Bài toán về hàm số và đồ thị hàm số - Tài liệu Toán 9 - hoc360.net

Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;.. 3..[r]

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HS

Câu 1: Cho hai hàm số

2

1 2

và y x  4 có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d ) 1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).

HD

Cho hai hàm số

2

1 2

và y x  4 có đồ thị lần

lượt là ( P ) và ( d )

1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt

phẳng tọa độ

2 ) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) là:

M( 2; –2 ) và N(–4 ; –8 )

Câu 2: Trong mp(Oxy)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

1

4x

2

b) Cho đường thẳng (D): y =

3

2x+m đi qua điểm C(6;

7) Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P)

a) Lập bảng giá trị:

2

1

4

(P) là parabol đi qua các điểm: (–4;4), (–2;1), (0; 0), (2; 1), (4; 4)

Vì (D) đi qua điểm C(6; 7) nên ta có:

3

6 m 7 m 2

2

3 (D) : y x 2

2

    

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):

Giải được x1 = 4; x2 = 2

Với x1 = 4 thì y1 = 4

Với x2 = 2 thì y2 = 1

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (4; 4) và (2; 1)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình

2

1 2



và hai điểm

A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x A 1;x B 2.

a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.

c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d)

a)

Vì A, B thuộc (P) nên:

2

2

1

2

     

Vậy

1

A 1; , B(2;2)

2



b)

Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.

Ta có hệ phương trình:

1

2

.

c)

(d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)

 OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào  vuông OCD, ta có:

h

h OC OD 1 2  4  5

Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là

2 5

5

Câu 4Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y2x n  và parabol 3 (P): y x 2.

1 Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0)

2 Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1, 2 thỏa mãn: 2

1 2 2 1 2 16

HD: 1 Đường thẳng (d) đi qua A2;0  2.2 n  3 0 n 7

2 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

Ta có   ' 1 (n 3) 4  n

Phương trình có hai nghiệm phân biệt    ' 0 4 n 0 n (*)4

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

2 (1)

3 (2)

x x

x x n





 



2

1 2 2 1 2 16 (3)

Cách 1: Thay x2  2 x1 ở (1) vào (3) ta có:

Thay x15;x2 3 vào (2) ta có: 5.( 3)  n 3 n12

Cách 2: Thay 2 ở (3) bằng x1x2

Ta có:

2 2

Thay x15;x2 3 vào (2) ta có: 5.( 3)  n 3 n12(thỏa mãn điều kiện (*) Vậy n 12

Câu 5: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4 ,với m là tham số

a) Khi m = 3 ,tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số trên

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1 ;y1) và A2(x2 ;y2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2 + (y2)2 = 72

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d):

y 2x 2m 8    (với m là tham số).

a) Khi m = – 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P)

b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 Tìm m để x1 + 2x2 = 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x  2mx 2m 8    x  2mx 2m 8 0    (*)

a)

Khi m = – 4, phương trình (*) trở thành:

x 8x 0





   



 Với x = 0 thì y = 0; với x = – 8 thì y = 64

Vậy khi m = – 4 thì tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (0; 0) và (– 8; 64)

(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ dương

 Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2

b)

' m 2m 8 (m 1) 7 0 m

 Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

 (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

x x 2m 8





 



(1) (2) Theo đề bài: x 1  2x 2  2 (3)

Từ (1) và (3), ta có hệ:



Thay vào (2) được:

2

(2 2m)(4m 2)    2m 8    4m  7m 2 0  

Giải phương trình được

1

m 2;m

4

Vậy

1

m 2;

4

  

  là các giá trị cần tìm

Câu 7:

a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1):  2 

y m  x m

(m là tham số) và (d2): y3x4 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau

b/ Cho phương trình: x2 2m1x2m 5 0 (với m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn  2   

x  mx  m x  

a/ Để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau thì

2 2

2

m

m m

m

 



