Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

BÀI 1: NGUYÊN HÀM. Chuyên đề 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN. ➢ Dạng 1: Các bài toán sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm và bảng nguyên hàm sơ cấp. + Bài toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng bảng nguyên hàm. + Bài toán 2: Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x). + Bài toán 3: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc. + Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x). ➢ Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng công thức mở rộng. + Bài toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm đa thức. + Bài toán 2: Tìm nguyên hàm của hàm phân thức. + Bài toán 3: Tìm nguyên hàm của hàm mũ. + Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác. Chuyên đề 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM. ➢ Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. ➢ Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. BÀI 2: TÍCH PHÂN. Chuyên đề 1: TÍCH PHÂN CƠ BẢN. ➢ Dạng 1: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm mở rộng và phương pháp vi phân. ➢ Dạng 2: Tích phân hàm phân thức đại số đặc biệt. Chuyên đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. ➢ Dạng 1: Phương pháp đổi biến số dạng 1. ➢ Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2. ➢ Dạng 3: Phương pháp đổi biến số dạng 3. Chuyên đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN. ➢ Dạng 1: P(x) là hàm đa thức, Q(x) không phải là hàm logarit. ➢ Dạng 2: P(x) là hàm logarit, Q(x) là hàm bất kì. Chuyên đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN. ➢ Dạng 1: Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số. ➢ Dạng 2: Tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần. ➢ Dạng 3: Tích phân sử dụng tính chẵn lẻ. ➢ Dạng 4. Tích phân chứa biểu thức dạng f(x) + p(x).f(x) = h(x). BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. Chuyên đề 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. ➢ Dạng 1: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox (y = 0) và các đường thẳng x = a, x = b. ➢ Dạng 2: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b. Chuyên đề 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. ➢ Dạng 1: Thể tích của vật thể: Một vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = a, x = b (a =< b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của V, vuông góc với trục Ox tại x thuộc a;b. ➢ Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x) liên tục trên đoạn a;b, trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox, ta được khối tròn xoay. ➢ Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x), g(x) liên tục trên đoạn a;b và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox, ta được khối tròn xoay (V). Chuyên đề 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ – ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT. ➢ Dạng 1: Bài toán chuyển động. ➢ Dạng 2: Bài toán liên quan đến các yếu tố vật lý.

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -PHẦN MỤC LỤC

➢ Bài tập Rèn luyện: - 13

Chuyên đề 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - 23

➢ Phương pháp: Đổi biến số

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG



ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020-2021

B: MỘT SỐ DẠNG TOÁN

✓

✓

✓

➢

dx x C = +

1 1

x

x dx = + + C  −

+



❖

1

m

nxm = xn ❖ x 1n = x−n

❖ 1 1n

n x

x

−

n m x x

−

=

Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số:

3

x

F x = x − x + − x C + ( ) 4 2 3 3 2

x x x

F x = − − + C

( ) 4 3 1 3ln 33

3

x

x

( ) 6 5 12 3 2 8

f x = x − x + x − ( ) 2 3 2

2

x

( ) ( 2 3 ) ( 1 )

f x = x − x x + ( ) 2

1

x

f x

x

−

=

➢

x x

e dx e = + C

ln

x

a dx C a

a



( ) 7x

f x = f x ( ) = ex( 2 − e−x)

Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: ( ) 7 ln7 x F x = + C F x ( ) = 2 ex − + x C ➢ •  cos xdx = sin x C + •  sin xdx = − cos x C + • 12 dx tan x C x = +  • 12 cot sin x dx = − x C +  ❖ sin2 1 2 2 c x x = − ❖ 2 2 1 tan x 1 x = − ❖ sin2x + 2x = 1 ❖ 2 1 2 2 x x = + ❖ 2 2 1 cot 1 sin x x = − ❖ 2 x = 2x − sin2x ( ) sin 2cos f x = x − x f x ( ) = tan2x ( ) 2 2 1 sin f x x x = ( ) 2 2 2 sin x f x x x = Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: F x ( ) = − cos x − 2sin x C + F x ( ) = tan x x C − + ( ) tan cot F x = x − x C + F x ( ) = − cot x − tan x C + ( ) F x f x ( ) ( ) F x f x ( ) K F x  ( ) ( ) = f x   x K ( ) F x f x ( ) ( ) 5 3 4 2 7 120 F x = x + x − x + f x ( ) = 15 x2+ 8 x − 7 ( ) ln ( 2 3 ) F x = x + x + ( ) 21 3 f x x = + Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

