặc biệt là trong công trình của các tác giả I Kiguradze và B P˚uˇza,những điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải được và giải được duy nhất của mộtlớp thật sự rộng các bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được phát hiện.Phương pháp chính được sử dụng là phương pháp ước nghiệm và các kỹ thuật về bấtđẳng thức đạo hàm

Nội dung của luận văn là trình bày lại hai bài báo:

1) Alexander Domoshnitsky, Robert Hakl and Bedˇrich P˚uˇza, Multi – point boundaryvalue problems for linear functional-differential equations, Geogian J 2017;aop.2) E Bravyi, Perm, R Hakl and A Lomtatidze, Brno, Optimal conditions for uniquesolvability of the Cauchy problem for first order linear functional-differential equations,Czechoslovak Math J 52(127) (2002) no.3, 513-530

Cụ thể chúng ta sẽ xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm chophương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính Tù đó áp dụng để xây dựng các điềukiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm đối sốchậm và đối số lệch

Luận văn gồm hai chương chính:

Chương 1: Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính.Xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

Trong chương này chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệmcủa phương trình vi phân hàm bậc nhất của bài toán (0.1) thỏa mãn điều kiện biên

Trước hết ta xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy(1.1), (1.2) và ứng dụng các kết quả đó cho bài toán (1.1’) và (1.2).

1.1 Định lý về các bất phương trình vi phân

Trước hết ta đưa ra các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 Ta nói toán tử l ∈ LI, thuộc tập hợp SI nếu bài toán thuần nhất

chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường và với bất kỳ q ∈ L(I, R+) và c ∈ R+ bài toán(1.1), (1.2) có nghiệm không âm

Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau:

Nhận xét Nếu l ∈ PI thì l ∈ SI khi và chỉ khi bài toán

không có nghiệm tầm thường không âm Do định nghĩa của PI và LI mà l ∈ PI thì

l ∈ LI nên l ∈ SI nếu bài toán thuần nhất (1.3) chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường

và không âm

Nhận xét Bao hàm l ∈ SI khi và chỉ khi với bất kỳ hàm số u1 với u2 : I → R và

u10(t) ≤ l(u1)(t) + q(t), u20(t) ≥ l(u2)(t) + q(t) hầu khắp nơi trên I và u1(a) ≤ u2(a)thì u1(t) ≤ u2(t) t ∈ I được thỏa mãn

Định lý 1.2 Giả sử một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) l ∈ PI và tồn tại một số nguyên không âm k, một số tự nhiên m > k và hằng sốkhông đổi α ∈ (0; 1) sao cho

hầu khắp nơi trên I

(iii) l ∈ PI và khi đó tồn tại ∼l ∈ PI sao cho bất kỳ v ∈ C(I, R+), bất phương trình

l(ϕ(v))(t) − l(1)(t)ϕ(v)(t) ≤∼l (v)(t) (1.7)hầu khắp nơi trên I và

b

Z

a

˜l(1)(s) exp

Giả sử các điều kiện i) xảy ra lấy u : I → R+là hàm số liên tục tuyệt đối thỏa (1.4) Ta

sẽ chứng minh u(t) ≡ 0 Thật vậy, trước hết ta định nghĩa dãy toán tử ∼l

Từ α ∈ (0, 1) ta có ρ = 0, khi đó suy ra u(t) ≡ 0.

(ii) Giả sử (ii) đúng, lấy u là nghiệm không tầm thường (1.3) Do l ∈ PI và (1.3) tathu được

|u(t)|0 = l(u(t))sgnu(t) ≤ l (|u|) (t) (1.14)hầu khắp nơi trên I

λ∗ = maxn|u(t)|γ(t) : t ∈ Io.Đặt v(t) = λ∗γ(t) − |u(t)| khi t ∈ I Dễ dàng ta có:

v(t) ≥ 0 khi t ∈ I, v(a) = λ∗γ(a) > 0, v(t∗) = 0 (1.15)

Từ (1.8), (1.14) và (1.15) ta có

v0(t) ≥ λ∗l(γ)(t) − l(|u|)(t) = l(v)(t) ≥ 0 hầu khắp nơi trên I,

vì điều kiện của (1.15) Vậy bài toán (1.3) có nghiệm duy nhất không tầm thường Lấy

u0 là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với c ≥ 0 và q ∈ L(I, R+) Vì vậy ta có thể giả

