ĐỀ CƯƠNG ôn tập HK II

Giới hạn *Phương pháp tìm giới hạn dạng ∞ ∞: Ta chia cả tử và mẫu cho n với lũy thừa lớn nhất của nó.Sau đó áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt để tìm.. * Phương pháp tìm giới hạn dạ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC : 2018 - 2019

A PHẦN GIẢI TÍCH

I Giới hạn

*Phương pháp tìm giới hạn dạng

∞

∞:

Ta chia cả tử và mẫu cho n với lũy

thừa lớn nhất của nó.Sau đó áp

dụng các công thức giới hạn đặc

biệt để tìm

* Phương pháp tìm giới hạn dạng

∞ − ∞

Ta nhân cả tử và mẫu cho biểu thức

liên hợp

2

( A B− )( A B− )= −A B

2

(A− B A)( + B)=A −B

( A− B)( A+ B)= −A B

*Phương pháp tìm ( )

( )

→

x a

f x

g x

dạng0

0.

TH1 : Nếu f(x) , g(x) là các hàm

đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho

(x-a).chia cho đến khi nào không

còn dạng 0

0 nữa thì thế số vào để

tính.

TH2:Nếu f(x) , g(x) là các biểu

thức chứa căn thì nhân tử và mẫu

cho các biểu thức liên hợp

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại x x= 0:Có 2 TH

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x

≠



 Tính f x = ? và ( )0

0

lim ( )

x x f x

 Nếu

lim ( ) ( )

x x f x f x

→ = thì ( )f x liên tục.

 Nếu

lim ( ) ( )

x x f x f x

→ ≠ thì ( )f x không liên tục.

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x

≥



 Tính f x = ? ; ( )0

0

lim ( ) ?

x x f x

+

→ = và

0

lim ( ) ?

x x f x

−

 Nếu

0

lim ( ) lim ( ) ( )

x x f x x x f x f x

→ = → = thì ( )f x liên tục  Nếu

lim ( ) lim ( )

x x f x x x f x

→ ≠ → thì ( )f x không liên tục

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số liên tục

Các bước làm cũng giống như xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.Sau đó dùng điều kiện để hàm số liên tục

 f x liên tục tại ( )

0

0 lim ( ) ( )0

x x

→

 ( )f x liên tục tại

0 lim ( ) lim ( ) ( )0

x x x x

x + f x − f x f x

* Phương pháp Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

 Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

 Chứng tỏ f(a).f(b)<0

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và

b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm

Bài 1 :Tính các giới hạn sau:

1)

3

3

lim

2 5

2 6

2 3 11 lim

n n

− − + − 3) lim

9

( 1) (2 3) (3 4)

n

lim

5 1

n

+ 5)

8 (3 5)

lim

( 8) (2 6 )

n n

+

6)

2

lim

n n

+ −

3 3

2 9 lim

2 2

4 1 2 1 lim

4 1

9)lim4 1 6 2

5 8

n n

+ + +

+

10)

2

lim

+ +

11)

lim

12)

4 4 2

2

lim

9 1 5 3

Bài 2 :Tính các giới hạn sau:

1)

4

4 5

lim 2

+ +

−

x x

2 2 1

2 3 lim

x

x x

→

− − 3)lim1

>

x

2 3

1

2

2

+

−

−

x x

x

4)

4

2

16 lim

2

x

x

→−

− + 5)lim2 2

7 3

x

x x

→

−

4x 1 3 lim

x 4

→

+ −

x 5 2x 1 lim

x 4

→

x 1 x 4 3 lim

x

→

9)

3

6 27

lim

x

→−

− −

+ + + 10) 2 3 2

5 2 1 lim

x

x x

x x x

→ −

− + −

4 1 3 lim

2 6

x

x x

→

+ −

12 5 7 lim

16

x

x

→

− +

13) 2

2

7 14 1

lim

4

→

+ − + +

−

x

2 1

lim (1 )

x

x

→

− +

3

lim

x

→

0

( 3) 27 lim

x

x x

−

→

2

lim

1 1

x

− −

3 2

lim

6

x

5 1

1 lim

1

x

x x

→

−

5x x

x 3

lim

→

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

1)

3

2 1

lim

3

x

x

x

−

→

−

2

+

− +

x x

2

3 5 lim

−

+

−

x x

3

lim

x

x x

−>

+ −

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

1)

1

2

3

lim

−

+

−

−∞

x

3

lim

1

x

x x

→+∞

5 lim

2

−

+

−

−∞

x x

3 1

x

x

→−∞

− 5) lim ( x2 2x 3 x)

∞

+

∞ +

x 7) lim ( 2 + − 1 − 2 − − 1 )

∞

−

x

8)

2

2

8 6

lim

4 5 3 1

x

→ +∞

+ +

+

lim

x

x x

10)

