Kết hợp hai phương pháp số để giải bài toán cauchy trong phương trình vi phân thường

16 2 Các phương pháp số để giải bài toán Cauchy trong phương trình vi phân thường 19 2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước... 43 2.7 Phương pháp tuyến tính 2 bước ẩn có cấp chính xác bằ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

Chuyên ngành: Cử nhân Toán ứng dụng.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 4/2015

Mục lục

1.1 Phương trình vi phân 7

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số 7

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm 8

1.2.2 Tiếp cận lời giải số 8

1.3 Phương pháp số tổng quát 8

1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số 9

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số 10

1.3.3 Tính zero - ổn định của phương pháp số 12

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số 12

1.4 Phương pháp lặp đơn 13

1.4.1 Phương pháp lặp đơn 13

1.5 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều 14

1.6 Phương trình Riccati 15

1.6.1 Dạng chính tắc của phương trình Riccati 15

1.6.2 Một số tính chất 15

1.6.3 Dạng đặc biệt của phương trình Riccati 16

1.7 Phương pháp Runge - Kutta 16

2 Các phương pháp số để giải bài toán Cauchy trong phương trình vi phân thường 19 2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước 19

2.1.1 Khái niệm chung 19

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính k bước 21

2.1.3 Cấp chính xác 22

2.2 Phương pháp Adams - Bashforth 22

2.2.1 Xây dựng công thức 22

2.2.2 Một số phương pháp Adams - Bashforth 24

2.3 Phương pháp Adams - Moulton 26

2.3.1 Xây dựng công thức 26

2.3.2 Một vài công thức Adams - Moulton 28

2.4 Phương pháp Nystro¨m 30

2.5 Phương pháp BDF 34

2.5.1 Phát biểu công thức BDF 34

2.5.2 Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp BDF 2 bước, 3 bước 36

2.6 Phương pháp Milne - Simpson 39

2.6.1 Giới thiệu 39

2.6.2 Cấp chính xác của phương pháp Milne - Simpson 41 2.6.3 Sự hội tụ của phương pháp Milne - simpson 43

2.7 Phương pháp tuyến tính 2 bước ẩn có cấp chính xác bằng 3 44 3 Dự báo bằng 1 phương pháp tuyến tính đa bước hiển và hiệu chỉnh bằng 1 phương pháp tuyến tính đa bước ẩn để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 48 3.1 Kết hợp phương pháp Nystr¨om 2 bước và phương pháp Adams - Moulton 2 bước để giải bài toán Cauchy 48

3.1.1 Thuật toán 48

3.1.2 Áp dụng giải một số ví dụ 49

3.2 Kết hợp phương pháp Adams - Bashforth 2 bước và phương pháp tuyến tính 2 bước để giải bài toán Cauchy 56

3.2.1 Thuật toán 56

3.2.2 Áp dụng giải một số ví dụ 57

3.3 Kết hợp phương pháp Nystr¨om 2 bước và phương pháp

Adams - Moulton 3 bước để giải bài toán Cauchy 653.3.1 Thuật toán 653.3.2 Áp dụng giải một số ví dụ 663.4 Kết hợp phương pháp Adams - Bashforth 3 bước và phương

pháp BDF 3 bước để giải bài toán Cauchy 753.4.1 Thuật toán 753.4.2 Áp dụng giải một số ví dụ 763.5 Kết hợp phương pháp Nystr¨om 3 bước và phương pháp

Milne - Simpson 4 bước để giải bài toán Cauchy 843.5.1 Thuật toán 843.5.2 Áp dụng giải một số ví dụ 86

Lời nói đầu

Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ Trong đó,lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì có rất nhiềuứng dụng thực tiễn và nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹthuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế Nhiều bài toán cơ học, vật lýdẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng Để nghiên cứuphương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng là nghiêncứu định tính và giải số Việc tìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích củamột số phương trình vi phân là rất khó khăn và lớp các phương trình viphân tìm được nghiệm giải tích là rất hẹp

Trong giải tích số, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháphữu hiệu bảo đảm sự hội tụ và có cấp chính xác cao Để làm được điềunày,người ta thường kết hợp các phương pháp tuyến tính đa bước để nhậnđược các phương pháp mới đảm bảo sự chính xác cao hơn

Mục đích của khóa luận là kết hợp một cặp phương pháp số trong cácphương pháp Adams - Bashforth, Adams - Moulton, BDF, Nystro¨m, Milne

- Simpson và phương pháp tuyến tính 2 bước để giải bài toán Cauchy trongphương trình vi phân thường nhằm tìm ra một phương pháp tốt nhất, chonghiệm chính xác nhất

Khóa luận gồm 3 chương:

• Chương 1: Đại cương về phương pháp số giải phương trình vi phân

• Chương 2: Trình bày các phương pháp tuyến tính đa bước làm cặpphương pháp dự báo - hiệu chỉnh

• Chương 3: Sử dụng cặp phương pháp tuyến tính đa bước hiển - ẩnlàm cặp dự báo - hiệu chỉnh để giải bài toán Cauchy đối với phươngtrình vi phân thường.