[u 0 (t 0 )]−γ(t 0 ) = λ0,khi

λ0 = maxn[u0(t)]−

γ(t) : t ∈ Io.Đặt v0(t) = λ0γ(t) − [u0(t)]−khi t ∈ I Dễ dàng ta có

v0(t) ≥ 0 khi t ∈ I, v0(a) = λ0γ(a) > o, v0(t0) = 0 (1.17)

Từ (1.6), (1.16) và (1.17) ta có v00(t) ≥ l(v0)(t) ≥ 0 hầu khắp nơi trên I

Mâu thuẫn với điều kiện (1.17) Điều này chứng minh [u0(t)]− ≡ 0 Từ đây suy ra

u0(t) ≥ 0 t ∈ I

(iii) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại hàm số liên tục tuyệt đối

u : I → R+ sao cho u(t) 6= 0 và (1.8) thỏa mãn

trong đó

q(t) = l(u)(t) − u0(t) ≥ 0hầu khắp nơi trên I

Từ (1.18), ta thấy u thỏa bất phương trình

u0(t) = l(1)(t)u(t) + (l(ϕ(u))(t) − l(1)(t)ϕ(u)(t)) + (l(1)(t)Q(t) − l(Q)(t) − q(t)hầu khắp nơi trên I,

H(t) = l(1)(t)Q(t) − l(Q)(t) − q(t) hầu khắp nơi trên I.

Từ (1.10) ta có kukC < kukC vô lý

(iv) Như đã biết nếu l là một toán tử Volterra thì bài toán (1.1) và (1.2) có nghiệmduy nhất Lấy u0 là nghiệm của (1.1) và (1.2) với q ∈ L(I, R+) và c ≥ 0 Ta chỉ cầnchứng minh

u0(t) ≥ 0 khi t ∈ I

Lưu ý rằng nếu c = 0 và kqkL 6= 0 thì u0 là giá trị dương, từ (0.1) và −l ∈ P sẽ dẫnđến mâu thuẩn u00(t) ≥ 0 Kết quả là

max {u0(t) : t ∈ I} > 0 (1.20)Lấy

c0 = max uo(t)

γ(t) : t ∈ I



(1.21)thì bất phương trình

c0 > 0, c0γ(t) − u0(t) ≥ 0, t ∈ I (1.22)thỏa mãn

Hơn thế nữa, tồn tại t1 ∈ I sao cho

c0γ(t1) − u0(t1) = 0 (1.23)

Do tính không dương của l ta có

(c0γ(t) − u0(t))0 ≤ l (c0γ − u0) (t) − q(t) ≤ 0

u010(t) = l1(u01)(t) + q1(t) hầu khắp nơi trên [a, b1]

Từ các kết quả trên suy ra u01(t) ≡ 0 hoặc u01(b1) > 0 Do b1 ∈ [a, b], b1 tùy ý và (1.2)kết quả là u0(t) ≥ 0 khi t ∈ I

Hệ quả 1.3 Giả sử một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) pi(t) ≥ 0 hầu khắp nơi trên I(i = 1, , m) và

ở trong đó σk(t) = 12(1 + sgn(τk(t) − t) hầu khắp nơi t ∈ I (k = 1, , m);

(iv) pi(t) ≤ 0 hầu khắp nơi trên I(i = 1, , m)

hầu khắp nơi trên I.

Và các giả sử của Định lý 1.2 được thỏa mãn

(iii) Từ (1.29), (1.30) và (1.27) với bất kỳ u ∈ C (I, R+) ta có

hầu khắp nơi trên I.

Và các giả sử của Định lý 1.2 được thỏa mãn Hệ quả đã được chứng minh

1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho

bài toán Cauchy (1.1) và (1.2)

Trong mục này ta áp dụng các kết quả của mục 1.1 để xây dựng các điều kiện đủ cho

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.1) và (1.2)

Định lý 1.4 Giả sử một trong các đều kiện sau thỏa mãn:

(i) tồn tại li ∈ PI(i = 0, 1) và một hàm liên tục tuyệt đối γ : I → (0; +∞) sao cho

l = l0− l1

và

γ0(t) ≥ l0(γ)(t) + l1(1)(t) (1.31)hầu khắp nơi trên I,

Chứng minh

Như đã nói ở trên, bài toán (1.1), (1.2) có tính chất Fredholm Do đó để chứng minhĐịnh lí 1.4 ta chỉ chứng minh rằng bài toán thuần nhất tương ứng (1.3) chỉ có nghiệmtầm thường