 Vậy với m = - 2 thì đường thẳng (d1) song song vi đường thẳng (d2)

b/ x2 2m1x2m 5 0

            với mọi m, nên phương trình luôn

có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo vi ét ta có

1 2

1 2





x  mx  m x  

=> x12 2m 1x1  2m 5 2  x1  4 x2  2  0

=> 4 2  x1 x2  2  0 => 2  x1 x2  2  0 => 2x2  4  x x1 2  2x1  0

=> 2x2 x1 x x1 2  4 0 

Thay vào ta có : 2 2 m 2  2m 5 4 0 =>4m 4 2 m 5 4 0 =>

3

2

m  m

Vậy

3

2

m 

Câu 8: Cho các hàm số y = x 2 có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d).

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng nhau)

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A

3 ( 1 ; 0)

2  và B

3 (0; 1)

2  HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P):

y 4 2 0 2 4

Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0  y = 2  (0; 2) (d)

Cho x = 1  y = 3  (1; 3) (d)

Đồ thị:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0



2 1

x x





 

4 (2;4)

1 ( 1;1)

y y

 



   

 Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1)

c) Gọi M(xM; yM)  (P) và cách đều hai điểm A, B

Ta có: yM =x M2 và MA = MB Đặt xM = x, a =

3 1

2 

MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4

MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4

MA = MB  MA2 = MB2

 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4

 2ax2 – 2ax = 0  x2 – x = 0

0 1

x x





 



0 (0;0)

1 (1; 1)

y y

 



  

 Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1)

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): yk 1 x 4   (k là tham số) và parabol (P): y x 2

1 Khi k  2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;

3 Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm

k sao cho: y 1  y 2  y y 1 2

HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2 = 3x + 4

 x2 + 3x  4 = 0

Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4

Với x = 1 có y = 1 Với x = 4 có y = 16

Vậy khi k=2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2 = (k  1)x + 4  x2  (k  1)x  4 = 0

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:

1 2

1 2

x x 4

  







 Khi đó: y 1  x 12 ; y 2  x22 Vậy y1 + y2 = y1y2  x 12 x22  x x 12 22  (x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2

 (k 1)2 + 8 = 16  (k 1)2 = 8  k 1 2 2   hoặc k 1 2 2  

Vậy k 1 2 2  hoặc k 1 2 2  thoả mãn đầu bài

Câu 10: Cho hàm số y = ax2

a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8) b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị a vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) có hệ số góc bằng - 2 Tìm tọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d)

HD:

+ Đồ thị (P) của hàm số y =ax2 đi qua điểm M -2;8 , nên: 8 = a x (-2)2 suy ra a = 2

Vậy: a=2 và hàm số đã cho là: y =2x2

+ Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b

+ (d) đi qua điểm M -2;8 , nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4 + Vẽ (P); Vẽ (d)

+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

2x =-2x+4  x +x-2=0

+ Phương trình có hai nghiệm: x =1;x =-2 1 2

Do đó hoành độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x =1 y =2 1 =22

Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) có tọa độ: N(1;2)

Câu 11: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (dm)

1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1)

2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm)

1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1

Bảng giá trị :

x -1 0

y = x + 1 0 1

Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1)

2 Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua khi m thay đổi

Ta có : yA = mxA – m + 2

 yA – 2 = m(xA – 1) (*) Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA :

Pt(*) vô số nghiệm m khi



Vậy (dm) luôn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi

Ta có : AM = (6 1) 2(1 2) 2  26

Từ M kẻ MH  (dm) tại H

+Nếu H  A thì MH = 26.(1) +Nếu H không trùng A thì ta có tam giác AMH vuông tại H

=> HM < AM = 26 (2)

Từ (1)(2) suy ra MH  26 Vậy, khoảng cách lớn nhất từ M đến (dm) khi m thay đổi

là 26 (đvđd)

Câu 12: Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song

song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =

1

2x2 có hoành độ bằng -2

HD: + Đồ thị hàm số y ax b  song song với đường thẳng y3x5,

nên a 3 và b 5.