( ) F x f x ( ) F x ( ) ( = 4 x − 5 ) ex f x ( ) ( = 4 x − 1 ) ex Lời giải: ………

………

………

………

………

………

( ) F x f x ( ) ( ) tan4 3 5 F x = x + x − f x ( ) = 4tan5x + 4tan3x + 3 Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

( ) F x f x ( ) ( ) 2 0 1 0 x e khi x F x x x khi x    =   + +   ( ) 0 2 1 0 x e khi x f x x khi x    =   +   Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

( ), f x  f x dx F x C ( ) = ( ) + ( )o F x + C =    C ( ) 1 f x x x x = + F ( ) 1 = − 2 ( ) x2 1 f x x + = ( ) 1 3 2 F = Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: ( ) 2 5 2 22 5 5 F x = x + x − ( ) 2 ln 1 2 x F x = + x + ( ) x 1 e2x f x e x −   =   −     F ( ) 1 = e Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: F x ( ) ex 1 1 x = + − ( ) f x f x  ( ) = − 3 x f ( ) 0 = 5 Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: f x ( ) = 3 x − 5sin x + 5 ( ) F x f x ( ) ( ) F x f x ( ) K  F x  ( ) ( ) = f x ,   x K m F x ( ) f x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 4 3 3 10 4 F x mx m x x f x x x  = + + − +   = + −  Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: m = 1

, ,

( )





=



Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: F x  ( ) = cos 2 x , a b F x ( ) f x ( ) ( ) 2 1 1 x khi x F x ax b khi x    =   +   ( ) 2 1 2 1 x khi x f x khi x    =     Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: 2 1 a b  =   = −  F x ( ) f x ( ) ( ) ( ) d f x     = f x dx   dx x C = + ( ) ( ) d f x    =  f x + C  ( cos x x ) = ( sin x ) ( sin x x ) = ( − cos x ) 2 ( ) 1 x tan x x = ( ) 2 1 cot sin x x = − x x x = ( ) ex ln x x x a a   =       ( ) 1 x ln x x = 1 x ( ) 2 x x = 1 ln ( 1 ) 1 x x x + =   +   ( 2 ) ( ) 2 1 1 tan x x x tan x x + = = ( 2 ) ( ) 2 1 1 cot cot sin x x x x x + = = − ( ) . 1 ( ) d ax b a dx dx d ax b a + =  = + ( ax b dx ) 1 ( ax b d ax b ) ( ) ( 1 ax b ) C a a + = + + = + +   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ax b ax b dx ax b d ax b C a a + + + = + + = + +   ( ax b ) b x a + − = ( )4 9 x − dx  ( )6 1 x + xdx  ( )3 2 1 x x − dx  Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: ( )5 9 5 x C − + ( ) (8 )7 1 1 8 7 x x C + + − + ( ) (5 )4 2 1 2 1 1 4 5 4 x x C  − −    =  + +      ( ) 1 5 4 f x x = + ( ) ( )2019 2 1 f x = x + ( ) 1 3 2 f x x = − ( ) 3 4 1 x f x x = + Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

5

2020

4040

x

F x = + + C

( ) 2 3 2 3

4

( ) ( )

P x

Q x

- deg P x ( )  deg Q x ( ) ⎯⎯⎯PP→

- deg P x ( )  deg Q x ( ) ⎯⎯⎯PP→

( )

P x Q x ( )

