ĐỀ CƯƠNG ôn tập HK II

Giới hạn *Phương pháp tìm giới hạn dạng � �: Ta chia cả tử và mẫu cho n với lũy thừa lớn nhất của nó.Sau đó áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt để tìm.. * Phương pháp tìm giới hạn dạ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC : 2018 - 2019

A PHẦN GIẢI TÍCH

I Giới hạn

*Phương pháp tìm giới hạn dạng

�

�:

Ta chia cả tử và mẫu cho n với lũy

thừa lớn nhất của nó.Sau đó áp

dụng các công thức giới hạn đặc

biệt để tìm

* Phương pháp tìm giới hạn dạng



� �

Ta nhân cả tử và mẫu cho biểu thức

liên hợp

2

( A B )( A B ) A B

2

(A B A)(  B)A B

( A B)( A B) A B

*Phương pháp tìm  

 

�

x a

f x

g x

dạng0

0.

TH1 : Nếu f(x) , g(x) là các hàm

đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho

(x-a).chia cho đến khi nào không

còn dạng 0

0 nữa thì thế số vào để

tính.

TH2:Nếu f(x) , g(x) là các biểu

thức chứa căn thì nhân tử và mẫu

cho các biểu thức liên hợp

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại x x :Có 2 TH.0

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x

�

�

� Tính f x = ? và ( )0

0

lim ( )

� = ?

 Nếu

�  thì ( )f x liên tục.

 Nếu

� � thì ( )f x không liên tục.

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x

�

�

� Tính f x = ? ; ( )0

0

lim ( ) ?

x x f x

0

lim ( ) ?

x x f x

 Nếu

0

 Nếu

x x f x x x f x

 Phương pháp tìm điều kiện để hàm số liên tục

Các bước làm cũng giống như xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.Sau đó dùng điều kiện để hàm số liên tục

 f x liên tục tại ( )

0

x x

�

۹

 ( )f x liên tục tại

�

* Phương pháp Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

 Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

 Chứng tỏ f(a).f(b)<0

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và

b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm

Bài 1 :Tính các giới hạn sau:

1)

3

3

lim

n n

n n

2 6

lim

n n

n n

 

9

n

2 2 3 2 4 lim

n

 5)

4 5 2

lim

n n



6)

2

5 2

lim

n n

n n

 

3 3

3 2

lim

n n

n n

2 2

lim

lim

n n



10)

2

lim

 

11)

lim

12)

2

lim

Bài 2 :Tính các giới hạn sau:

1)

4

4 5

lim

2







x x

2 2 1

lim

x

x x

x x

�





1

2

2







x x

x

4)

4

3 2 2

16 lim

2

x

x

x x



�



 5)lim2 2

7 3

x

x x

�



4x 1 3 lim

�

 

lim

x 4

�

lim

x

�

9)

4 2

3 2

3

6 27

lim

x

x x

x x x



�

lim

x

x x

x x x



�

  

4 1 3 lim

x

x x

�

 

lim

16

x

x

�

 

13) 2

2

lim

4

�



x

2 1

lim (1 )

x

x

�

3

lim

x

�

0

lim

x

x x



�

2

lim

1 1

x

 

3 2

lim

6

x

5

1

1 lim

1

x

x x

�



5x x

x 3

lim

�

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

1)

3

lim

3

x

x

x



�



2







x x

2

1 ( 1)

3 5 lim







 x

x x

3

lim

x

x x



 

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

1)

1

2

3

lim









 x

x

3

3 2

lim

1

x

x x

x x



� �

5 lim

2









x x

x

x



� �

 5) lim ( x2 2x 3 x)





 6) lim (2  4 2  3)









x

8)

2

2

lim

x

x x x



� �

 



2 1 lim

x

x x

10)



� �

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

1)xlim (� �    x3 x2 x 1) 2) lim ( 4  2 2  3)





) 3 2

2 (



x

4)

2



� �   5)



� �

2

6)



� �

7) lim 3 10 5 6 2 4 3 2



Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a)

2 4

2

x

khi x

f x x

khi x

�

 � 

�

tại x0 2 b)















2

2

1

1 )

(

x x

x x

1 ,

1 ,





x

x

tại x0 1

Bài 6: a) Cho hàm số

khi 2a khi

3 3 2 4

x 2 f(x)

x 1

� 

�

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = - 2

khi

�

�

f(x)

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1

Bài 7: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

a) 2x310x  b) 7 0 2x3 6x 1 0

II Đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp

=n.un-1 'u

2

�

� � 

� �

� �

 )

( x =

x

2

 �

u

2 u (u 0)

 

/ /

2

2

1

1 tan cos

1

sin

x

x



 

/ / / /

/ / 2 / /

2

tan

cos cot

sin

u u

u u u

u



 



 

 PP viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y f x( ) tại điểm M x y( ; )0 0

Sử dụng CT : y y 0  f x'( )(0 x x 0)

 Nếu tiếp tuyến song song với đt : y ax b  thì ta có : f x'( )0 a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đt : y ax b  thì ta có : f x a'( ).0  1

Từ đó tính được các giá trị x và 0 y Sau đó thay vào công thức 0 y y 0  f x'( )(0 x x 0)

Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) yx3  2x1 2)y2x4  2x2 3x 3)