+Điểm A thuộc(P)có hoành độx 2 nên có tung độ  

2

1

2

y   

.Suy ra: A  2; 2 + Đồ thị hàm số y3x b đi qua điểm A  2; 2 nên: 2 6   b b 4

Vậy: a 3 và b 4

Câu 13: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y =mx - 2 (m là tham số, m ≠ 0 )

a Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy

b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d)

c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d) tìm các giá trị của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1

HD: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )

a Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy

TXĐ: R

BGT:

Điểm đặc biệt:

Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên

Nhận trục Oy làm trục đối xứng Điểm thấp nhất O(0;0)

ĐỒ THỊ:

b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d)

Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2

Phương trình tìm hoành độ giao điểm:

x2 = 3x – 2

x2 - 3x + 2 = 0

(a+b+c=0)

=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4

Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm

(1; 1) và (2; 4)

c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d) tìm các

giá trị của m sao choyA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)

1

-1

-2

2

4

1

y=x 2

y

Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm của (d) và (P) nên:  

y = mx 2

y = mx 2

y y =m x x 4







A B

Thay vào (*) ta có:

Câu 14: a) Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm

A(-2; 5) và B(1; -4)

b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

- tìm điều kiện của m để hàm số luơn nghịch biến

-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng

2 3



HD: 1.Ta cĩ a, b là nghiệm của hệ phương trình

5 = -2a + b

-4 = a + b





-3a = 9 -4 = a + b





a = - 3

b = - 1





 Vậy a = - 3 vào ta cĩ b = - 1

2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2

- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0  m < \f(1,2

-Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng

2 3



Hay đồ thị hàm số

đi qua điểm cĩ toạ độ (

2 3



;0) Ta phải cĩ pt 0 = (2m– 1).(-\f(2,3 ) +m +2  m = 8

Câu 15: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB

HD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

Lập bảng :

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

y

x A

B

C

Truy cập Website hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

b)Tìm toạ độ giao điểm A,B :

Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (d)

Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)

x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0

( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0

x

2 2 1

c x a



thay x1 = -1  y1 = x2 = (-1)2 = 1;

x2 = 2  y2 = 4

Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1) , B( 2 ; 4 )

c)Tính diện tích tam giác OAB :

OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1

- SOAB = SCOH - SOAC =

1

2(OC.BH - OC.AK)= =

1

2(8 - 2)= 3đvdt

Câu 16: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m ¿

1

2 Hãy xác định m trong mỗi trường hơp sau :

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân

HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm

số :

y = (2m – 1)x + m + 1 (1)

Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1

<=> 1 = 1 – 2m + m + 1

<=> 1 = 2 – m

<=> m = 1

Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)

c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1)

 OA = m 1

Đt h/s cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x =

1

m m

 

 => B (

1

m m

 

 ; 0 )

=> OB =

1

m m

 

 Tam giác OAB cân => OA = OB

<=> m 1 =

1

m m

 

 Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): yk 1 x 4   (k là tham số) và parabol (P): y x 2

1 Khi k  2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;

3 Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm

k sao cho: y 1  y 2  y y 1 2

HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2 = 3x + 4  x2 + 3x  4 = 0

Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4

Với x = 1 có y = 1Với x = 4 có y = 16

Vậy khi k =2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x2 = (k  1)x + 4  x2  (k  1)x  4 = 0

Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 thoả mãn:

1 2

1 2

x x 4

  







y  x ; y  x

Vậy y 1 + y 2 = y 1 y 2 

x  x  x x

 (x 1 + x 2 ) 2  2x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) 2  (k  1) 2 + 8 = 16

 (k  1) 2 = 8  k 1 2 2   hoặc k 1 2 2  

Vậy k 1 2 2   hoặc k 1 2 2   thoả mãn đầu bài.

Câu 18: Cho 3 đường thẳng có phương trình:

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d 1 ) và (d 2 ).

b) Tìm giá trị m để (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng quy.