✓

•

an bm ax m bx n

ax m bx n

•

A B x Ab Ba

mx n A B

x a x b

x a x b x a x b

A B m

Ab Ba n

 + =



 

+ = −



•

( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2

x a − x b − = x a − + x a − + x b − + x b −

✓

ax b a ax b a

➢

( 1)( 2) ( 1) ( 2)

1

2

1

2

x x

x x

ax b

ax b A

x x x x

ax b

ax b B

x x x x

=

=

 =     =



 



B

5 1

x

+ +

x

+

−

 3 x23 2 x 2 1 dx

x

−



Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: F x ( ) = + x 4 ln x + + 1 C ( ) 1 11 ln 2 1 2 2 F x =   x + x − + C     ( ) 2 1 ln 3 2 2 3 x F x = + x − + C 2 2 3 dx x − x −  2 1 x dx x −  2 24 4 x x dx x x + + +  Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: ( ) 1 3 ln 4 1 x F x C x − = + + ( ) 1 ln 2 1 2 F x = x − + C ( ) 3ln 2 2 2 F x x x C x = − + − + + ( ) 1 1 ax b ax b ax b e dx e d ax b e C a a + = + + = + +   ( ) 1 1 ln x x x a a dx a d x C a + + = + + = +   ( 0   a 1 ) 3x 2018 e − dx   ( 52x− 2000+ e2x) dx ln x dx x  ( )2 1 x x dx +  Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3

x e

x ex

2

1

x

e

−

+

cos ax b x cos ax b ax b ax b C

+

+

tan

ax b

ax b ax b

+

cot

ax b

ax b ax b

+

2

• .sin 1 ( ) ( )

2

2

ax bx =  a b x − + a b x + 

sin3x dx

 1 cos4

2

x dx

+

Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Đáp số: ( ) 1 cos3 3 F x = − x C + ( ) 1 1 sin4 2 8 F x = x + x C + ( ) 1 1 sin4 2 4 F x = x + x C + ( ) cos 1 cos5 5 F x = − x − x C + 3 s x dx x  ( )3 2cos x − 1 sin xdx   3cos sin xdx x + 1  1 2cos sin + xdx x Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

4

8

( ) ln 3cos 1

C: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM CB – TM1 ( ) f x g x ( ) Ⓐ    f x ( ) + g x ( )   d x =  f x x ( ) d +  g x x ( ) d Ⓑ    f x g x ( ) ( )   d x =  f x x g x x ( ) d  ( ) d Ⓒ    f x ( ) − g x ( )   d x =  f x x ( ) d −  g x x ( ) d Ⓓ  kf x x k f x x ( ) d =  ( ) d ( k  0; k  ) ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

  a b ;   a b ;   a b ;   a b ;   a b ;   a b ;   a b ;   a b ; Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 1 Ⓓ 4 ✎Lời giải:………

………

( ) F x y = x2 F  ( ) 4 Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 8 Ⓓ 16 ✎Lời giải:………

………

………

………

………

( ) 3 1 f x =x + +x Ⓐ. 4 2 4 2 x + x + C Ⓑ. 4 2 4 2 x + x + + x C Ⓒ. 4 2 2 x x + + + x C Ⓓ 3x2+ C ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 3 1 4 2 2 f x x x x = + + Ⓐ ( ) d 4 2 4 x f x x = + x + x C +  Ⓑ ( ) d 4 2 4 x f x x = + x + x C +  Ⓒ  f x ( ) d x = x4+ x2+ x C + Ⓓ ( ) d 12 2 2 1 4 f x x x C x x = + − +  ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020-2021

( )

