Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.. Đồ thị không có TCĐ..[r]

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Tính lồi lõm của đồ thị:

Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

f gọi là lõm trên K nếu   , ,  1: f  xy  f x  f y ,x y, 0

f gọi là lồi trên K nếu   , ,  1: f  xy  f x  f y ,x y, 0

Cho hàm số yf x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K

f lõm trên K  f '' x   0, x K

f lồi trên K  f '' x   0, x K

Điểm uốn của đồ thị:

Điểm U x f x 0;  0 

được gọi là điểm uốn của đường cong  C :yf x  nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a x; 0 , x b0;  thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn

ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp 2 một khoảng a b;  chứa điểm x0 Nếu f '' x 0 0 và f '' x

đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x 0;  0 

là điểm uốn của đường cong  C : yf x 

Chú ý:

1) Nếu yp x y  ''r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

2) Nếu f lồi trên đoạn a b;  thì GTLN max f a f b ;   

3) Nếu f lõm trên đoạn a b;  thì GTNN min f a f b ;   

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

2) Biểu thức tiệm cận khi

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1:

ax b y

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m  ,  0

Đưa phương trình về dạng f x  h m  trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị  C :yf x 

Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng y h m  

3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: C m:yf x m , 

- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:



b) D  Ta có y' 4 x316 , '' 12x y  x216 0 x

Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên 

Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng  ;5 và lõm trên khoảng 5; .

Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2 1

x a y

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng   ; 1 , 1;0 , 0;    .

Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên

Bài toán 2.4: Cho hàm số: y x 3 6x23mx m 2, m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 3;, nghịch biến

trên 1;3 Hàm số đạt cực đại khi x 1, y C Ð 3 và đạt cực tiểu tại

• Đồ thị:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để trên đồ thị C m có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của C m tại mỗi

điểm đó vuông góc với đường thẳng d x:  3y 1 0

Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1, 2;.

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và y CT 4, đạt cực đại tại x 2 và y C Ð 5

 Đồ thị:

Đồ thị cắt Oy tại

50;

32

Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y m:  .

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C là nghiệm của phương trình 16x312x2 32x 2 m

Phương trình  x3 3x2 9x12 6 m0 (1)

Đường thẳng d cắt  C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi

0

m m

có nghiệm x1, x x1, 2 (trong đó x1, x1 là hoành độ của A, B)

Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình x2 x12 x x 2 0

Phương trình  x3 x x2 2 x x x x12  1 22 0 (2)

Đồng nhất các hệ số của (1) và (2):

2 2 1 2

1 2

39

12 6

x x

Kết hợp thì chọn:

41

3

m

Bài toán 2.9: Cho hàm số: y x 4 2mx22m 1, với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.

Hàm số đồng biến trên khoảng  3;0 ,  3;

và nghịch biến trên khoảng   ; 3

; 0; 3

Hàm số đạt cực đại tại x0,y C Ð 5 và đạt cực tiểu tại x 3,y CT 4

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng

b) Ta có D  y' 4 x x 2 m

 2 

hoặc x2 m

Hàm số có 3 điểm cực trị  y' 0 có 3 nghiệm phân biệt  m0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.

ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x 4 mx22m 1, với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm

cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi

Bài toán 2.11: Cho hàm số: y x4 2mx2m2m , với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD  

Hướng dẫn giải

m 

Ta chọn

2541

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2;  , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 2;

0;2 Hàm số đạt cực đại tại x0;y C Ð 3, đạt cực tiểu tại x2,y CT 1

được suy ra từ đồ thị  C bằng cách giữ nguyên phần nằm

phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.

Số nghiệm của phương trình

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: A0;2m 2, B 6m2; 9 m2 4m1

và

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy.

O là trọng tâm của tam giác ABC  y Ay B y C 0

13

Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 và nghịch biến trên khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 :y C Ð 5

 Đồ thị: y''12x2 4 0, x nên đồ thị không có điểm uốn

Cho y 0 x 6 1

đạt cực tiểu tại

30;

 Đồ thị: y'' 6 x2 2 0,x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung

30;

2



 , giao điểm với trục hoành 1;0 và 1;0.

Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)

3

2

22

x 

Ta có

1lim

mx y

b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên  P y x:  23

TCX đi qua A1;1 khi và chỉ khi: 1 2.1 1   m m2.

b) Đồ thị có tiệm cận đứng là xm Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là Im;1 3 m

Giao điểm này nằm trên đường cong y x 23 khi

 Tìm m để tiệm cận xiên của C m tạo với các trục tọa

độ thành một tam giác có diện tích bằng 18

nên tiệm cận xiên d của C m có phương trình y x m  Giao điểm của d

với Ox: A m ;0, giao điểm của d với Oy: B0;m

Diện tích tam giác OAB là

2

12





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Suy ra đồ thị

1

x y x

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại

1

;02

khi khi

x x

Bài toán 2.21: Cho hàm số:

1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 ; 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại 1;0, cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I  1;2 của hai đường tiệm

cận làm tâm đối xứng

b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0   C x, 0 1

   

0 0

2

0 0

4:

11

x

x x

1;

1

x A

x x

Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm.

Bài toán 2.22: Cho hàm số:

21

x y x

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại 2;0 , cắt Oy tại 0;2 , C   nhận giao điểm I1;1 của hai đường tiệm

1

khi khi

x x

x y x

Xét   1 m 5 0  4m5 thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 2.23: Cho hàm số: 2

m x y

x





 , với m là tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là

38

S 

x y x

 



 Tìm trên  H các điểm A, B sao cho độ dài AB 4 và đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng y x

x

x m x

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

'

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I  1;0

b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

Bài toán 2.26: Cho hàm số

2 2 32

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có

32

Cho

30

2

b) Điểm M x y ;    C có tọa độ nguyên khi x  2 là ước số của 3 nên x  2 1, 3

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên: 1;4 , 3;0 , 1;0     và 5;4 .

Giao điểm 2 tiệm cận I2;2 chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ

2:

là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I2;2 làm tâm đối xứng.

Bài toán 2.27: Cho hàm số

2 1

x y x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:

'

    2

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O.

TCĐ: x 0, TCX: y x nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°



hoặc m 1 thì PT có 1 nghiệm.

Còn khi m 0 thì PT vô nghiệm.

Bài toán 2.28: Cho hàm số  

11

b) Khảo sát và vẽ đồ thị  C khi m 1 Suy ra đồ thị hàm số

2 11

 là hàm số chẵn nên đồ thị  C' đối xứng nhau qua Oy.

Khi x 0 thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị  C' .

Bài tập 2.3: Cho hàm số: y x 3 3m1x29x m , với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 2

Hướng dẫn

a) Khi m 1 thì y x 3 6x29x 1

b) Kết quả  3 m  1 3 và  1 3m1

Bài tập 2.4: Cho hàm số: y2x3 3m 1x2m , với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2.

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2

cực trị

Hướng dẫn

a) Khi m 2 thì y2x3 3x22

b) Lấy y chia y' Kết quả

43

m 

Bài tập 2.5: Cho hàm số y x 4 3x2 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Tìm số m dương để đường thẳng y m cắt  C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa

b) Kết quả TCX: y2x (khi x  ); TCN: y 0 (khi x   )

Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho.

b) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x y  4 0 và

1

y x

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1  2

4'

1

y x



.b) Kết quả y x  2;y x 6

Bài tập 2.10: Cho hàm số:

1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d y:  x m cắt  C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB  10.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1   2

3'

1

y x





.b) Kết quả m 0 hay m 6.

Bài tập 2.11: Cho hàm số

2 4

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

b) Tìm m sao cho đường thẳng y m x   2 4 cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 0 

2 4 4' x

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x 1 2 3.

Hướng dẫn

a) Khi m 2 thì

2 21