Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tài liệu gồm 537 trang, tổng hợp kiến thức trọng tâm, các dạng toán và bài tập, câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, giúp học sinh rèn luyện khi học chương trình Giải tích 12 chương 3 và ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán. CHỦ ĐỀ 1 – NGUYÊN HÀM. A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Nguyên hàm và tính chất. 1.1 Nguyên hàm. 1.2 Tính chất. 2. Phương pháp tính nguyên hàm. 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số. 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần. 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản. 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP + Dạng toán 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm. + Dạng toán 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. + Dạng toán 1.3. Nguyên hàm từng phần. C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Mức độ nhận biết. Bảng đáp án. 2. Mức độ thông hiểu. Bảng đáp án. 3. Mức độ vận dụng thấp. Bảng đáp án. 4. Mức độ vận dụng cao. Bảng đáp án. CHỦ ĐỀ 2 – TÍCH PHÂN. A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Khái niệm tích phân. 1.1 Định nghĩa tích phân. 1.2 Tính chất của tích phân. 2. Phương pháp tính tích phân. 2.1 Phương pháp đổi biến số. 2.2 Phương pháp tích phân từng phần. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP + Dạng toán 2.4. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân. + Dạng toán 2.5. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ. + Dạng toán 2.6. Tính chất của tích phân. + Dạng toán 2.7. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Dạng toán 2.8. Phương pháp đổi biến số. + Dạng toán 2.9. Tích phân từng phần. C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Mức độ nhận biết. Bảng đáp án. 2. Mức độ thông hiểu. Bảng đáp án. 3. Mức độ vận dụng thấp. Bảng đáp án. 4. Mức độ vận dụng cao. Bảng đáp án. CHỦ ĐỀ 3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. 3. Tính thể tích khối tròn xoay. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP + Dạng toán 3.10. Diện tích hình phẳng. + Dạng toán 3.11. Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí. + Dạng toán 3.12. Thể tích của vật thể. + Dạng toán 3.13. Tính thể tích của vật thể tròn xoay. C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Mức độ nhận biết. Bảng đáp án. 2. Mức độ thông hiểu. Bảng đáp án. 3. Mức độ vận dụng thấp. Bảng đáp án. 4. Mức độ vận dụng cao. Bảng đáp án.

Trang 1

I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .2

1 Nguyên hàm và tính chất 2

1.1 Nguyên hàm 2

1.2 Tính chất 2

2 Phương pháp tính nguyên hàm 3

2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 3

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 3

2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản 3

2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng 4

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP .5

| Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm .5

| Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số .62

| Dạng 1.3: Nguyên hàm từng phần .100

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .116

1 Mức độ nhận biết 116

Bảng đáp án .133

2 Mức độ thông hiểu 134

3 Mức độ vận dụng thấp 151

4 Mức độ vận dụng cao 165

§2 – TÍCH PHÂN 171 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .171

1 Khái niệm tích phân 171

1.1 Định nghĩa tích phân 171

Trang 2

1.2 Tính chất của tích phân 171

2 Phương pháp tính tích phân 171

2.1 Phương pháp đổi biến số 171

2.2 Phương pháp tích phân từng phần 172

B CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP .172

| Dạng 2.4: Tích phân cơ bản và tính chất tính phân .172

| Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ .184

| Dạng 2.6: Tính chất của tích phân .190

| Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a | f (x) | dx .220

| Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số .224

| Dạng 2.9: Tích phân từng phần .303

§3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 445 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .445

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 446

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 448

3 Tính thể tích khối tròn xoay 450

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP .452

| Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng .452

| Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí .462

| Dạng 3.12: Thể tích của vật thể .470

| Dạng 3.13: Tính thể tích của vật thể tròn xoay .474

ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa

Trang 3

Trang 5

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3

NGUYÊN HÀM 1

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm

c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên K Hàm số F (x) được gọi là nguyên

hàm của hàm số f (x) trên K nếu F0(x) = f (x) với mọi x ∈ K.

d Định lí 1.1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K.

d Định lí 1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.

d Định lí 1.3. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Trang 8

a + x

a − x

x a

thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che).

Nhận xét Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.

Ví dụ 1

Trang 10

.

k) f (x) = (x2+ 1)3 | Lời giải.