F x f x ( ) = x − 2 x + 3 F ( ) 0 = 2

( ) 1

F

Ⓐ 4

Ⓑ 13

3

Ⓒ 2

Ⓓ 11

3

✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

( 1 2 )( 3 d ) I =  x + x − x Ⓐ 2 3 1 2 3 , 3 2 I = x + x + x C C +  Ⓑ. 2 ( 2 3 ) , 2 x I =   + x x   − x + C C    Ⓒ 2 3 1 2 , 3 2 I = x − x + C C  Ⓓ 2 3 1 2 3 , 3 2 I = x − x − x C C +  ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) f x f x  ( ) = 12 x2+ 6 x − 4 f ( ) 0 = 1, 1 f ( ) = 3 f − ( ) 1 Ⓐ f − ( ) 1 = − 5 Ⓑ f − ( ) 1 = 3 Ⓒ f − ( ) 1 = − 3 Ⓓ f − ( ) 1 = − 1 ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

( ) f x f x( )=4 x−x f ( ) 4 = 0 Ⓐ ( ) 8 2 40 3 2 3 x x x f x = − − Ⓑ f x ( ) 2 1 x = − Ⓒ f x = ( ) 8 x x 3 + x 22− 88 3 Ⓓ ( ) 2 2 1 2 x f x x = − + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) ( 2 ) 2 3 F x = ax + bx c + x − ( a b c  , , ) ( ) 20 2 30 11 2 3 x x f x x − + = − 3 ; 2  +      T a b c = + + Ⓐ T = 8 Ⓑ T = 5 Ⓒ T = 6 Ⓓ T = 7 ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

2 1 dx x  Ⓐ 12dx 1 C x = x +  Ⓑ 12dx 1 C x = − + x  Ⓒ 12d 1 2 x C x = x +  Ⓓ. 2 2 1 d x ln x C x = +  ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 1 2 2

x

f x = + x

Ⓐ. lnx +2x2+C

Ⓑ 2ln x + x2+ C

Ⓒ. ln x +x2+C

Ⓓ ln x2 + 2 x C +

✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 5 1 4 2018 f x x x = − + Ⓐ 4 6 ln 2018 6 x + x + x C + Ⓑ 2 6 ln 2018 3 x − x + x C + Ⓒ. 4 2 1 20x C x + + Ⓓ 2 6 ln 2018 3 x − x + x C + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 2 2 2 f x x x = + Ⓐ ( ) d 3 2 3 x f x x C x = − +  Ⓑ ( ) d 3 1 3 x f x x C x = − +  Ⓒ ( ) d 3 2 3 x f x x C x = + +  Ⓓ ( ) d 3 1 3 x f x x C x = + +  ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 6 2 1 1 7 2 f x x x x = + + − Ⓐ x7 ln x 1 2 x x + − − Ⓑ. 7 1 ln 2 x x x C x + + − + Ⓒ. 7 1 ln 2 x x x C x + + − + Ⓓ. 7 1 ln 2 x x x C x + − − + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) cos f x = x Ⓐ − sinx C + Ⓑ sinx C + Ⓒ cosx C + Ⓓ − cosx C + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 2 cos f x = x + x Ⓐ  f x dx ( ) = x2+ sin x C + Ⓑ  f x dx ( ) = x2− sin x C + Ⓒ  f x dx ( ) = 2 x2+ sin x C + Ⓓ  f x dx ( ) = − 1 sin x C + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) sin cos

f x = x − x

Ⓐ  f x x ( ) d = − sin x + cos x C +

Ⓑ  f x x ( ) d = sin x + cos x C +

Ⓒ  f x x ( ) d = − sin x − cos x C +

Ⓓ  f x x ( ) d = sin x − cos x C +

✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) F x f x ( ) = sin x + cos x 2 2 π F   =   Ⓐ F x ( ) = cos x − sin x + 3 Ⓑ F x ( ) = − cos x + sin x + 3 Ⓒ F x ( ) = − cos x + sin x − 1 Ⓓ F x ( ) = − cos x + sin x + 1 ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 2 7sin f x  = − x f ( ) 0 = 14 Ⓐ 3 2 2 π π f   =   Ⓑ f π ( ) = 2 π Ⓒ f x ( ) = 2 x + 7cos x + 14 Ⓓ f x ( ) = 2 x − 7cos x + 14 ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) 5x f x = Ⓐ  f x x ( ) d = 5x+ C Ⓑ  f x x ( ) d = 5 ln5x + C Ⓒ ( ) d 5 ln5 x f x x = + C  Ⓓ ( ) d 5 1 1 x f x x C x + = + +  ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