→+∞

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

1)xlim (→−∞ − + − +x3 x2 x 1) 2) lim ( 4 −2 2 −3)

∞

−

) 3 2

2 ( lim − 3 − 2 + −

+∞

x

4)

2

lim 3 5 4

5)

→+∞

2

lim 16 5 3 7

6)

→+∞

7)lim 3( 10 5 6 2 4 3 2)

Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a)

2 4

2

x



= +



tại x0 =2 b)









−

−

=

2

2

1

1 )

(

x x

x x

1 ,

1 ,

≥

<

x

x

tại x0 =1

Bài 6: a) Cho hàm số

2x x

khi 2a khi

x 2

x 2 f(x)

x 1

≠ −

=  +

 +



Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = - 2

b) Cho hàm số x +x khi

khi





f(x)

ax 1 x 1

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1

Bài 7: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

a) 2x3−10x− =7 0 b) 2x3 −6x+ =1 0

II Đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp

( )C =0′ (C lµ h»ng sè)

( ) x ′=1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) (ku)’=k.u’ (k lµ h»ng sè )

( ) xn ′=n.xn-1 (n∈N, n≥2) ( )u n ′=n.un-1 'u

2

′

  = −

 ÷

 

(x≠0)  ′

= −

 ÷

  2

1 u'

u u (u 0)≠

′ )

( x =

x

2

u

2 u (u 0)>

( )

/ /

2

2

sin cos

cos sin

1

1 tan cos

1

sin

x

x

=

= −

/ / 2 / /

2

sin cos cos sin tan

cos cot

sin

u u

u u u

u

=

= −

=

= −

 PP viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y= f x( ) tại điểm M x y( ; )0 0

Sử dụng CT : y y− 0 = f x'( )(0 x x− 0)

 Nếu tiếp tuyến song song với đt : y ax b= + thì ta có : f x'( )0 =a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đt : y ax b= + thì ta có : f x a'( ).0 = −1

Từ đó tính được các giá trị x và 0 y Sau đó thay vào công thức 0 y y− 0 = f x'( )(0 x x− 0)

Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) y=x3 −2x+1 2)y=2x4 −2x2 +3x 3)

) 3 5 )(

(x2 x x2

y

5) y=x(2x−1)(3x+2) 6) y=(x+1)(x+2)2(x+3)3 7) y=(x2 +5)3 8) y = (1- 2t)10

9) y = (x3 +3x-2)20 10) y (x= 7+x)2 11) y = x 2 − 3x 2 + 12) y= x4 +6x2 +7 13)

2

3

2

−

−

=

x

x

4 2

5 6

2 2

+

+

−

=

x

x x

1

2

2 −

=

x

x

) 1 (

3 + +

=

x x y

2

17

2 3

− +

=

−

y

x 18) y = 23 2

2

x

x x

+ 19) y= x 1 x+ 2 20) y= x−1+ x+2

x

y=3 −6 22)

4 3 2

6 5 4 3

x x x x

4 3

2

2

+ +

+

−

=

x x

x x









x x y

25) 1 x

y

1 x

+

=

−

26) y=x x 27) y 1

x x

= 28)y=(x+1) x2 +x+1

29) 2 2

2

a x

x

y

+

= , ( a là hằng số) 30) y = 3x2 −ax+2a , ( a là hằng số)

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) y = sin2x – cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x + 1) 3) y=2sin2x.cos3x 4) y=sin 2x+1

5) y= sin2x 6) y=sin2 x+cos3 x 7) y=(1+cotx)2 8) y=cosx.sin2 x

9) y= sin(sinx) 10)y = cos( x3 + x -2) 11)y sin (cos3x)= 2 12) y = x.cotx

13) 1 sin

2 sin

x

y

x

+

=

3

y cot (2x )

4

π

= + 15) y tanx 1

2

+

= 16) y sinx x

x sinx

= +

17)y= 1 2tanx+ 18)y= 2 tan x+ 2 19)

x x

x x

y

cos sin

cos sin

−

+

2 sin4 x

y=

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:

1) y=x3 −2x+1 2)y=2x4 −2x2 +3 3)

2

3 2

−

−

=

x

x

4 2

5 6

2 2

+

+

−

=

x

x x y

5) y = sin2x – cos2x 6) y = x.cos2x 7) y= x 8) y=x 1 x+ 2

Bài 4: Tìm vi phân của của hàm số:

1)y=x4 −2x+1 2) y=(x3 +2)(x+1) 3)

4 2

5 6

2 2

+

+

−

=

x

x x

y 4) y=3sin2 x.sin3x

Bài 5:

a) Cho f(x)= 3x+1, tính f ’(1) b) Cho ( ) ( )6

f x = x 10+ Tính f '' 2 ( )

c) f x( ) = sin 3x Tính ; ( )0

f '' π f '' f '' π − ÷ ;  ÷

Bài 6: Cho hàm số: (C) y = x3 + 4x +1 Viết PT tiếp tuyến của (C ) biết :

