Các bất đẳng thức cơ bản quan trọng

[r]

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400-0968582838 Page 1

TỔNG HỢP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

 A  A (Dấu bằng xảy ra khi A = 0)

 A B  A B (Dấu bằng xảy ra khi A, B cùng dấu hoặc trái dấu)

2 Bất đẳng thức véc tơ

 u   v u v (Dấu bằng xảy ra khi u v, cùng hướng)

 u   v u v (Dấu bằng xảy ra khi u v, ngược hướng)

 uv  u v (Dấu bằng xảy ra khi u v, cùng phương)

Áp dụng nếu u x y( ;1 1), ( ;v x2 y2), ta có

 2 2 2 2   2 2

x y  x y  x x  y y

 2 2 2 2   2 2

x y  x y  x x  y y

x x y y  x y x y (Bất đẳng thức bunhiacopxki)

3 Bất đẳng thức suy ra từ hằng đẳng thức

Với mọi số thực a, b, c ta luôn có

 2

0

a 

 2 2

a b  ab  ab

2 2

a b

 2 2 2

a b c ab bc ca 

 2 2 2  2

3(a b c ) a b c 

2(a b )(a b a )( b ) , (a b 0)

 1 2 1 2 2 ( 1)

1 a 1 b 1 ab ab

4 Bất đẳng thức cô si

Cho a, b, c > 0

Ta có các bất đẳng thức sau



2

a b

ab

 

hoặc

2

2

a b

ab   

  

 1 1 4

a b a b

 hoặc

1 1 1 1

( ) 4

a b  ab





ab a b



 1 1 1 9

a  b c a b c

 

 3 3 3 2 2 2

a   b c a b b c c a 

Các bất đẳng thức trên đều xảy ra dấu bằng khi a = b = c

5 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với a,b, x,y là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau

  2 2 2 2 2

ax by  a b x y (Dấu bằng xảy ra khi x y

a  b )

  2 2 2

a b a b

x y x y



 

 (x, y > 0, a, b là số thực)

Mở rộng với bộ 3 số a, b, c và x, y, z ta có

  2 2 2 2 2 2 2

ax by cz   a b c x y z (Dấu bằng xảy ra khi x y z

a  b c)

  2 2 2 2

a b c a b c

x y z x y z

 

  (x, y, z > 0, a, b là số thực)