Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp với C là hằng số tùy ý  Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn...  Nếu mẫu không phân tích được th

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM

 Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn

 Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ

 Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: 2 1 1 2 1 1

 Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 3 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x x3 là

Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x cosx6x là

A sinx3x2C B sinx3x2C C sinx6x2C D sin x C 

Câu 14 (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2 sinx

A 2 sinxdx 2 cosx C  B 2 sinxdx2 cosx C 

C 2 sinxdxsin2x C  D 2 sinxdxsin 2x C 

Câu 15 (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số   3

Trang 3

Câu 20 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x

A cos 3xdx3 sin 3x C  B cos 3 sin 3 

Trang 4

Câu 28 (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) e là hàm số nào sau đây? 3x



2

x C

C C x

    

C

33

ln ,

3 ln 3

x x

x C C

33

ln ,

3 ln 3

x x

x C C

Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 3x

A  3cos3x C  B 3cos3x C  C 1cos3

A x3cosxC B 6xcosx C C x3cosxC D 6xcosx C

Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?

x x x C

e e

1

de

x C

1d

2

x x

Trang 5

Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

x

2cos x+C2

x



Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:

Câu 42 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f x x4x2 là

Trang 6

A  

3

1d

e x

F x  C B

3

( )3

;2

x x

C

 

Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  1 sinx

A 1 cos x C  B 1 cos x C  C xcosxC D xcosxC

Câu 55 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 3 2 2 2019

3x  x  x là

A x  x  x C

23

212

;3

Trang 7

Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số   x2

F x e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số

sau:

A f x( )2xe x2 B f x( )x e2 x21 C f x( )e2x D

2

( )2

x e



ln 3

x C

ln ,

3 ln 3

x x

x C C R

33

3 ln 3

x x

C C R x

Trang 8

Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 2

Trang 9

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

 Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 1

NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

Trang 10

1100

Trang 11

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số  2  x

f x x e Tìm một nguyên hàm F x  của hàm số f x  thỏa mãn F 0 2019.

A F x  cosxsinx 3 B F x  cosxsinx 1

C F x  cosxsinx 1 D F x cosxsinx 3

Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn   f x'  3 5 sinx và f 0 10. Mệnh đề nào dưới

Trang 12

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm If x dx  , trong đó ta có thể phân tích

      ' 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x 

 '

b

PP a

x

x t

2 Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) hoặc đề cho f(x), yêu cầu tính f x( )

 Phương pháp: Đặt t ( x)

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,

mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là ( )d ( )d ( )d

Trang 13

x x C. D 1 2 2

e 42

x e

C x

x e

C x

Trang 14

Câu 27 Biết  

2017 2019

11

b

a x x

1 22

2017 2018

1 22

3

x x

Trang 15





 , bằng cách đặt 1

Trang 16

Câu 43 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số

sin( )

2

1

ee

Trang 17

P x

Q x

 Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức

 Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2

Trang 18

20192020

Trang 19

Câu 64 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f x  xác định trên R\1;1 thỏa mãn

Bước 2: Thay vào công thức   và tính vdu

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn

Trang 20

x

x u

x

x u

   1   

g x  x f x là

A

2 2

C x

x

C x

22

x x

C x

g x  x f x

A

2 2

2 1

C x

x

C x

1

x x

C x

x

C x

x

C x

2 4

C x

4

x x

C x

A sin 2xcos 2xC. B 2 sin 2xcos 2xC.

C 2 sin 2xcos 2xC. D 2 sin 2xcos 2xC.

Trang 21

A F x xcosxsinx C B F x xcosxsinx C

C F x  xcosxsinx C D F x  xcosxsinx C

x

2sin cos2

ln3

Trang 22

C xcotxln sinx C. D xcotxln s in xC.

Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x cosx là

x

x  x C. B 1 5  

1 e5

x

x  x C.

C 1 5

e5

xe x x x e x e x C

C xe x xd xe xe xC D

2d2

21

Trang 23

Trang 24

Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x là một nguyên hàm của hàm  

số f x lnx1. Cho biết g 2  và 1 g 3 alnb trong đó ,a b là các số nguyên dương

Trang 25

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)

Dạng 1 Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Dạng 4 Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( )

(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Trang 26

Câu 2 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  đồng biến và có đạo hàm

liên tục trên  thỏa mãn f x 2  f x e  , x    và x f 0  Khi đó 2 f 2 thuộc khoảng nào sau đây?

Trang 27

Câu 9 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên 0;  

4

 C 20 5 1

2

 D 40 5 1

4



Câu 12 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

Câu 15 (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x  liên tục và có đạo hàm trên 0;

49

Trang 28

Câu 17 Cho hàm số f x thỏa mãn   f 1 2 và  2 2     2 2 

2

e26

Câu 24 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x  liên tục trên \ 0; 1 thỏa mãn điều

kiện f 1  2 ln 2 và x x 1  f x  f x x2 Giá trị x f  2 a b ln 3, vớia b  , Tính

Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và

thỏa mãn f 1 1, f x  f x 3x1, với mọi x 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2 f  5  3 B 1 f 5 2 C 4 f 5  5 D 3 f 5  4

Trang 29

Câu 26 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn điều kiện   0

b là phân số tối giản

Mệnh đề nào sau đây đúng?