• Phụ lục trình bày code được lập trình trên Maple

Ở đây em đã lập trình và tính toán trên Maple vào một số ví dụ cụ thể

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S NguyễnHoàng Thành, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn emtrong suốt quá trình thực hiện đề tài của mình, hướng dẫn cho em cài đặt

và sử dụng Latex và đã giúp em thu được rất nhiều kiến thức bổ ích trongquá trình hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú đã hướng dẫn, giúp em cóthể sử dụng phần mềm Maple Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn đếnthầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điềukiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót Em mong nhậnđược sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xinchân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 25 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Thắm

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số

Trong luận văn này, ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải các bàitoán tìm giá trị ban đầu Bài toán tìm giá trị ban đầu còn gọi là bài toánCauchy là bài toán tìm y(x) sao cho







y′ = f (x, y)y(a) = η

(1.1)

với f : [a, b] ×Rn → Rn, y : [a, b] → Rn, η = (y1(a), y2(a), , yn(a))

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý 1.1 (Xem [10]) Cho f : [a, b] ×Rn → Rn là ánh xạ liên tục trên

D = [a, b] ×Rn và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là tồntại L ≥ 0 sao cho

kf (x, y) − f (x, y1)k ≤ L ky − y1k , ∀(x, y), (x, y1) ∈ D (1.2)Khi đó bài toán Cauchy (1.1) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và khả

vi trên D

1.2.2 Tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sửdụng tìm nghiệm y(x)của bài toán Cauchy (1.1) trên một tập rời rạc của

[a, b] Đó là chúng ta chia nhỏ [a, b] ra thành N phần bằng nhau bởi cácđiểm chia {xi}Ni=0 được định nghĩa bởi xi = ai + ih, i = 0, N, h = b− a

Tham số h được gọi là bước nhảy

Giả sử y(x) là nghiệm của hệ (1.1), đặt yn là xấp xỉ của nghiệm y(xn) của(1.1) tại xn Ký hiệu yn ≈ y(xn)

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị xấp

xỉ {yn}Nn=0 của nghiệm của (1.1) trên tập rời rạc {xn}Nn=0

Định nghĩa 1.2 Nghiệm số là một dãy các xấp xỉ nghiệm đúng của bàitoán (1.1) trên tập rời rạc trên [a, b]

Định nghĩa 1.3 (Xem [10]) Phương pháp số giải bài toán (1.1) là một

hệ sai phân của k+ 1 giá trị xấp xỉ {yn+i}ki=1 của {y(xn+i)}ki=1để từ đó ta

có thể tính tuần tự các giá trị {yi}Ni=0, với k là số bước

trong đó k gọi là số bước của phương pháp (1.3), h gọi là bước nhảy củaphương pháp (1.3)

Vớik = 1 phương pháp số (1.3) gọi là phương pháp số một bước, k ≥ 2

phương pháp số (1.3) gọi là phương pháp số đa bước

Nếu φf không phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.3) là phươngpháp hiển

Nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.3) là phương pháp ẩn

Ví dụ 1.1

a Phương pháp số yn+1 = yn+ hf (xn, yn) là phương pháp hiển 1 bước

b Phương pháp số yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1)là phương pháp ẩn 1 bước

a Phương pháp Euler hiển yn+1 = yn + hf (xn, yn) là phương pháp cócấp chính xác p = 1 vì

Ta có y(xn+1) = y(xn+ h) = y(xn) + hy′(xn) + o(h2)

⇒ y(xn+1) − y(xn) = hy′(xn) + o(h2)

Định nghĩa 1.6 R(xn+1) gọi là sai số chặt cụt

Định nghĩa 1.7 (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) gọi là phù hợp nếu

Áp dụng hệ quả, cấp chính xác của các phương pháp trên đều lớn hơnhoặc bằng 1 nên ta có

a Phương pháp Euler hiển là phù hợp

b Phương pháp Euler ẩn là phù hợp

c Phương pháp Euler cải tiến ( hình thang) là phù hợp

Định nghĩa 1.8 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.3)

Các phương pháp Euler đều phù hợp vì

Xét phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất là ρ(t) = t − 1, khi

1.3.3 Tính zero - ổn định của phương pháp số

Định nghĩa 1.9 (Xem [10]) Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp

số (1.3) gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó đều cómodul nhỏ hơn 1 và các nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn

Ví dụ 1.5

1 Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t3− 4t2+ 5t − 2 = (t − 1)2(t − 2)

có nghiệm t = 2 có môđun lớn hơn 1 và nghiệm t = 1 là nghiệm bội

2 nên không thỏa mãn điều kiện nghiệm

Định nghĩa 1.10 (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) gọi là có tính zero

-ổn định nếu đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm

Ví dụ 1.6

Các phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t − 1 cónghiệm đơn t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm

Vậy phương pháp Euler có tính zero - ổn định

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số

Định nghĩa 1.11 (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) gọi là hội tụ nếu

với ϕ : Rn → Rn không phải là ánh xạ tuyến tính.