) 3 5 )(

y  

4) y(t3 2)(t1)

5) yx(2x 1)(3x2) 6) y(x1)(x2)2(x3)3 7) y(x2 5)3 8) y = (1- 2t)10

9) y = (x3 +3x-2)20 10) y (x 7x)2 11) y  x 2  3x 2  12) y x4 6x2 7 13)

2

3

2







x

x

4 2

5 6

2 2









x

x x

1

2

2 



x

x

) 1 (

3







x x y

2

17





x x

y

2

x

x x

x

y3  6 22)

4 3 2

6 5 4 3

x x x x

3 2

4 3

2

2











x x

x x















x x y

y

1 x







26) y  x x

y

x x

2

a x

x

y



Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) y = sin2x – cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x + 1) 3) y2sin2x.cos3x 4) ysin 2x1 5) y sin2x 6) ysin2 xcos3 x 7) y(1cotx)2 8) ycosx.sin2 x

9) y= sin(sinx) 10)y = cos( x3 + x -2) 11)y sin (cos3x) 2 12) y = x.cotx

13) 1 sin

2 sin

x

y

x





3

4



2



x sinx

x x

x x

y

cos sin

cos sin





2 sin4 x

y 

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:

1) yx3  2x1 2)y2x4  2x2 3 3)

2

3 2







x

x

4 2

5 6

2 2









x

x x y

Bài 4: Tìm vi phân của của hàm số:

1)yx4  2x1 2) y(x3 2)(x1) 3)

4 2

5 6

2 2









x

x x

y 4) y3sin2 x.sin3x

Bài 5:

a) Cho f(x) 3x1, tính f ’(1) b) Cho    6

f x  x 10  Tính f '' 2    

f ''� � f '' f ''� �

  � �    � �

Bài 6: Cho hàm số: (C) y = x3 + 4x +1 Viết PT tiếp tuyến của (C ) biết :

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = - 1 5

16x

Bài 7 : Cho hàm số : (C) 3 2

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tại điểm có tung độ y0 = 5

2;

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -x + 2013;

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = 4x5

d) Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc bằng 450

Bài 8: Chứng minh rằng của hàm số sau thoả mãn của hệ thức:

a) f(x)x5 x3  2x 3 thoả mãn: f'(1) f'(1)4f(0); b) y x 3; 2y'2 (y 1)y"

x 4





c) y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0

d) y = cot2x thoả mãn hệ thức: y’ + 2y2 + 2 = 0

Bài 9: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:

1) yx3  3x2  9x5 2) yx4  2x2 5 3) yx4  4x3 3 4)yx 1 x 2

5)

2

15 5

2









x

x

x

x x

y  4 7)

4

2 



x

x

2

1





y

9) ycos x sin x  x 10) y 3sinx cosxx 11)y20cos3x12cos5x 15cos4x

Bài 10: Giải của bất phương trình sau:

2

1 3







y

3) y’ ≥ 0 với

1

2

2









x

x x

y 4) y’>0 với yx4  2x2 5) y’≤ 0 với y 2x x2

Bài 11: Cho hàm số: ( 1) 3( 1) 2

3











1) Tìm m để phương trình y’ = 0:

2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.

B PHẦN HÌNH HỌC

 PP chứng minh đtd( ) ta cm: PP xác định góc giữa   và   ta có thể

( )

d a

d b

d

a b

a b







�

� 

�

� �

�

 PP chứng minh a b ta CM :

( )

( )

a

a b

b







�



�

�

 Để chứng minh ( ) ( )   ta CM

( )

d

d







�



�

�

PP xác định góc giữa đường thẳng a và mp

  ta làm theo các bước sau:

 Tìm hoặc chứng minh 1 đt d nào đó và

( )

d  

Từ đó xác định hình chiếu vuông góc của a

lên  là a’

Kết luận :  a�,   a a�, '

làm theo các cách sau :

 Cách 1 : Tìm a, b sao cho

 ,       �,   �,

a  b  �    a b

 Cách 2 : Nếu     �   thì tìm

O� Từ O, trong    vẽ a   tại O ;

trong   vẽ b   tại O Suy ra

   �

  ,    a b�, (đã trình bày ở câu d) )

 Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :

 Tìm     �   ;

 Tìm   sao cho     ;

 Tìm     � a,     � b; Kết luận :     � ,    a b�,

Bài 1 :Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC =2a, SA a 2và SA(ABC)

c Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC)

Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB  ( ABC ), biết AC = a 2 , BC =

a, SB = 3a

a Chứng minh: AC(SBC) b Gọi BH là đường cao của tam giác SBC Chứng minh: SA  BH

c Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD

a Chứng minh SO  (ABCD) b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK  SD

Bài 4.Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với (ABC),

SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

c.Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d.Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC) b Chứng minh SC  (AHK)

c Chứng minh HK  (SAC)

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng 2a, Gọi O là tâm của hình vuông.

a Chứng minh (SAC)  (SBD) b Gọi M là trung điểm của AB.Chứng minh AB  (SOM)

c Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

d Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

Bài 7 :Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a

2 , Gọi M là trung điểm của AB và

O là tâm của đáy

c Chứng minh (SBD)  (ABCD) d Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

e Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SOM) và (SCD)

Bài 8: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b)Tính đường cao AK của tam giác AMC

c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

HẾT