Bài giảng số 1: Đại cương về hàm số và đồ thị hàm số

Tập giá trị của hàm số y = f(x) là tập tất cả các giá trị của y có thể nhận được khi x chạy.. trên tập xác đinh..[r]

BÀI GIẢNG SỐ 01: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

Dạng 1 Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của các biến số x sao cho f(x) có nghĩa

A Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) 2

2

x y



 b)

1 4

x y x







Giải:

a) Hàm số xác định khi

2 0

2

x

x





   



 Vậy tập xác định của hàm số là DR\ 0; 2 

b) Hàm số xác định khi

x







Vậy tập xác định của hàm số là D 0;  \ 4

Ví dụ 2:Tìm tập xác định của các hàm số

2

1

5 4

Giải:

a) Hàm số xác định khi

1

1 0

x x

     

    



( vô nghiệm)

Vậy tập xác định của hàm số là D  

b) Hàm số xác định khi

1 2

1

   



x

2

1

2 3 0

3

x

x x

x x

x

  

   

  

 Vậy tập xác định của hàm số là D    5; 1

Ví dụ 3: Cho hàm số:

1 2

x y

x m





 

Tìm m để hàm số xác định trên 1;1

Giải:

Hàm số xác định khi

xm  xm

Do đó tập xác định của hàm số là DR\m2

Khi đó, để hàm số xác định trên 1;1 điều kiện là

2 1;1

m

Vậy với 1

3

m

m





 



thì thỏa mãn điều kiện bài toán

B Luyện tập:

Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 1

1



1 2





y

x

x c)

d) y 22x 1





1 4

2 3

x

3x 4 y

(x 2) x 4





ĐS:

a) 0;  \ 1

b)  1; \ 2 c) 1;1

d) ( 1, ) \ 1 

2

  e)  f) ( 4, ) \ 2 

Bài 2: Cho hàm số:

1

2 1

2

x m

    

  Tìm m để hàm số xác định trên 0;1  ĐS: m  1; 2

Dạng 2 Tập giá trị của hàm số

Tập giá trị của hàm số y = f(x) là tập tất cả các giá trị của y có thể nhận được khi x chạy trên tập xác đinh

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Tìm tập các giá trị của các hàm số

a) y 2x28x 9 b) 3 42

1







x y

x

Giải:

a) Tập xác định D = R

Xét giá trị y0 thuộc tập giá trị của hàm số Khi đó tồn tại duy nhất một giá trị

xDsao cho y0  2x28x9 2x28x 9 y0 0 (1)

Phương trình (1) phải có nghiệm x

  ' 162(9y0)0 2y0340 y0 17

Vậy tập giá trị của hàm số là ;17

b) Tập xác định D = R

Xét giá trị y0 thuộc tập giá trị của hàm số Khi đó tồn tại duy nhất một giá trị

xDsao cho 0 3 42

1

x y

x







Phương trình (1) phải có nghiệm x

2

Vậy tập giá trị của hàm số là 1, 4

B Luyện tập:

Bài 1:Tìm tập giá trị các hàm số sau

a) yx23x1 b) y 2x23x2 c) 1

2





y x

1







x

y

4

x y





 

ĐS:a) 5,

4

  



7 , 8

 

 c) (0,) d) \ 1  e) 4 2 19; 4 2 19

Dạng 3 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b) Với mọi x x1, 2( ; )a b thì:

 Hàm f(x) là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu f x( )1  f x( 2)x1x2

 Hàm số f(x) là nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu f x( )1  f x( 2)x1x2

Phương pháp: Với mọi x x1, 2( ; )a b , lập tỉ số 1 2

1 2

A







 Nếu A > 0 hàm số đồng biến trên khoảng (a; b)

 Nếu A < 0 hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b)

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 5:Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) 2

yx 4x 1 trên mỗi khoảng ( , 2) và ( 2, ) b) y 1x trên tập xác định của hàm số

c) yx33x26x trên tập xác định của hàm số 1

Giải:

a) Ta có: Với x1 x2

1 2

4



Trên khoảng ; 2 hàm số nghịch biến vì:

1

x và x2   ; 2x1  và 2 x  2 2 Ax1x2  4 0

Trên khoảng   hàm số đồng biến vì 2; 