Để giải các phương trình phi tuyến, có rất nhiều phương pháp để giải,

ở đây ta chỉ đề cập đến phương pháp lặp đơn

1.4.1 Phương pháp lặp đơn

Phương pháp lặp đơn được định nghĩa bởi dãy lặp

y[ν+1] = ϕ(y[ν]), ν = 0, 1, 2, (1.5)với y[0] chọn một cách thích hợp

Định lý 1.4 (Xem [10]) Cho ϕ(y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kϕ(y) − ϕ(y∗)k ≤ M ky − y∗k , ∀y, y∗ ∈ Rn

Hằng số Lipschitz M thỏa mãn 0 ≤ M < 1 Khi đó phương trình (1.4) códuy nhất nghiệm y = α và nếu y[ν] được định nghĩa bởi (1.5) thì y[ν] → α

khi ν → ∞

1.5 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách

Khi đó có duy nhất một đa thức In(x) bậc n thỏa mãn điều kiện

a Nếu biết được nghiệm riêng của phương trình Riccati thì có thể đưa nó

về phương trình Bernoulli và do đó có thể giải được bằng cầu phương

b Nếu biết được hai nghiệm riêng khác nhau của phương trình Riccati thìnghiệm tổng quát của nó có thể tìm được bằng một lần cầu phương

1.6.3 Dạng đặc biệt của phương trình Riccati

Định nghĩa 1.14 Phương trình

dy

dx + Ay2 = Bxα (1.6)trong đó A, B, α là các số thực được gọi là phương trình Riccati dạng đặcbiệt

Trong hai trường hợp sau phương trình (1.6) có thể tích phân đượcbằng cầu phương

cs as1 as2 ass

b1 b2 bs

Định nghĩa 1.15 Phương pháp Runge - Kutta s nấc là phương pháp số

1 3

1 3

1 6

khi đó ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

1

2 0 0 0-1 1

2

3 0 1

6

khi đó ta có phương pháp Runge - Kutta 4 nấc sau

Chương 2

Các phương pháp số để giải bài

toán Cauchy trong phương trình vi phân thường

2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước

2.1.1 Khái niệm chung

Trong các phương pháp một bước như Euler, Euler cải tiến, Runge Kutta, giá trị yn+1 tính được nhờ xn, yn và bước nhảy h Tuy nhiên độchính xác của chúng không cao Để có độ chính xác cao hơn, người ta sửdụng phương pháp đa bước dưới dạng như sau

-Định nghĩa 2.1 (Xem [10]) Một phương pháp số được gọi là phương pháptuyến tính k bước nếu phương pháp số đó được cho bởi công thức sau

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính k bước

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 = (t − 1)(t + 1) có 2 nghiệmđơn t = 1 và t= −1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp sốtrên là zero - ổn định.

là đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (2.1); ρ(t) = t2 − t là

đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp số (2.1)

2.2 Phương pháp Adams - Bashforth

1! t+

∇2yn′2! t(t + 1)+ +

∇kyn′k! t(t + 1) (t + k − 1) (2.3)

Vì y′n+t := y′(xn+ th) nên thay (2.3) vào (2.2) ta được

Suy ra công thức Adams - Bashforth

2.2.2 Một số phương pháp Adams - Bashforth

Ví dụ 2.3 Phương pháp Adams - Bashforth 4 bước

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước có cấp chính xác p= 4

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước hội tụ

Ví dụ 2.4 Phương pháp Adams - Bashforth 5 bước

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 5 bước có cấp chính xác p= 5

suy ra phương pháp số trên là phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 5 bước hội tụ

2.3 Phương pháp Adams - Moulton

2.3.1 Xây dựng công thức

Từ (1.9) thay n bởi n+ 1 và thay t bởi t− 1 ta được

y′n+t = yn+1′ + ∇y

′ n+1

1! (t − 1) +

∇2yn+1′2! (t − 1)t + +

∇kyn+1′k! (t − 1)t (t + k − 2) +

Suy ra công thức Adams - Moulton

2.3.2 Một vài công thức Adams - Moulton

Ví dụ 2.5 Công thức Adams - Moulton 2 bước

suy ra phương pháp trên phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Moulton 2 bước hội tụ

