Đề thi Học kì 1 Toán 12 - Đề số 6

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. có đáy ABC là tam giác đều, các cạnh bên đều bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30.. 0 1 Xác định góc giữa cạnh bên với mặt đ

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KONTUM

Đề số 6

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010

Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 120 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (3.0 điểm)

Cho hàm số yx33x có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d): x 9y 3 0

Câu II (2.0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức: A = 5 7

log 6 log 8

1 log 4 2 log 3 log 27

2) Cho hàm số y x e  12 2009. x Chứng minh rằng: xy y  (12 2009 ) 0 x 

Câu III (2,0 điểm)

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, các cạnh bên đều bằng a, góc giữa cạnh

bên và mặt đáy bằng 30 0

1) Xác định góc giữa cạnh bên với mặt đáy ABC

2) Tính thể tích khối chópS ABC theo a.

II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu IV.a (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 20092x 20091 x  2010 0

2) Giải bất phương trình: 2 x 1 x

2

( 3) log ( 2) 1

Câu V.a (1,0 điểm)

Chứng minh rằng đường thẳng (d): y m x  luôn cắt đồ thị (C): y x

x

2





 tại 2 điểm phân

biệt A và B Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu IV.b (2,0 điểm)

1

1 log

2009 

1

1 log

2009 

 với 3 số dương a, b, c và khác 2009 Chứng minh rằng : c

1

1 log

2009 

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.lnx trên [1 ; e2]

Câu V b (1,0 điểm)

Chứng minh rằng đường thẳng (d): y2x m luôn cắt đồ thị (C): y x

x

2

1



 tại 2 điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KONTUM

Đề số 6

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010

Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 120 phút

 Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Ta có y’ = –3x2 + 3 = –3(x2–1) = 0 1 (1) 2





+ BBT:

x – –1 1 +

y’ 0 0

y + 2

–2 –

+ HS đồng biến trên khoảng (–1;1); Nghịch biến trên     ; 1 ; 1;     + Cực trị: – Hs đạt cực đại tại x = 1; yCĐ = 2 - Hs đạt đạt cực tiểu tại x = –1; yCT = –2  Đồ thị: y" = –6x ; y" = 0 x = 0  y = 0 y" đổi dấu khi x đi qua x = 0 nên (C) có điểm uốn O(0;0)  Giao với Oy: cho x= 0 => y=0 Giao với Ox: cho y=0 => x=0, x= 3

4

2

-2

-4

-1

CT

CD

+ NX: đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

1đ

Đường thẳng x – 9y + 3 = 0 hay y = 1 1

9 x  3 có hệ số góc k =1/9.

Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng trên nên có hệ

số góc k =–9

Ta có f’(x0) = –3x0+3 = –9 0

0





Nên ta có 2 phương trình tiếp tuyến là:

y = – 9( x +2) + 2 hay y = – 9x –16

y = – 9( x –2 ) – 2 hay y = – 9x +16

0,25

0,5

0,25

log 6 log 8

1 log 4 2 log 3 log 27

1đ

Ta có A =

5 2

log 6 log 8

1

1.log 4 log 27

2log 3 3 2

=

2

5 2

log 36 log 64

1 log log 3

=

36 64 3

9 16

9



0,25

0,25

0,5

x

y x e 12 2009 Chứng minh rằng : x.y' – y( 12 + 2009x) = 0 1đ

Ta có` : y' = 12x11.e2009x + x12.2009.e2009x = x11.e2009x ( 12 + 2009x)

 x.y' = x12.e2009x.(12 + 2009x) Vậy x.y' – y( 12 + 2009x) = 0

0,25 0,25 0,25 0,25

1 Xác định góc giữa cạnh bên với mặt đáy chóp

Gọi Olà tâm của tam giác đều ABC,gọi Hlà trung điểm của BC

Vì SA SB SC a   nên SO (ABC) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABC)

Vậy góc [SA,(ABC)] = SAO300 2.Tính thể tích khối chópS ABC theo a.

Do đó SAO 300, sin 300

2

a

3 2

a

Vì ABClà tam giác đều nên 3

2

a

BC 

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Diện tích đáy 1 1 3 3 3 9 3 2

ABC

Do đó thể tích khối chóp S ABC là

.

0,25

Câu IV.a

(CTC) Giải phương trình: 20092x 20091 x 2010 0

(1)

x t

 

 2

2009 0

2009 2010 0  t1

x

x

2009 1 0

0.5 0.25 0.25 Giải bất phương trình log (x ) log (x 1  )

2

0 2 0 3

















x x

x

(*)

 Khi đó:

4 x 1

x

x

log

2 2 2















































0 4 x

2 6 x

2 log ) 6 x x ( log

1 ) 6 x x (

1 ) 2 x )(

3 x ( log ) 1 (

2 2

2

2 2

0,25

0,25

0,25 0,25

Câu V.a

(C): y = x

x





2

1đ (CTC) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

x x





2 = m – x ( x – 2)

(1) có  m2  , m 

Vậy (d) luôn cắt (C) tại A và B phân biệt

Khi đó

AB2 (x  x )2 (y  y )2 2[(x x )2 4x x ]2(m212)24 Vậy MinAB = 2 6 khi m = 0

0,25

0,25

0,25 0,25

Câu

IV.b

2đ

Chứng minh rằng : a  log c

1 1 2009

1đ

Ta có

log a





2009

1

1

1 1

0,5

Do đó log c log b   log a  log a log c

1

1

2009

1

2009

0,25 0,25

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.ln x trên [1; e2] 1đ

 y ' ln x

x



2

 y ' x

e

 0 12

x 1/e2 1 e2

 y' 0 +

y 2e 0

Vậy

]

[ ,e

e Maxy 

2

1 2 khi x = e2 và

[ ,e ]

Miny 

2

1 0 khi x = 1

0,25 0,25

0,25

0,25

Câu V.b

(C): y = x

x 

2

1

1đ (CTNC) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

x

x 

2

1 = 2x + m ( x 1)

 2  2  0 (1) (1) có  m2 4 0, m  Vậy (d) luôn cắt (C) tại A và B phân biệt

Khi đó

AB2 (x  x )2 (y  y )2 5[(x x )2  4x x ]5(m24)20 Vậy MinAB = 2 5 khi m = 0

0,25

0,25

0,25 0,25

Chú ý:

Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định

––––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––––––