1

x và x2     2  x1  và 2 x2   2 Ax1x24 0

b) Tập xác định D   ;1

Ta có: Với x x  1, 2  ;1và x1 x2

2 1

f x f x

A



  

Trên khoảng ;1hàm số nghịch biến vì

1

x và x2  ;1x1 và 1 x 2 1 1x1 0 và 1x2 0 A0

c) Tập xác định D = R

Với x x1, 2Rvà x1 x2, ta có:

A

1 2

3( ) 6

x x



       vớix x1, 2R và x1 x2

Vậy hàm số đồng biến trên R

B Luyện tập

Bài 1:Xét tính đồng biến và nghịch biến của những hàm số sau:

a) y x22x trên mỗi khoảng 5 (,1) và (1,)

b) 3 1

1







x y

x trên mỗi khoảng (;1) và (1;)

c) yx310trên khoảng ( , )

d) y 1 2 x

e) 3

2

y x

ĐS: a) hàm số nghịch biến trên1;  và đồng biến trên  ;1

(HD: b) 2 1

x x (1 x )(1 x )





   .Hs đống biến trên (;1) và (1;)

c) Hs đồng biến trên ( , )

d) TXĐ:

1

; 2

D  

  Hs nghịch biến

e) TXĐ: D = R Hs đồng biến trên R

Dạng 4 Tính chẵn lẻ của hàm số

1 Hàm số y = f(x) trên miền D được gọi là:

 Hàm số chẵn nếu như

( ) ( )

    







 Hàm số lẻ nếu như

( ) ( )

    





    



A Ví dụ mẫu

Ví dụ 6:Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y 1x 1x c) |1 2| |1 |

| |

y

  





y x  x d) y x  1 1 x

Giải:

a) Hàm số xác định trên D   1;1 là tập đối xứng

Ta có: f(x) 1 ( x) 1 ( x) 1x 1x  f x( )

Vậy hàm số là chẵn

b) Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng

f x  x   x    x  x  f x

Vậy hàm số là chẵn

c) Hàm số xác định trênDR\ 0; 1   là tập đối xứng

Ta có: ( ) 1 21 ( ) 1 2 1 ( )

( )

Vậy hàm số là lẻ

d) Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng

Ta có: f(x)     x 1 1 ( x)  1 x  1 x  f x( )

Vậy hàm số là lẻ

Ví dụ 7: Cho hàm số:

2

1 2( 1)

y



Tùy theo m hãy xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Giải:

Ta xét các trường hợp:

Trường hợp1: Với m = 0, ta được

1

2

y

x

 

Hàm số này xác định trên DR\ 0  là tập đối xứng và có

2( ) 2

 Do đó nó là hàm lẻ

Trường hợp 2: Với m = 1, ta được

2

1

1

y

x





Hàm số này xác định trên DR\1;1 là tập đối xứng và có:

   Do đó nó là hàm chẵn

Trường hợp 3:Với 0

1

m m











, thì hàm g x( )mx22(m1)x m không chẵn cũng không lẻ, do

đó nó không chẵn cũng không lẻ

Kết luận:

 Với m = 0, hàm số là lẻ

 Với m = 1, hàm số là chẵn

 Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ

B Luyện tập:

Bài 1:Xét tính chẵn lẻ của những hàm số sau:

a) 2 3

| |

 

y x

2 1





x y x

ĐS: a) hàm chẵn b) hàm lẻ c) không chẵn, không lẻ( vì xDnhưng  x D)

Bài 2: Cho hàm số ymx3x22 (m m1)x 1

Xác định m để hàm số là chẵn

ĐS: m = 0

Dạng 5 Điểm cố định của hàm số

Định nghĩa:Cho họ đường cong C m:y f x m ;  phụ thuộc tham số m Điểm M x y 0; 0 gọi là điểm cố định của họ đường cong C m nếu y0  f x m 0; ,m