Ví dụ 2.6 Công thức Adams - Moulton 3 bước

suy ra phương pháp trên phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Moulton 3 bước hội tụ

Ví dụ 2.7.

a Phương pháp Nystro¨m 2 bước yn+1 = yn−1+ 2hf (xn, yn)

Phương pháp Nystro¨m 2 bước gọi là quy tắc trung điểm

b Phương pháp Nystro¨m 3 bước

Ví dụ 2.9 Phương pháp trung điểm

yn+1 = yn−1 + 2hf (xn, yn)

có cấp chính xác p = 2

Vậy phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2

Ví dụ 2.10 Phương pháp Nystro¨m ba bước

Ví dụ 2.11 Phương pháp trung điểm

yn+1 = yn−1 + 2hf (xn, yn)

hội tụ

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2− 1 có nghiệm t= −1, t = 1 nênthỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định

Phương pháp trung điểm có cấp chính xác p= 2 nên phù hợp

Vậy phương pháp trung điểm hội tụ

Ví dụ 2.12 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

có 2 nghiệm đơn t = −1, t = 1 có môđun bằng 1, có 1 nghiệm kép t = 0

có môđun bằng 0 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero

Suy ra phương pháp Nystro¨m bốn bước phù hợp

Vậy phương pháp Nystr¨om bốn bước hội tụ

2.5 Phương pháp BDF

2.5.1 Phát biểu công thức BDF

Một phương pháp tuyến tính đa bước ẩn thường dùng để giải các vấn

đề của bài toán cương đó là phương pháp BDF Phương pháp này là ẩn

có σ(t) = β0tk Chúng chỉ zero ổn định với một vài giá trị k thích hợp và

có tính ổn định tuyệt đối cao Công thức BDF được cho bởi

!

∇iyn+1 (2.13)Lấy r = 0

với δi = (−1)i d

dr

−r i

1h

• Sự hội tụ của phương pháp.

⇒ ρ(t) = 0 thỏa điều kiện nghiệm

⇒Phương pháp BDF 2 bước có zero ổn định



= t2 − 4

3t+

13σ(t) = 2

• Sự hội tụ của phương pháp.

⇒ ρ(t) = 0 thỏa điều kiện nghiệm

⇒ Phương pháp BDF 3 bước có zero ổn định

2.6 Phương pháp Milne - Simpson

2.6.1 Giới thiệu

Xét bài toán Cauchy (1.1) Kí hiệu y′n = f (xn, yn) Lấy tích phân hai

vế của bài toán Cauchy từ xn−1 đến xn+1 ta được

kyn+1′ +

(2.21)Thay (2.21) vào (2.20) ta được

Định nghĩa 2.3 Phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyếntính k bước với α2 = 1, αj = 0, j = 0, 1, 3, 4, có dạng

= yn−1 + h

3[y

′ n+1+ 4yn′ + yn−1′ ]

= yn−1 + h

3[f (xn+1, yn+1) + 4f (xn, yn) + f (xn−1, yn−1)]

Phương pháp Milne - Simpson 2 bước gọi là phương pháp Simpson

2 Phương pháp Milne - Simpson 4 bước

− 1

90(y

′ n+1− 4y′n+ 6yn−1′ − 4yn−2′ + yn−3′ )]

= yn−1 + h[29

90y

′ n+1+ 62

45y

′ n−2− 1

90y

′ n−3]

= yn−1 + h

90[29y

′ n+1+ 124y′n+ 24y′n−1+ 4yn−2′ − yn−3′ ]

′ n+1−4yn′ +6yn−1′ −4y′n−2+yn−3′ )− 1

90(y

′ n+1−5yn′ +10yn−1′ −10yn−2′ +5yn−3′ −yn−4′ )]

= yn−1 + h[14

45y

′ n+1+ 43

45y

′ n−2− 1

15y

′ n−3+ 1

90y

′ n−4]

= yn−1 + h

90[28y

′ n+1+ 129y′n+ 14y′n−1+ 14y′n−2− 6yn−3′ + yn−4′ ]

= yn−1 + h

90[28f (xn+1, yn+1) + 129f (xn, yn) + 14f (xn−1, yn−1)+14f (xn−2, yn−2) − 6f (xn−3, yn−3) + f (xn−4, yn−4)]

2.6.2 Cấp chính xác của phương pháp Milne - Simpson

Vì phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyến tính k bướcnên ta có thể dùng định nghĩa hoặc dùng định lý để tính cấp chính xáccủa phương pháp Milne - Simpson

Ta có

ρ(t + 1) − σ(t + 1) ln(t + 1)