cos x y e = + x Ⓐ ex− sin x C + Ⓑ. 1 sin 1 x e x C x + − + + Ⓒ ex+ sin x C + Ⓓ. 1 sin 1 x e x C x + + + + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) e 1 ex( x) f x = + − Ⓐ  f x x ( ) d = e−x+ C Ⓑ  f x x ( ) d = ex+ + x C Ⓒ  f x x ( ) d = ex+ e−x+ C Ⓓ  f x x ( ) d = ex+ C ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

( ) x3 F x = e Ⓐ f x ( ) = ex3 Ⓑ f x ( ) = 3 x e2 x3 ✎Lời giải:………

………

………

Ⓒ f x ( ) 3 ex2

x

=

Ⓓ f x ( ) = x e3. x3 − 1

………

………

………

………

………

( ) d 1 ln 2 f x x x C x = + +  x  ( 0; + ) f x ( ) Ⓐ ( ) 2 1 1 . f x x x = − + Ⓑ ( ) 1 2 f x x x = + Ⓒ f x ( ) 12 ln 2 ( ) x x = + Ⓓ ( ) 12 1 2 f x x x = − + ✎Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

………

-HẾT -

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN – TM2 Câu 1: (THONGMATHS) Cho hàm số F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) Mệnh đều nào sau đây đúng? Ⓐ  f ( ) 2 x dx = 2 2 F ( ) x + C Ⓑ ( ) 2 1 ( ) 2 2 f x dx = F x + C  Ⓒ ( ) 2 1 ( ) 2 f x dx = F x + C  Ⓓ  f ( ) 2 x dx F x = ( ) + C ✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

Câu 2: (THONGMATHS) Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ( )5 ( ) 3 1 f x = x + ? Ⓐ ( ) ( 3 1 )6 8 18 x F x = + + Ⓑ ( ) ( 3 1 )6 2 18 x F x = + − Ⓒ ( ) ( 3 1 )6 18 x F x = + Ⓓ F x ( ) ( = 3 x 6 + 1 )6 ✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

………

………

ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020-2021

Câu 3: (THONGMATHS) Cho hàm số F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x3− x2− 5 x thỏa

( ) 0

F = m Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể hàm số y= F x( ) có 7 điểm cực trị

Ⓐ 4

Ⓑ 5

Ⓒ 6

Ⓓ 7

✎ Lời giải:………

………

………

………

………

Câu 4: (THONGMATHS) Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 f x x = − Ⓐ ( ) 1 1 F x x = − Ⓑ F x ( ) = x − 1 Ⓒ F x ( ) = 4 x − 1 Ⓓ F x ( ) = 2 x − 1 ✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

Câu 5: (THONGMATHS) Tìm hàm số ( ) F x thỏa mãn các điều kiện: 3 4 2 2 ( ) 1 x x F x x x −  = − + và (0) 1 F = Ⓐ F x ( ) = x4− x2+ + 1 x Ⓑ F x ( ) = x4− x2+ − 1 x Ⓒ F x ( ) = x4− x2+ 1 Ⓓ. 4 2 1 ( ) 1 F x x x = − + ✎ Lời giải:………

………

………

………

………

Câu 6: (THONGMATHS) Tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 3 f x x = + là Ⓐ 1 ln 2 ( 3 ) 2 x + + C Ⓑ 1 ln 2 3 2 x + + C Ⓒ ln 2 x + + 3 C Ⓓ 1 ln 2 3 ln2 x + + C ✎ Lời giải: ………