Cách giải: Để tìm điểm cố định của họ đường cong C m:y f x m ;  ta có

Bước 1: Gọi điểm cố định là M x y 0; 0 Suy ra y0  f x m 0; ,m

Bước 2: Sắp sếp y0  f x m 0; theo phương trình ẩn m bậc giảm dần, chẳng hạn nếu là bậc 1 thì có

dạng Bm C 0

Bước 3: Khi đó y0  f x m 0; ,mBm C 0,m Điều này chỉ xảy ra  tất cả các hệ số ẩn

0

? 0

x B





Bước 4: Kết luận

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 8:Tìm điểm cố định của đồ thị

a) (m1)x(2m3)ym1 (dm)

b)

2 2( 1) 3 5

Giải:

a) Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua

Vậy ta phải có:

m1x02m3y0 m 1

x0 2y0 1m x0 3y0 1 0

Vậy (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5; -2)

b) Gọi M x y 0; 0

là điểm cố định mà họ C m

luôn đi qua Khi đó:

2

y  x  m x  m

2

2

0 0

2

0

3

5

4

x x

y









 



Vậy C m luôn đi qua điểm cố định 3 5; ,

2 4

M  m

B Luyện tập:

Bài 1:Tìm điểm cố định họ đường thẳng sau đây:

ĐS: a)

1

;1 2

  b) 0; 3 

Bài 2:Tìm điểm cố định của họ parabol sau đây

a) yx22(m1)x3m5 b) yax2(a1)x6a

ĐS: a) 3 1,

2 4



  b) (2; 2), ( 3;3) 

Dạng 6 Tâm đối xứng của hàm số

Phương pháp:

Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I (a; b) làm tâm đối xứng, ta làm theo các bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ



Hàm số có dạng: Y b f X( a)Y F X( ) (1)

Bước 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm lẻ

Bước 3: Kết luận đồ thị hàm số nhận I(a; b) làm tâm đối xứng

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 9: Cho hàm số: yx33x2 1

Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm I (1; -1) làm tâm đối xứng

Giải:

Với phép biến đổi tọa độ



Khi đó hàm số có dạng

1 ( 1) 3( 1) 1

Y  X   X 

3 3

   (1)

Ta thấy Y(X) X33X  (X33 )X  Y X( )

hàm (1) là hàm lẻ

Vậy đồ thị hàm số nhân I (1; -1) làm tâm đối xứng

Ví dụ 10: Xác định m để đồ thị hàm số sau nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng

1

m



Giải:

Với phép biến đổi tọa độ



Hàm số có dạng

1

( 1) 3 ( 1) 2

m



     là hàm lẻ

Ta có: Y 1(X 1)3 3 (m X 1)2 2

m



3 2

Hàm (1) là hàm lẻ khi:

2 2

1

1 0

1

1

m

m m

m

m

m





Vậy với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng

B Luyện tập

Bài 1:Chứng minh đồ thị hàm số sau nhận I làm tâm đối xứng:

a) y x33x2với I(0, 2) b) 2 1

1







x y

x với I(–1, 2)

ĐS: a) Y  X33X b) Y 3

X





Dạng 7 Trục đối xứng của hàm số

Phương pháp:

Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện các bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ



Hàm số có dạng: Y  f X( a)Y F X( ) (1)

Bước 2: Nhận xét hàm (1) là hàm chẵn

Bước 3: Kết luận đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 11:Cho hàm số: yx44x32x212x 1

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng

Giải:

Với phép biến đổi tọa độ



Hàm số có dạng Y (X 1)44(X 1)32(X 1)212(X1) 1

    (1)

Y X  X  X   X  X  Y X

hàm (1) là hàm chẵn

Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng

Ví dụ 12:Cho hàm số: yx44mx32x212mx

Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

Giải:

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là đường thẳng x = a (a 0) Khi đó

Với phép biến đổi tọa độ



Hàm số có dạng

Y  X a  m X a  X a  m Xa là hàm chẵn

Ta có:

Y X44(am X) 32(3a26am1)X24(a33ma2  a 3 )m X a44ma32a212ma (1) Hàm (1) là hàm chẵn

4( ) 0

1

m

 





Vậy với m  1 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

B Luyện tập

Bài 1:Chứng minh rằng parabol yax2bx nhận đường thẳng c x b

2a

  làm trục đối xứng

2 2

aX

4

b

a

Bài 2:Chứng minh rằng đồ thị hàm số 1 4 3 1 2 3 1

y x x x x nhận đường thẳng x = 1 làm trục