Giả sử điều kiện (i) đúng Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bài toán thuần nhất (1.3) chỉ cónghiệm tầm thường Ngược lại, giả sử rằng bài toán thuần nhất (1.3) có một nghiệmkhông tầm thường u

γ (a) − γ0(a) − γ1(a) > 0 (1.40)với

h(t) = l11 −[u]+

M − [u]−

m

(t) hầu khắp nơi trên I

Ta có thể chọn t1 ∈ [a, b] và t2 ∈ [a, b] sao cho

Bây giờ chúng ta giả sử rằng t1 < t2(t2 < t1) Lấy tích phân bất đẳng thức thứ nhất(thứ hai) của (1.43) từ t1 đến t2 ( từ t2 đến t1 ), (1.37) và (1.38) ta được

M + m ≤ M (γ0(t2) − γ0(t1)) ≤ M γ0(b) (1.45)(M + m ≤ m (γ1(t1) − γ1(t2)) ≤ mγ1(b)) (1.46)Mặt khác, từ (1.41) cùng với (1.37), (1.38) và (1.44) ta có:

m ≤ M γ0(t2) ≤ M γ0(b) , M ≤ mγ1(t1) ≤ mγ1(b) (1.47)Bây giờ bởi (1.44), (1.47) và (1.49) ta có:

3 ≤ 1 + Mm +Mm ≤ γ0(b) + γ1(b) < γ (b)Mâu thuẫn với (1.32)

Điều đó đủ để chứng minh rằng bài toán thuần nhất (1.3) chỉ có một nghiệm tầmthường

Chứng minh (ii), giả sử (ii) đúng Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bài toán thuần nhất (1.3)chỉ có nghiệm tầm thường Ngược lại, giả định rằng tồn tại một nghiệm không tầmthường u0 của bài toán (1.3) Lưu ý rằng u0 phải thay đổi dấu của nó và do đó, (1.20)được giữ nguyên Gọi c0 là số được xác định bởi (1.21) Sau đó (1.22) đúng và

(c0γ (t) − u0(t))0 ≤ l (c0γ − u0) (t)

Do đó, theo (1.22) và thực tế là l không dương, chúng ta thấy rằng c0γ − u0 là mộthàm không tăng và đối với một số t1 ∈ I thì bất đẳng thức (1.23) là đúng Khi đó(1.24) đúng và do đó

Bây giờ, nếu ta đặt

thì ta có v là một nghiệm của (1.3) Do đó, chúng ta có thể chỉ ra ở trên rằng v(b) > 0,

là mâu thuẫn với (1.48) và (1.49)

Thì bài toán (1.52) và (1.2) chỉ có nghiệm duy nhất.

sử của Định lý 1.4 được thỏa mãn.

Chứng minh Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bài toán thuần nhất (1.3) chỉ có duy nhấtnghiệm tầm thường Giả sử ngược lại rằng tồn tại một nghiệm u không tầm thường của(1.3)

Lấy m và M là hai số được định nghĩa trong (1.33) Do li ∈ PI(i = 0, 1) và (1.34), từĐịnh lý 1.2 (i) ta tìm được (1.34) Chọn t1, t2 ∈ [a; b] sao cho (1.44) thỏa mãn Khôngmất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử t1 < t2 Nếu ta lấy tích phân phương trình(1.5) từ a đến t1 và từ t1 đến t2 thì theo (1.33), (1.34), (1.44) và li ∈ PI (i = 0, 1) tađược

khi

A =

t 1Z

a

l1(1)(s)ds, B =

t 2Z

t

C =

t 1Z

a

l0(1)(s)ds, D =

t 2Z

Điều kiện trong Định lý 1.4 và Định lý 1.7, nói chung không đảm bảo l ∈ SI

2(a + b) sao cho l(u0)(t) < 0, t ∈ (a, a1] Từ (1.1)

và (1.63) có u00(t) < 0, t ∈ (a, a1] , cùng với u(a) = 0 mâu thuẫn với (1.64) Kết quả

là l /∈ SI

Kết quả là điều kiện (1.32) không thể được thay thế bởi điều kiện γ(b) ≤ 3 + ε với bất

kỳ ε > 0 đủ nhỏ Điều này chỉ ra bất phương trình (1.50), (1.54) và (1.58) không thểthay thế bởi điều kiện không hạn chế

