Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước

Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình  có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 tức là phải có fx  0 có 2 nghiệm [r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CẮT

TRỤC HOÀNH TẠI 2, 3, 4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN

HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC

1 Phương pháp

Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) và trục hoành Ox

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: f(x) = 0 (1)

 Số giao điểm của (C) và Ox là số nghiệm của (1)

 Tìm điều kiện để (1) có 2, 3, 4 nghiệm

 Tìm điều kiện thõa mãn của nghiệm bằng cách sử dụng định lí Vi – et

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hàm số 3   2  2   2 

y x   2 m 1 x   m  4m 1 x 2 m    1 , có đồ thị là  Cm Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

Lời giải

Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương trình :

x  2 m 1 x   m  4m 1 x 2 m     1 0   2  2 

x 2 x  2mx m 1  0

f(x) x   2mx m    1 0

Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình

  có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 tức là phải có f(x) 0  có 2 nghiệm phân biệt khác 2

và có hoành độ nhỏ hơn 3

f(x) 0  2 nghiệm phân biệt khác 2

2 2

f(2) 0 m 4m 3 0

m 2 7 ' 0 2m 1 0



Với m   2 7 thì f(x) 0  có hai nghiệm x ,x1 2 thỏa x1 x2 3

 11  2 2 1 21 2  1 2

3 x 3 x 0 x x 3 x x 9 0

3 x 3 x 0 x x 6



1 2

x x m 1

x x 2m







m 3

m 3 2m 6

 

 



3 17 m 3 17

m   3 17 ; 3  17 \ 2  7

Vậy, với m  3 17 ; 3  17 \ 2   7 thỏa đề bài

Ví dụ 2 : Cho hàm số y x  4  2(m 1)x  2  2m 1  ,tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3

Lời giải

Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương trình :

x 2(m 1)x 2m 1 0  1

Đặt t  x ,t 0 2  thì  1 trở thành: f(t) t  2  2(m 1)t 2m 1 0    

Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

 

 f t có 2 nghiệm phân biệt t , t1 2 sao cho:    

   



1 2

0 t t 3

0 t 3 t

2

m 0 f(0) 2m 1 0

S 2(m 1) 3

   





hoặc

2

m 0 f(3) 4 4m 0

S 2(m 1) 0

P 2m 1 0

   











,

nghĩa là phải có: m 1

2

  hoặc m 1 

2

  hoặc m 1  thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y 1x3 mx2 x m 2

có hoành độ x , x , x1 2 3 thỏa mãn x12 x22 x23  15

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D 

x mx x m 0

3      3

x 3mx 3x 3m 2 0

      (x 1) x  2 1 3m x 3m 2   0 (1)

x 1

  hoặc g(x) x  2  (1 3m)x 3m 2 0 (2)   

Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm ph n biệt  có ba nghiệm ph n biệt có hai ngiệm

ph n biệt khác , tức phải có hệ:

(1 3m) 4(3m 2) 0 3m 2m 3 0, m

m 0 (a) g(1) 6m 0 m 0

iả ử x3  1; x , x1 2là nghiệm của Ta có x1 x2  3m 1; x x  1 2  3m 2 

x  x  x  15  (x  x )  2x x   1 15

(3m 1) 2(3m 2) 14 0 m 1 0 m 1 m 1 (b)

T a và b ta có g a trị c n tìm là m   1 hoặc m 1 

Ví dụ 4 Hàm số y x  3 2(m 1)x  2 (5m 2)x 2m 4    (1) , m là tham số Gọi (C )m là đồ thị của hàm

số (1) Tìm m để (C )m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho :

1 A là trung điểm của đoạn BC

2 B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 3 BC có độ dài nhỏ nhất

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C )m và Ox

x  2(m 1)x   (5m 2)x 2m 4 0 ( )       (x 2)(x   2mx m 2) 0   

2

x 2, g(x) x 2mx m 2 0

m

(C ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B,C Phương trình ( )  có ba nghiệm phân biệt phương

trình g(x) 0  có hai nghiệm phân biệt khác 2

2

g

m

1 7

m 2

2 4

3 m

g(2) 0

3

4 4m m 2 0





1 A là trung điểm của đoạn BC



thỏa mãn điều kiện m 2

3

 )