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: y = - 1 5

16x−

Bài 7 : Cho hàm số : (C) 3 2

1

x y x

−

=

− Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết : a) Tại điểm có tung độ y0 = 5

2; b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -x + 2013;

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: y = 4x−5

d) Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc bằng 450

Bài 8: Chứng minh rằng của hàm số sau thoả mãn của hệ thức:

a) f(x)=x5 +x3 −2x−3 thoả mãn: f'(1)+ f'(−1)=−4f(0); b) x 3 2

y ; 2y' (y 1)y"

x 4

−

+

c) y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0

d) y = cot2x thoả mãn hệ thức: y’ + 2y2 + 2 = 0

Bài 9: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:

1) y=x3 −3x2 −9x+5 2) y=x4 −2x2 +5 3) y=x4 −4x3 +3 4)y=x 1 x− 2

5)

2

15 5

2

−

+

−

=

x

x

x

x x

4

2 +

=

x

x

2

1

− +

y

9) y=cos x +sin x + x 10) y= 3sinx−cosx+x 11)y=20cos3x+12cos5x−15cos4x

Bài 10: Giải của bất phương trình sau:

1) y’ > 0 với y x= 3−3x2+2 2) y’ < 4 với 2 3

2

1 3

1 3 + 2 − +

y

3) y’ ≥ 0 với

1

2

2

−

+ +

=

x

x x

y 4) y’>0 với y= x4 −2x2 5) y’≤ 0 với y= 2x−x2

Bài 11: Cho hàm số: ( 1) 3( 1) 2

3

2 3 − + 2 + + +

1) Tìm m để phương trình y’ = 0:

a) Có 2 nghiệm b) Có 2 nghiệm trái dấu

c) Có 2 nghiệm dương d) Có 2 nghiệm âm phân biệt

2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.

B PHẦN HÌNH HỌC

 PP chứng minh đtd⊥( )α ta cm: PP xác định góc giữa ( )α và ( )β ta có thể

làm theo các cách sau :

 Cách 1 : Tìm a, b sao cho

( ) , ( )

d a

d b

d

a b

a b

α α

⊥



 ⊥



 ∩



 PP chứng minh a b⊥ ta CM :

( )

( )

a

a b

b

α

α

⊥

 ⊂



 Để chứng minh ( ) ( )α ⊥ β ta CM

( ) ( ) ( )

( )

d

d

α

β

⊥

 ⊂



PP xác định góc giữa đường thẳng a và mp

( )α ta làm theo các bước sau:

 Tìm hoặc chứng minh 1 đt d nào đó và

( )

d ⊥ α

Từ đó xác định hình chiếu vuông góc của a

lên( )α là a’

Kết luận : ( )a·,( )α =( )a a·, '

( ), ( ) ( ( ) ( )· , ) ( )¶,

a⊥ α b⊥ β ⇒ α β = a b

 Cách 2 : Nếu ( ) ( )α ∩ β = ∆ thì tìm

O∈ ∆ Từ O, trong ( )α vẽ a⊥ ∆ tại O ; trong ( )β vẽ b⊥ ∆ tại O Suy ra

( ) ( )·

( α , β ) =( )a b¶, (đã trình bày ở câu d) )

 Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :

 Tìm ( ) ( )α ∩ β = ∆ ;

 Tìm ( )γ sao cho ( )γ ⊥ ∆ ;

 Tìm ( ) ( )γ ∩ α =a, ( ) ( )γ ∩ β =b; Kết luận : ( ( ) ( )·α , β ) =( )a b¶,

Bài 1 :Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC =2a, SA a= 2và SA⊥(ABC)

a CMR (SAB) ⊥ (SBC) b Tính góc giữa SC và mp ( ABC )

c Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC)

Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB ⊥ ( ABC ), biết AC = a 2 , BC =

a, SB = 3a

a Chứng minh: AC⊥(SBC) b Gọi BH là đường cao của tam giác SBC Chứng minh: SA ⊥ BH

c Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD

a Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD

Bài 4.Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với (ABC),

SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

a.Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b.Tính đường cao AK của tam giác AMC

c.Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d.Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥(ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b Chứng minh SC ⊥(AHK)

c Chứng minh HK ⊥(SAC)

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng 2a, Gọi O là tâm của hình vuông.

a Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b Gọi M là trung điểm của AB.Chứng minh AB ⊥(SOM)

c Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

d Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

Bài 7 :Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a

2 , Gọi M là trung điểm của AB và

O là tâm của đáy

a Tính SO b Chứng minh CD ⊥ SM

c Chứng minh (SBD) ⊥(ABCD) d Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

e Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SOM) và (SCD)

Bài 8: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b)Tính đường cao AK của tam giác AMC

c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

HẾT