Nếu toán tử l được định nghĩa bởi (1.65) Thì với bất kỳ ε > 0 đủ nhỏ, thì hàm sốγ(t) ≡ ε thỏa mãn

Mặt khác, như giải thích ở trên, bài toán (1.3) có một nghiệm không tầm thường Kếtquả là, bất phương trình (1.9) không thể được thay thế bởi bất phương trình (1.66)với bất kỳ ε đủ nhỏ

Chương 2

Bài toán biên nhiều điểm cho

phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

2.1 Giới thiệu bài toán và các định nghĩa

Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để nghiên cứu sự tồn tại và duynhất nghiệm của bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính.Xét phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1

Từ Định lý 1.2 trong công trình [13] ta có ngay kết quả:

Định lý 2.1 Bài toán (2.1) và (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán đồngnhất tương ứng

chỉ có nghiệm tầm thường.

Tương tự như phương pháp xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1 Trướchết ta xây dựng các định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2 Toán tử l ∈ LI gọi là thuộc tập hợp SI(a) nếu mỗi hàm số u ∈

và c ∈ R, phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u thỏa u(a) = c Do đó, bao hàm

l ∈ SI(a) đảm bảo sự tồn tại và tính không âm của toán tử Green đối với bài toán giátrị ban đầu tại điểm a cho phương trình (2.1)

Định nghĩa 2.3 Toán tử l ∈ LI được gọi là thuộc tập SI(b) nếu mỗi hàm số u ∈

Sự bao hàm l ∈ SI(b) có thể suy ra nghiệm duy nhất của bài toán (2.3) sao cho u(b) = 0

là nghiệm tầm thường Kết quả, theo Định lí Fredholm, cho mỗi q ∈ L (I; R) và c ∈ R,phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u thỏa u(b) = c Do đó, bao hàm l ∈ SI(b) đảmbảo sự tồn tại và tính không dương của toán tử Green đối với bài toán giá trị ban đầutại điểm b cho phương trình (2.1)

Định nghĩa 2.4 Toán tử l ∈ LI được gọi là thuộc tập SI0(a) nếu mỗi hàm số u ∈

và đặt ∼l (v)(t) = −l (ϕ (v)) (a + b − t) hầu khắp nơi t ∈ I, v ∈ C (I; R)

Thì có thể dễ dàng thấy rằng∼l ∈ SI(a) (tương ứng ∼l ∈ SI0(a)) nếu và chỉ nếu l ∈ SI(b)(tương ứng l ∈ SI0(b))

Hơn nữa∼l ∈ PI+ nếu và chỉ nếu l ∈ NI−

2.2 Bất phương trình vi phân hàm

Định lý 2.7 Giả sử l ∈ LI và l = l0− l1 với l0, l1 ∈ PI, −l1 ∈ SI(b) là một toán tửa-Volterra Thì l ∈ SI(a) nếu và chỉ nếu tồn tại γ ∈ AC (I; R) sao cho

γ(t) > 0 khi t ∈ [a, b] , (2.10)

γ0(t) ≥ l (γ) (t) (2.11)hầu khắp nơi t ∈ [a, b]

Điều kiện đủ Giả sử tồn tại một hàm số γ ∈ AC (I; R) thỏa (2.10) và (2.11) và

u ∈ AC (I; R) thỏa (2.5) và (2.6) Ta sẽ chỉ ra (2.7) thỏa mãn

Ngược lại giả sử phản chứng rằng tồn tại s0 ∈ [a, b] sao cho

λγ(t) + u(t) ≥ 0 khi t ∈ [a, b] , (2.14)

và tồn tại s1 ∈ [a, b] sao cho

Từ (2.5), (2.11) và (2.13), ta có:

λγ0(t) + u0(t) ≥ l (λγ + u) (t) (2.16)hầu khắp nơi t ∈ [a, b] Bây giờ theo (2.14), từ (2.16) ta có:

λγ0(t) + u0(t) ≥ −l1(λγ + u) (t) hầu khắp nơi t ∈ [a, s1] Điều này, cùng với (2.15) và −l1 ∈ SI(b) là một toán tử a-Volterra, suy ra λγ(t)+u(t) ≤

0 khi t ∈ [a, s1] Ta được λγ(a) + u(a) > 0 mâu thuẫn Do đó (2.7) đã được thỏa mãn