2 B,C có hoành độ nhỏ hơn 1

Gọi x ,x1 2 là hoành độ của B,C, cũng là nghiệm phương trình g(x) 0 

x 1 x 1 0 x 1 x 1 0

x 1 x 1 0 (x 1)(x 1) 0

1 2

x x 2

x x (x x ) 1 0





2m 2 m 1

m 1

m 2 2m 1 0 m 1

Vậy, m   1 là giá trị c n tìm

Cách khác:

Hai nghiệm của g(x) 0  là x1 m  m2 m 2 , x  2 m  m2 m 2 

2

x 1

x 1 m m m 2 1 m m 2 1 m

x 1

 



2

1 m 0 m 1 m 1.

m 1

m m 2 m 2m 1



3 BC có độ dài nhỏ nhất

2 2

1 2

1 7

BC x x 2 m m 2 2 m 7.

2 4

BC 7 m 0 m

3

 )

Chú ý Ta cũng có thể dùng định lí Vi-et để t nh BC như au

2

BC  x  x  (x  x )  4x x  4m  4(m 2) 4(m    m 2) 

3 Bài tập

Bài 1 Cho hàm số 4   2

y x   2 m 1 x   2m 1  có đồ thị là  Cm , m là tham số Tìm mđể đồ thị  Cm

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3

Bài 2 Cho hàm số y x  4 2mx2 m 3  ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1 x2  x3   1 2 x4

Bài 3: Cho hàm số y = x3 3x2 (m 2)x m 2    ( m là tham số ) (1).Gọi  Cm là đồ thị của hàm số (1) Tìm m để

1  Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

2  C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :

1 y x  3 (4m 3)x  2 (m 2)x 3m   có hai cực trị trái dấu

2 y x  3 3(m 1)x  2 3mx m 1   cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có t nhất một điểm có hoành độ

âm

y x – 3m 2 x    3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn

4 y x  4 2mx2 m2 1 (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số :

1 y x  3 3mx2 (3m 1)x 6m 6    cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x ,x ,x1 2 3 thỏa

x  x  x  x x x  20

2 y x  3 2x2 (3m 1)x m 3    cắt đường thẳng d : y (1 m)x m 5     tại ba điểm phân biệt có hoành

độ x1 x2  1 x3

3 y x  4 (3m 2)x  2 3m (Cm) cắt đường thẳng y   1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x ,x1 2, x3,

4

x thỏa : x12 x22 x23 x24 x x x x1 2 3 4  4

Bài 5: Tìm m để đồ thị (C )m y x  3 (2m 3)x  2 (2m2 m 9)x 2m   2 3m 7  cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất

Bài 6:

1 Tìm m  để đồ thị  Cm :y x  3  3mx2 3x 3m 2   cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

là x ,x ,x1 2 3 thỏa mãn : 2 2 2

x  x  x  15

2 Tìm m để hàm số y   x4 4mx2 4m cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt M, N, P, Q (

x  x  x  x ) sao cho MQ 2NP 

Bài 7: Gọi (C )m là đồ thị của hàm số y x  4 (3m 1)x  2 2m2 2m 12  , m là tham số

1.Tìm m để (C )m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn và một điểm có hoành độ lớn hơn

2 Tìm m để (C )m và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C ao cho tam giác ABC đều với A(0;2)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 4   2

x  2 m 1 x   2m 1 0    

Đặt t  x ,t 0 2  thì   trở thành: f(t) t  2  2 m 1 t 2m 1 0     

 Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3

 

f t

 có 2 nghiệm phân biệt t , t1 2 sao cho: 1 2

0 t t 3

0 t 3 t

   



1

m ,m 1 2

Bài 2 Xét phương trình hoành độ giao điểmx4 2mx2 m 3 0   (1)

t  x điều kiện t 0  Phương trình trở thành t2 2mt m 3 0    (2)