………

………

………

Câu 7: (THONGMATHS) Nguyên hàm ( ) ( ) 10 12 2 1 x dx x − +  Ⓐ. 11 1 2 . 3 1 x C x −   +  +    Ⓑ. 11 1 2 . 11 1 x C x −   −   + +   Ⓒ. 11 1 2 . 33 1 x C x −   +  +    Ⓓ. 11 1 2 11 1 x C x −   +  +    ✎ Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

Câu 8: (THONGMATHS) Biết rằng F x ( ) là một nguyên hàm trên của hàm số ( ) ( 2 )2018 2017 1 x f x x = + thỏa mãn F ( ) 1 = Tìm giá trị nhỏ nhất 0 m của F x ( ) Ⓐ 1 2 m = − Ⓑ. 2017 2018 1 2 2 m = − Ⓒ 1 220182017 2 m = + Ⓓ 1 2 m = ✎ Lời giải:………

………

………

………

………

………

………

Câu 9: (THONGMATHS) Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x ( ) 2 1 1

x

= + ?

Ⓐ F x ( ) = ln 2 x + + 1 1

2

F x = x + +

2

F x = x + +

4

F x = x + x + +

✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

Câu 10: (THONGMATHS) Biết F x ( ) là một nguyên hàm của ( ) 1 1 f x x = − và F ( ) 2 = Tính 1 F ( ) 3 Ⓐ F ( ) 3 = ln2 1 − Ⓑ F ( ) 3 = ln2 1 + Ⓒ ( ) 3 1 2 F = Ⓓ ( ) 3 7 4 F = ✎ Lời giải: ………

………

………

Câu 11: (THONGMATHS) Cho F x ( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 x x f x x + + = + và ( ) 3 4045 ln2 2 F − = + Tính F − ( ) 2 Ⓐ F − ( ) 2 không xác định Ⓑ F − ( ) 2 = 2 Ⓒ F − ( ) 2 = 2018 Ⓓ F − ( ) 2 = 2020 ✎ Lời giải:………

………

………

………

………

Câu 12: (THONGMATHS) Cho hàm số f x ( ) xác định trên \ 2   − thỏa mãn ( ) 3 1 2 x f x x −  = + , f ( ) 0 = và 1 ( ) 4 2 f − = Giá trị của biểu thức f ( ) 2 + f ( ) − 6 bằng Ⓐ 10 ln2 − Ⓑ 3 14ln2 − Ⓒ 3 14ln2 + Ⓓ 10 ln2 + ✎ Lời giải:………

………

………

………

………

Câu 13: (THONGMATHS) Cho hàm số ( ) f x xác định trên \ 1 2       thỏa mãn ( ) 2 , ( ) 0 1, ( ) 1 2 2 1 f x f f x  = = = − Giá trị của biểu thức f ( ) − + 1 f ( ) 3 bằng Ⓐ 4 ln15 + Ⓑ 2 ln15 + Ⓒ 3 ln15 + Ⓓ ln15 ✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

Câu 14: (THONGMATHS) Biết 3 22 1 d ln ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6 11 6 m n p x x x x x C x x x + = − − − + − + −  Tính 4 m n ( + + p ) Ⓐ 5 Ⓑ 0 Ⓒ 2 Ⓓ 4 ✎ Lời giải: ………

………

………

………

………

Câu 15: (THONGMATHS) Cho hàm số f x ( ) xác định trên \ 1;1  −  thỏa mãn ( ) 2

1 '

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên Đề 2: các phương pháp tìm nguyên hàm

=  tan

( 2)3

1

dx I

= +

sin tan cos

= +

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -BÀI TẬP RL PP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN– TỪNG PHẦN – TM1

Phương pháp: Nguyên hàm đổi biến

Lớp toán thầy Thông Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ

THẬT -BÀI TẬP RL PP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN– TỪNG PHẦN – TM2

Câu 1: (THONGMATHS) Cho  f x x F x ( ) d = ( ) + C Khi  f ( 3 2 − x x ) d bằng

Câu 6: (THONGMATHS) Nguyên hàm của hàm số

( 2)3

1

dx I

x

= +

+