6481

Câu 28 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0; 2 và

thỏa mãn f x 2 f x f   x f x 20 Biết f  0  ,1 f 2 e6 Khi đó f 1 bằng

A

3 2

5 2

e D e2 Câu 29 Cho hàm số y f x  liên tục trên  thỏa mãn f x 2 x f x ex2,    và x f 0  0

215

f  C 2  324

215

f  D 2  323

215

Câu 33 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn

điều kiện x6f x 327f x 14 0 , x  và f 1 0 Giá trị của f 2 bằng

Trang 30

Câu 35 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1;   và thỏa mãn

2914;

Dạng 2 Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu 1 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   2 3 

Trang 31

Câu 3 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số

Trang 32

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH

 Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng

K nếu

A F x'( ) f x( ), x K B f x'( )F x( ), x K

C F x'( ) f x( ), x K D f x'( ) F x( ), x K

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa thì hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K

nếuF x'( ) f x( ), x K

NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

Trang 33

d4

x

x x C



Trang 34

Lời giải Chọn D

2x6 dxx 6x C



Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x cosx6x là

A sinx3x2C B sinx3x2C C sinx6x2C D sin x C

Lời giải Chọn A

f x x x x x x x C

Câu 14 (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2 sinx

A 2 sinxdx 2 cosx C  B 2 sinxdx2 cosx C 

C 2 sinxdxsin2x C  D 2 sinxdxsin 2x C 

Câu 15 (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số   3

f x x x là

Trang 35

1 21

21

Ta có

3 2

2

d3

Trang 36

Câu 20 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x

A cos 3xdx3 sin 3x C  B cos 3 sin 3 

Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số   x

Câu 23 (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x là 5

A x2C B x25x C C 2x25x C D 2x2C

Lời giải Chọn B

Trang 37



2

x C

C C x

    

C

33

ln ,

3 ln 3

x x

x C C

33

ln ,

3 ln 3

x x

x C C

Lời giải

Trang 38

Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 3x

A  3cos3x C  B 3cos3x C  C 1cos3

x x x C

e e

1

de

x C

1d

2

x x

Trang 39

Do theo bảng nguyên hàm:

l a

dn

x

2cos x+C2

x



Theo bảng nguyên hàm cơ bản

Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:

Trang 40

f x x x C

Câu 49 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  

4 2

Trang 41

Câu 50 (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số ye x?

e x

F x  C B

3

( )3

;2

Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  1 sinx

A 1 cos x C  B 1 cos x C  C xcosxC D xcosxC

212

Trang 42

;3

2 d

ln 2

x x

x C

Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

4 2

Trang 43

23

Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số   x2

F x e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số

sau:

A f x( )2xe x2 B f x( )x e2 x2 1 C f x( )e2x D

2

( )2

x e

f x

x





ln 3

x C





x



Lời giải

Trang 44

Ta có:

2020 2019

C C R x

Trang 45

Trang 46

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

 Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 1

Trang 47

Câu 2 (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của   1

Trang 48

Câu 5 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số y 1

x

 trên ;0 thỏa mãn F  2 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

2

x

 . Vậy   ln  ;0

Ta có

F x  e x2xdx e xx2C Theo bài ra ta có:  0  1  3  1

Trang 49

Câu 8 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số     2 x

1100

2e 

Ta có 2 1 2

d2

e x

f x   x C. Theo bài ra ta có: f 0 2 1 C2C1.

Trang 50

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra  

A F x  cosxsinx 3 B F x  cosxsinx 1

C F x  cosxsinx 1 D F x cosxsinx 3

Có F x  f x dx sinxcosxdx cosxsinxC

Ta có f x  3 5 sinx dx3x5 cosx C 

Theo giả thiết f 0 10 nên 5C10C5.

Vậy f x 3x5 cosx5.

Trang 51

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn   f x  2 5sinx và f  0 10. Mệnh đề

Trang 52

Câu 18 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số   2x

Ta có:   2 d 2

ln 2

x x

F x  x C. Theo giả thiết  

x

x t

2 Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) hoặc đề cho f( x), yêu cầu tính f x( )

 Phương pháp: Đặt t ( x)

Trang 53

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,

mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là ( )d ( )d ( )d

2

t

t x t x x

Trang 54

Trang 55

3 1

x e

C x

x e

C x

x x x

Trang 56

Câu 27 Biết  

2017 2019

11

b

a x x

1 22

2017 2018

1 22

Trang 57

3

x x

Trang 58

1 1

2

1 1 2

2 x C

  Phương án B:   1

Trang 59

Câu 37 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm 3 d

1

x x x





 , bằng cách đặt 1

Đặt u x1xu2 1 dx2 du u.

Khi đó 3 dx

1

x x

Trang 60

Câu 40 (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng 3;

Trang 61

13

Trang 62

t C

 

4sin4

x C

 0

F 

4sin

x

4sin2

2

1

ee

F F

  bằng

A 3ln 2 2 B ln 2 2 C ln 2 1 D 2ln 2 1

A x0 B x1 C x 1 D x  1 3

Trang 63

Ta có:   2 12 2 1 2 12

x x

Trang 64

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó:

P x

Q x

 Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức

 Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2

Định dạng
Số trang	521
Dung lượng	18,01 MB