Ví dụ 2 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3− 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 | Lời giải Ta có F (x) = Z f (x)dx = Z 4x3− 4x + 5 dx = x4− 2x2+ 5x + C Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1 Suy ra F (x) = x4− 2x2+ 5x − 1. Bài 2 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦) = k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = −x3+ 3x2− 2x thỏa mãn F (1) = 0 | Lời giải.

b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x3− 2x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3. | Lời giải.

c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1 Tính F (−3) | Lời giải.

d) Hàm số f (x) = x3+ 3x2+ 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14 Tính F (−2) | Lời giải.

Trang 11

.

e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 | Lời giải.

f) Hàm số f (x) = (2x + 1)3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F Å 1 2 ã = 4 Tính F Å 3 2 ã | Lời giải.

g) Hàm số f (x) = (1 − 2x)5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F Å − 1 2 ã = 2 3 Tính F (1) | Lời giải.

h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F (0) = 1 3 Tính giá trị của biểu thức P = log2[3F (1) − 2F (2)] | Lời giải.

i) Gọi F1(x) là một nguyên hàm của hàm số f1(x) = x(x + 2)2 thỏa F1(0) = 1 và F2(x) là một nguyên hàm của hàm số f2(x) = x3 + 4x2+ 5 thỏa F2(0) = −2 Tìm nghiệm của phương trình F1(x) = F2(x) | Lời giải.

Trang 12

.

j) Gọi F1(x) là một nguyên hàm của hàm số f1(x) = (x + 1)(x + 2) thỏa F1(0) = 0 và F2(x) là một nguyên hàm của hàm số f2(x) = x2+ x − 2 thỏa F2(0) = 0 Biết phương trình F1(x) = F2(x) có hai nghiệm là x1, x2 Tính 2x1 + 2x2 | Lời giải.

Ví dụ 3 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3− 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3. | Lời giải Ta có F (x) = Z f (x)dx = Z 4x3− 4x + 5 dx = x4− 2x2+ 5x + C Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1 Suy ra F (x) = x4− 2x2+ 5x − 1. Bài 3 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦) = k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = −x3+ 3x2− 2x thỏa mãn F (1) = 0 | Lời giải.

Trang 13

b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x3− 2x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3

| Lời giải.

c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1 Tính F (−3) | Lời giải.

d) Hàm số f (x) = x3+ 3x2+ 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14 Tính F (−2) | Lời giải.

e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 | Lời giải.

f) Hàm số f (x) = (2x + 1)3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F Å 1 2 ã = 4 Tính F Å 3 2 ã | Lời giải.

g) Hàm số f (x) = (1 − 2x)5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F Å − 1 2 ã = 2 3 Tính F (1) | Lời giải.

Trang 14

.

h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F (0) = 1 3 Tính giá trị của biểu thức P = log2[3F (1) − 2F (2)] | Lời giải.

i) Gọi F1(x) là một nguyên hàm của hàm số f1(x) = x(x + 2)2 thỏa F1(0) = 1 và F2(x) là một nguyên hàm của hàm số f2(x) = x3 + 4x2+ 5 thỏa F2(0) = −2 Tìm nghiệm của phương trình F1(x) = F2(x) | Lời giải.

j) Gọi F1(x) là một nguyên hàm của hàm số f1(x) = (x + 1)(x + 2) thỏa F1(0) = 0 và F2(x) là một nguyên hàm của hàm số f2(x) = x2+ x − 2 thỏa F2(0) = 0 Biết phương trình F1(x) = F2(x) có hai nghiệm là x1, x2 Tính 2x1 + 2x2 | Lời giải.

Trang 15

.

2x − 1

| Lời giải.

3 − 4x

Trang 16

| Lời giải.

g) f (x) = 5 3x + 1 | Lời giải.

h) f (x) = 3 2 − 4x | Lời giải.

i) f (x) = 2 5 − 2x + 2 x + 3 x2 | Lời giải.

j) f (x) = 4 2x + 1 + 5 x − 2 x2 | Lời giải.

k) f (x) = 12 (x − 1)2 + 2 2x − 3 | Lời giải.

l) f (x) = 6 (3x − 1)2 − 9 3x − 1 | Lời giải.

Trang 17

(2x − 1)3

| Lời giải.

Bài 6 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦) = k.

√ 3

| Lời giải.

Trang 18

| Lời giải.

e) cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f0(x) = 1 2x − 1 và f (1) = 1 Tính f (5) | Lời giải.

f) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f0(x) = 2 2x − 1 , f (0) = 1 và f (1) = 2 Giá trị của biểu thức P = f (−1) + f (3) | Lời giải.

g) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f0(x) = 2 x − 1 , f (0) = 3 và f (2) = 4 Giá trị của biểu thức P = f (−2) + f (5) | Lời giải.

Trang 19

.

h) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f0(x) = 6 3x − 1 , f (−2) = 2 và f (1) = 1 Giá trị của biểu thức P = f (−1) + f (4) | Lời giải.

Ví dụ 6 d Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa f (x) = √n ax + b. | Lời giải Đặt t = √n ax + b ⇒ tn= ax + b ⇒ n · tn−1dt = a · dx Suy ra F (x) = Z n · tn−1· t a dt = n (n + 1)a · tn+1+ C = n (n + 1)a · (ax + b) √n ax + b + C. Nhận xét. Z n √ ax + b dx = n (n + 1)a · (ax + b) √n ax + b + C • Với n = 2, suy ra F (x) = Z √ ax + b dx = 2 3a (ax + b) √ ax + b + C • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 3 √ ax + b dx = 3 4a (ax + b) 3 √ ax + b + C. Bài 7 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0) = k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ x thỏa mãn F (4) = 19 3 . | Lời giải.

Trang 20

.

b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 2x − 1 thỏa mãn F (1) = 4 3 . | Lời giải.

c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 4x − 5 thỏa mãn F Å 9 4 ã = 2 | Lời giải.

d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 5 − 2x thỏa mãn F Å 1 2 ã = − 7 3 . | Lời giải.

e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 1 − x thỏa mãn F (−3) = 5 3 . | Lời giải.

f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √3 2x − 4 thỏa mãn F (−2) = 1 4 . | Lời giải.

Trang 21

.

g) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = √3 x − 2 thỏa mãn F (3) = 7 4 Tính giá trị biểu thức T = 2log13[F (10)] + 3log13[F (−6)] . | Lời giải.

h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √3 3 − 5x thỏa mãn F (−1) = − 8 5 . | Lời giải.

i) Cho f (x) = √n 1 ax + b . | Lời giải.

Nhận xét. Z 1 n √ ax + b dx = n (n − 1)a · √nax + b ax + b + C • Với n = 2, suy ra F (x) = Z 1 √ ax + b dx = 2 a · √ ax + b + C • Với n = 3, suy ra F (x) = Z 1 3 √ ax + b dx = 3 2a · p3 (ax + b)2+ C j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 2 4x − 1 thỏa mãn F (3) = 3 √ 11 | Lời giải.

Trang 22

k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 1

√ 5.

| Lời giải.

Trang 23

| Lời giải.

Trang 24

| Lời giải.

Trang 25

| Lời giải.

Trang 26

.

Bài 9 Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0) = k

4

= 0.

| Lời giải.

b) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 3 cos x và F

Trang 27

| Lời giải.

Trang 28

| Lời giải.

4

= 0.

| Lời giải.

Trang 29

2

ã

= 1.

| Lời giải.

Trang 30

.

d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x(2 + cos x) thỏa mãn điều kiện 4F (0) = 11.

| Lời giải.

e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos

6

thỏa mãn điều kiện

f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 6x − cos 4x thỏa mãn điều kiện

12 .

| Lời giải.

Trang 31

.

| Lời giải.

Trang 32

của hai hàm số F (x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung Tìm hàm số

F (x).

| Lời giải.

Trang 33

y = F (x) đi qua điểm

| Lời giải.

Trang 34

Ví dụ 11

Trang 35

8 .

| Lời giải.

Trang 36

.

b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 4x cos x thỏa mãn F (π) = 4.

| Lời giải.

Trang 37

c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 5x cos x thỏa mãn F

Trang 38

Trang 39

.

Trang 40

ln3[3F (1)].

| Lời giải.

Trang 41

.

| Lời giải.

ln 6 + 2.

| Lời giải.

Trang 42

ln 84 ·

| Lời giải.

9 ·

| Lời giải.

Trang 43

Trang 44

x − a

x + a

...

thành tích số, sử dụng đồng thức đưa dạng tổng phân số (PP che).

Nhận xét Nếu mẫu khơng phân tích thành tích tìm hiểu phần đổi biến.... 2x2+ 5x − 1. Bài Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦) = k a) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = −x3+... có nguyên hàm F (x) thỏa F Å − 1 ã = 2 Tính F (1) | Lời giải.

h) Gọi F (x) nguyên

Định dạng
Số trang	537
Dung lượng	3,41 MB