Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH... Chú ý: Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân v ud dễ tính

Trang 1

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1

▲_DẠNG 1 ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1

A VÍ DỤ MINH HỌA: 2

B BÀI TẬP ÁP DỤNG: 2

▲_DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 5

▲_DẠNG 3 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 8

BÀI 2 - TÍCH PHÂN 13

▲_DẠNG 1 TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT 13

▲_DẠNG 2 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 15

1 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 15

2 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 18

▲_DẠNG 3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 21

1 Dạng 1 ( ) sin cos d              ax ax f x ax x e 21

2 Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)   23

3 Dạng 3: sin       ax ax e dx cosax   26

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 29

▲_DẠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 29

▲_DẠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 33

Trang 3

A VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) 1

=+



x và F( )1 =1 Khi đó giá trị của F( )5 bằng

Lời giải Chọn D

Trang 5

Câu 11 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=sinx+cosx thoả mãn 2

A F x( )=cosx−sinx+3 B F x( )= −cosx+sinx+3

C F x( )= −cosx+sinx−1 D F x( )= −cosx+sinx+1

Câu 12 Tìm nguyên hàm cos 22 2 d

A F x( )= −cosx−sinx C+ B F x( )=cosx+sinx C+

C F x( )=cotx−tanx C+ D F x( )= −cotx−tanx C+

Câu 13 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( )=4 2x+2

Trang 6

▲_DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Trang 7

2d1

−+

Trang 8

x I

Trang 9

A  f x( )dx=ln 3sinx−2 cosx +C B  f x( )dx= −ln 3cos( x+2 sinx)+C

C  f x( )dx=ln 3cosx+2 sinx +C D  f x( )dx= −ln 3cos− x+2 sinx +C

Câu 39 Khi tính nguyên hàm 3 d

1

−+

x x

e

C

1ln

2

−++

x x

Để tính nguyên hàm  f x( )dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x( )dx=u vd (chú ý dv=v x'( )dx)

Sau đó tính v=dv và du=u'.dx

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính v ud

Chú ý: Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân v ud dễ tính hơn u vd

Trang 10

Nguyên tắc chung để đặt u và dv : Tìm được v dễ dàng và v du tính được

Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)

1d

Trang 11

d1e2

Câu 41 Nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx là

A – cosx x+sinx C + B xsinx+cosx C + C xcosx+sinx C + D xcosx−sinx C +

Câu 42 Kết quả của I =xe x xd là

Trang 12

Câu 47 Cho hàm số y=xsin 2 dx x Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Trang 13

Câu 60 Tìm nguyên hàm sin x xd

A sin x xd = −2 cos x+2 sin x+C B sin x xd = −cos x+C

C sin x xd =cos x+C D sin d 1 cos

2

Trang 14

Ta có

0 1 1

Trang 15

3 d+

=+

Trang 17

Để tính tích phân: =b ( )d

a

I g x x ta thực hiện các bước:

 Bước 1 Biến đổi để chọn phép đặt t=u x( )dt=u x x( )d

 Bước 2 Thực hiện phép đổi cận:

I f t t đơn giản và dễ tính hơn

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Lời giải Chọn C

Trang 18

2 2 1

Trang 19

Câu 7 Tính tích phân 4 6

2 0

d3+

x

1ln2

d1

1d

2 t t C

2 2 0

d

2

1d

2

1 d

2 1

2

1 d

2 1

Trang 20

=+

Đặt x=tan ,t ta có ( 2 )

dx= +1 tan t dt Đổi cận:

d5

=+

I

x trở thành tích phân nào sau đây?

Trang 21

d16

=+

d25

=+

I x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất

Câu 19 Đổi biến số x=4sint của tích phân

8

2 0

 x x ta được:

A

4 2 0

2 3

5

d9



−  t

Trang 22

= x

A I =e2 B I = −e2 C I =e D I =3e2−2e

Lời giải Chọn A

−

Lời giải Chọn B

2

12

Trang 23

e

−

349

e

−

Trang 25

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG e

1

ln d

e e2

1 1

a b c

4

15

0 0

0

2

x x

Trang 26

Vậy a = , 3 b =36a+7b=39

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 11 Tính tích phân

1( 2) ln d

1 d

1 1

 x dx a b với ,a b là các số nguyên Khi đó, a b bằng+

Câu 16 Tích Phân

3 2 2

Trang 27

sincos



−

= e

Trang 28

0 0

0 sin 2

Trang 29



+

= e

Trang 30

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

PHƯƠNG PHÁP:

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn  a b; , trục hoành

và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định: =b ( ) d

a

S f x x

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên đoạn  a b; và

hai đường thẳng x=a, x=b được xác định: =b ( )− ( ) d

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g y( ), x=h y và hai đường thẳng ( ) y=c,

y f x

y 0 H

Trang 31

2

y = - 1

3 x+

4 3

y = x 2

1

4 1

A

e 2 1

lnd

= x

2 e

2 1

lnd

2 1

lnd

Trang 32

2 1

Trang 33

3 2 1

Trang 34

Câu 15 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

1 Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền ( )D giới hạn bởi y= f x( ); y=0và x=a x, =b

khi quay quanh trục Ox

* Phương pháp giải: Áp dụng công thức: 2

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

Trang 35

Câu 17 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường:y=sinx;Ox;x=0;x= Quay ( )H xung

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là

Câu 21 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=x2+3, y=0, x=0, x=2 Gọi V là thể tích

của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A 2( )

2 2 0

3

V x dx D 2( )

2 0

3

Câu 22 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường thẳng y=x2+2,y=0,x=1,x=2 Gọi V là thể tích

của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A 2( )

2 2 1

2 1

2 d

Câu 23 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a( b), xung quanh trục Ox

Trang 36

Câu 27 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,44 MB