Giả sử nếu phương trinh có nghiệm thỏa mãn0 t  1 t2 thì phương trình ẽ có các nghiệm là

x   t  x   t  x  t  x  t

Với lập luận trên bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm dương ph n biệt thỏa mãn:

t    1 4 t

2

m m 3 0

S 2m 0

P m 3 0

t 1 4 t

      





 



   



t 1 t (t 1)(t 1) 0 t t (t t ) 1 0

t 4 t (t 4)(t 4) 0 t t 4(t t ) 16 0

Bài 3:

1 Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu  (C )m cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của (C )m và Ox:

3 2

x  (4m 3)x   (m 2)x 3m 0    2

(x 1)[x 2(2m 1)x 3m] 0

x 1

  hoặc x2 2(2m 1)x 3m 0 ( )    

Yêu c u bài toán   ( ) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 Đồ thị (C )m cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có t nhất một điểm có hoành độ âm  hàm số có

hai cực trị đồng thời y ycd ct 0

y(0) 0



y' 0 x 2(m 1)x m 0

Hàm số có hai cực trị   ( ) có hai nghiệm phân biệt

' (m 1) m 0 m m 1 0

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ( ) 

Ta có: y1 1(x1 m 1)y'(x ) 2(m1 2 m 1)x1 m2 1

3

1

2(m m 1)x m 1

y   2(m  m 1)x   m  1

1 2

y y (m 1)(m m m 3) Nên

(m 1)(m m m 3) 0 (1)

m 1



 



Xét hàm số g(m) m  3 m2 m 3, m 1  

g'(m) 3m 2m 1 g(m) 0 m ,m 1

2

Lập bảng biến thiên ta thấy g(m) 0 m 1   

m 1 0 (2) 1 m 1

m 1

  

        là những giá trị c n tìm

3 Phương trình hoành độ giao điểm của  Cm và đường thẳng y   1 :

x  3m 2 x   3m    1 x  3m 2 x   3m 1 0  

Đặt t  x , t 0; 2   phương trình trở thành : t 2 3m 2 t 3m 1 0        t 1 hoặc t  3m 1  .Yêu c u bài

3m 1 1



1

m 1 3

m 0

  



 

 



là những giá trị c n tìm

4 x 4  2mx 2  m 2    1 0 x 2  m 1  hoặc x 2  m 1 

Đồ thị (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn  1 m 3

Bài 4:

1 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox

3 2

x  3mx  (3m 1)x 6m 6 0     2

(x 2)[x (3m 2)x 3m 3] 0

x 2

  hoặc x2 (3m 2)x 3m 3 0 ( )     

(Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 2

2

9m 24m 14 0

5 3m 0



 



4 2 4 2

5 m

3

 



x  x  x  x x x  (x  x )   4 (3m 2)   4

Nên ta có : (3m 2)  2  4 20  9m2 12m 12 0   m 2,m 2

3

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:

3 2

x  2x  (3m 1)x m 3 (1 m)x m 5          2    8

2m x 2x f(x)

Xét hàm số y f(x)  ta có :

2

8 2(x 2)(x x 2)

f '(x) 2x 2 ,f '(x) 0 x 2

2

3 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với đường thẳng y   1 :

x (3m 2)x 3m 1 0  x2  1 hoặc x2  3m 1 

(Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt

1 3m 1 0 m

3 3m 1 1

m 0



 

1 2 3 4 1 2 3 4

x  x  x  x  x x x x  3m 3 

Nên x12 x22 x23 x24 x x x x1 2 3 4 4 m 1

3

Bài 5: Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox

x  (2m 3)x   (2m  m 9)x 2m    3m 7 0     x 1,

x 2(m 1)x 2m 3m 7 0 (1)

(Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1 < x1 < x2

(1)   ' (m 1)  2  2m 2  3m 7 0     m 2  5m 6 0     2 m 3 (a) 

1 x x 1 0 x x 2 x x 2

1 x x 1 0 (x 1)(x 1) 0 x x (x x ) 1 0

2 2

2(m 1) 2 m 0

m 0 (b) 2m 3m 7 2(m 1) 1 0 2m 5m 6 0

T (a) và (b) ta có:

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1 < x1 < x2   2 m 3 

BC  (x  x )  (x  x )  4x x  4(m 1)   4(2m  3m 7) 

2

4m 20m 24 1 4 m 1 BC 1 BC 1 m (2; 3)

Bài 6:

1  Cm cắt trục Ox : x3 3mx2 3x 3m 2 0   

x 1 x 3m 1 x 3m 2 =0 x 1,x 3m 1 x 3m 2 0 2

 Cm cắt trục Ox tại 3điểm phân biệt có hoành độ là x ,x ,x1 2 3 giả sử x3  1

thì x ,x1 2 là nghiệm khác 1 của phương trình  2 Theo định lý Vi-et ta có:

x x 3m 1,x x 3m 2

Theo bài toán ta có :

 

2

2

2 2

0

9m 6m 9 0

1 3m 1 1 3m 2 0 m 0

9m 9 0

x x x 15



2 Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và trục hoành:

x 4mx 4m 0

     1 Đặt t  x , 2 t 0   khi đó phương trình  1 trở thành   t2 4mt 4m 0   , t 0 

 2

Để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt M, N, P, Q khi và chỉ khi phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt dương

2

' 4m 4m 0

P 4m 0

S 4m 0





hay m 1 

Với m 1  phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt t1 2m 2 m  2  m hoặc t2  2m 2 m  2 m, giả sử

1 2

t  t

MQ 2NP   OQ  4OP tức là t2  4t1 5 m2 m  3m, bình phương 2 vế và rút gọn ta được

phương trình 16m 2  25m 0  , phương trình này có m 25

16

 thỏa điều kiện m 1 

Bài 7:

1 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn và một

điểm có hoành độ lớn hơn

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành

x  (3m 1)x   2m  2m 12 0 (1)   Đặt t = x2

, t 0

t  (3m 1)t 2m    2m 12 0 (2)  

(Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Phương trình có bốn nghiệm phân biệt Phương trình

(2) có hai nghiệm dương ph n biệt

Vì phương trình luôn có hai nghiệm là t1 = m+3 và t2 = (2m – 4 ,do đó

Phương trình có hai nghiệm dương ph n biệt

m 3 2m 4 m 7

m 2

m 3 0 m 3

m 7 2m 4 0 m 2

 

        

hi đó 4 nghiệm của (1) là  m 3 ,   2m 4 

* Nếu m+3 > 2m – 4   2 m 7  thì ta có  m 3    2m 4   2m 4   m 3 

Trong các nghiệm này có ba nghiệm nhỏ hơn và một nghiệm lớn hơn ,điều này tương đương với

2m 4 1 2m 4 1 5

1 m

m 3 4 2

m 3 2

Giao với điều kiện < m < 7 , ta được 2 < m < 5

2

* Nếu 2m – 4 > m + 3  m 7  thì ta có  2m 4    m 3   m 3   2m 4 

Ba nghiệm nhỏ hơn và một nghiệm lớn hơn

2m 4 2 2m 4 4 m 4

m 3 1 m 2

m 3 1



2 Tìm m để (Cm) và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C ao cho tam giác ABC đều với A(0;2)

Cm và Ox có hai điểm chung Phương trình có đúng hai nghiệm

Phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc có đúng một nghiệm dương

* (2) có hai nghiệm trái dấu  (m 3)(2m 4) 0       3 m 2 

* có đúng một nghiệm dương  m 3 2m 4 0      m 7 

Vậy (Cm) và Ox có hai điểm chung    3 m 2   m 7 

Với điều kiện – 3 < m < 2 thì m+3 > 0 và 2m – 4 < 0 thì B( m 3; 0) , C( m 3; 0)  

Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và O là trung điểm của BC ,do đó

2

5

4 3(m 3) m

3



Khi m = 7 thì B( 7 ; 0) , C( 7 ; 0),suy ra BC = 2 7

2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến inh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến t các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm t các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán N ng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, n ng cao thành t ch học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 0, , Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK t lớp đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp ôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí t lớp đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí