340 CauTN ON HKI TOAN 12 HDG

Lời giảiChọn A Để các điểm đối xứng nhau qua trục Oy thì hoành độ của chúng đối nhau, tung độ của chúng bằng nhau.. Trên khoảng −∞;3 hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến nên mệnh đề A sa

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN 12

PHẦN 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐCâu 1 [2D1-1] Hàm số y x= −5 2x3+1 có bao nhiêu điểm cực trị?

x x

x x

x y x

− +

=

22

x y x

−

=

Câu 3 [2D1-1] Cho hàm số y=3x4−4x3 Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

=



⇔  = BBT:

Dựa vào BBT ta có: đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là A(1; 1− ).

C.Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; )

D.Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ −; 3) và (1;+∞)

=

31

x x

= −



⇔  = Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ −; 3) và (1;+∞)

Câu 5 [2D1-1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ :

A. y x= 4+2x2 −1 B. y x= +3 3x2−3x C. y=sinx+3x−3 D. 2

1

x y x

=+ .

−

2lim

Lời giải

Chọn A

Để các điểm đối xứng nhau qua trục Oy thì hoành độ của chúng đối nhau, tung độ của chúng bằng nhau.

Thay các giá trị x=3 và x= −3 vào hàm số để tìm tung độ của điểm nằm trên đồ thị, ta thấy cặp điểm

Đồ thị hàm số trên có hai điểm cực trị là ( ) ( )1;3 , 2;0 Do đó, mệnh đề B đúng

Trên khoảng (−∞;3) hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến nên mệnh đề A sai

Đường thẳng x=1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, do limx→1+ y=limx→1− y=3 Do đó, mệnh đề C

y= x − −x

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị hàm số ta thấy ngay đây là hàm số bậc 4 có hệ số của x4 là số dương nên loại hai đáp án A và

B, Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại x= ±1 và f ( )± = −1 4 nên loại đáp án D

Câu 12 [2D1-1] Giá trị cực tiểu của hàm số 4 2

=



′ = ⇔  = ± Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là 3

  là giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung

Câu 14 [2D1-1] Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên ¡

A.Hàm số đồng biến trên (−2; 2) (∪ 2;+∞) B.Hàm số đồng biến trên ¡

Lời giải

Chọn D

Câu 16 [2D1-1] Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.

Câu 19 [2D1-1] Hàm số 2 3

1

x y x

y

x

′ = − <

+ ∀ ∈ −∞ − ∪ − +∞x ( ; 1) ( 1; ) Hàm số không có cực trị

Câu 20 [2D1-1] Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là hàm sốnào?

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y′ <0, ∀ ≠x 1 B. y′ <0, ∀ ≠x 2 C. y′ >0, ∀ ≠x 2 D. y′ >0, ∀ ≠x 1

Lời giải

Chọn B

Hàm số giảm trên (−∞; 2) và (2;+∞) nên y′ <0, ∀ ≠x 2

Câu 22 [2D1-1] Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là hàm sốnào?

−

2

32

−

A. y x= −3 3x2+3 B. y= − +x4 2x2+1 C. y x= 4−2x2+1 D. y= − +x3 3x2+1.

Lời giải

Chọn A

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có hàm số bậc ba với hệ số a>0

Câu 23 [2D1-1] Cho hàm số y= − +x4 2x2 có đồ thị như hình bên Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để phương trình − +x4 2x2 =m có bốn nghiệm thực phân biệt?

A. ( )C cắt trục hoành tại hai điểm. B. ( )C cắt trục hoành tại một điểm.

C. ( )C không cắt trục hoành. D. ( )C cắt trục hoành tại ba điểm.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành (x−2) (x2+ = ⇔ =1) 0 x 2

Vậy ( )C cắt trục hoành tại một điểm.

Câu 25 [2D1-2] Giá trị m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2+2 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông là

Giả sử hàm số có 3 điểm cực trị lần lượt là A( )0; 2 , B(− m; 2−m2) và C( m; 2−m2)

Dễ thấy 3 điểm cực trị A , B , C tạo thành tam giác cân tại A

Khi đó, yêu cầu bài toán ⇔AB⊥AC ⇔uuur uuurAB AC =0

Với uuurAB= −( m m;− 2), uuurAC=( m m;− 2)

y y y

a b

36 0,3

6116

m x

x m

Để GTLN của hàm số bằng 1− ⇒ +m 17= −1⇔ = −m 18

Vậy chỉ có một giá trị m= −18 thỏa mãn đề bài

Câu 32 [2D1-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin3x−cos 2x+sinx+2trên ;

3

t y

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 23

y= − +x x− có đồ thị ( )C và đường thẳng y= − −x 2.Gọi d là tiếp tuyến

của ( )C tại giao điểm của ( )C với đường thẳng trên với tiếp điểm có hoành độ dương Khi đó phương

trình của d là

A. y=9x+18 B. y= − +9x 22 C. y= − −9x 9 D. y= − +9x 14

Lời giải

x x x

Chỉ có x=2 có hoành độ dương nên x0 =2trong

Phương trình tiếp tuyến: y y− 0 = f x′( ) (0 x x− 0)

Đặt phương trình tiếp tuyến dạng: y ax b= +

Phương trình tiếp tuyến đi quaA( )0; 2 nên: 2=a.0+ ⇔ =b b 2

Lấy ( )2 thay vào ( )1 ta được 3x4−2x2 =0

Phương trình có 3 nghiệm nên có 3 tiếp tuyến thỏa mãn

Câu 36 [2D1-2] Biết đồ thị y x= 4−2mx2+ −x 1 và đường thẳng y x= −2m có đúng hai điểm chung Khi đóphát biểu nào sau đây ĐÚNG?

m m

Câu 38 [2D1-2] Điều kiện của m để đường thẳng y= − +x m cắt ( ):

thuộc đồ thị hàm số y x= −3 3x2−2 biết hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm đó bằng 9

Thay lại vào hàm số, ta có được hai điểm thỏa mãn điều kiện có tọa độ là (− −1; 6),(3; 2− )

Câu 41 [2D1-2] Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên và các nhận xét như sau:

(I) Hàm số y= f x( ) có ba điểm cực trị

(II) Hàm số y= f x( ) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

||||

(III) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và ( )2; 4

Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng:

Lời giải

Chọn C

Câu 42 [2D1-2] Cho đồ thị hàm số y= f x( ) có hình dạng như hình dưới:

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị hàm số y= −f x( )

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số y= −f x( ) được vẽ bằng cách lấy đố xứng đồ thị hàm số y= −f x( ) qua trục Ox

Câu 43 [2D1-2] Tìm m để hàm số y= −2x3+3x2 +m có giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]0;3 bằng 2019

0

x y

Câu 44 [2D1-2] Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số

Điểm cực đại của hàm số là

Câu 47 [2D1-2] Số tiệm cận của đồ thị hàm số 23

1

y x

→+∞ = ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.

Câu 48 [2D1-2] Khoảng đồng biến của hàm số y x= 4+2x2−5 là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞)

Câu 49 [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2

1

x m y

x x

Từ đó ta kết luận: Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị

Câu 51 [2D1-2] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau không có điểm chung với trục hoành

đều có nghiệm nên đồ thị có điểm chung với trục hoành

Câu 52 [2D1-2] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

=+ là

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( ) (1;0 ,B − −3; 8) ⇒ AB=4 5

Câu 53 [2D1-2] Khoảng nghịch biến của hàm số 3 2

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số ngịch biến trong khoảng (−1;3)

Câu 54 [2D1-2] Tất cả các giá trị của m để đường thẳng y m= cắt đồ thị hàm số 4 2 2 1

Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm

Xét hàm số

4 2

+

=+ trên [ ]0;3

( )2

3

03

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 60 [2D1-2] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡

m m

Câu 62 [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2( 2 )

1

x y

x

=



′ = ⇔  = ±

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

3

m m

+

=+ có đồ thị ( )C và đường thẳng : d y x m= + Các giá trị của tham số

m để đường thẳng d cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt là

=



⇔  = Bảng biến thiên:

Tại x=2 đạo hàm đổi dấu từ ( )− sang( )+ nên hàm số đạt cực tiểu tại x=2.

=+ Hàm số có hai điểm cực trị là x , 1 x Tích 2 x x có giá trị bằng1 2

2

y′ = ⇔ =x

Vẽ đồ thị của hàm số trên từng khoảng ta được đồ thị của hàm số y= x2− +4 x như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có, hàm số đã cho có 3 cực trị

Cách khác: Học sinh có thể lập bảng biến thiên và xét dấu đạo hàm trên từng miền

Ta có: y′ =3mx2−m2+10; y′′ =6mx.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x0 =1 là y′( )1 = ⇔0 −m2+3m+ =10 0 ⇔  =m m= −52

Điều kiện đủ:

Khi m= −2 thì y′′( )1 = − <12 0 Hàm số đạt cực đại tại x=1 (loại)

Khi m=5 thì y′′( )1 =30 0> Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 (thỏa mãn)

Câu 68 [2D1-2] Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 ( 2 )

Khi m=1 thì y′′( )3 = >4 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 (loại)

Khi m=5 thì y′′( )3 = − <4 0 Hàm số đạt cực đại tại x=3 (thỏa mãn)

Câu 69 [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x= 4−2mx2 có ba điểmcực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

A. 0< <m 3 4. B. m<1. C. 0< <m 1. D. m>0.

Lời giải

Chọn B

Ta áp dụng công thức nhanh: Đồ thị của hàm số y ax= 4+bx2+c có 3 điểm cực trị tạo thành một tam

32

b S

Câu 71 [2D1-2] Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2

x

+

=+ ( m là tham số thực) thoả mãn [ ] 1;2 [ ] 1;2

x y

+ y=3sinx−4sin3x=sin 3x ⇒ =y sin 3x≤1

Dấu " "= xảy ra ⇔sin 3x=1

y x

=

11

y x

=+ .

→−∞ = →−∞ = →−∞ = −

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

hàm số đi qua điểm A(1; 3− )

4

11

4

11

Tiệm cận ngang đi qua điểm A(1; 3− ) ⇔ − =3 2m+1 ⇔ = −m 2

Câu 82 [2D1-2] Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là hàm sốnào?

A. y= − +x3 3x2−2 B. y x= + − +3 x2 x 3 C. y= − −x3 2x2− +x 3 D. y= − − − +x3 x2 x 3.

Lời giải

Chọn D

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có hàm số bậc ba với hệ số a<0 nên loạiB

Đồ thị đi qua điểm ( )0;3 nên loạiA

nên đồ thị hàm số có hai cực trị LoạiC

Câu 83 [2D1-2] Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax= 4+bx2+c với a , b , c là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.Phương trình y′ =0 có ba nghiệm thực phân biệt

B.Phương trình y′ =0 có đúng một nghiệm thực

C.Phương trình y′ =0 có hai nghiệm thực phân biệt

D.Phương trình y′ =0 vô nghiệm trên tập số thực

Lời giải

Chọn A

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có hàm số có 3 điểm cực trị nên phương trình y′ =0 có ba nghiệm thực phân biệt

Câu 84 [2D1-2] Hàm số y= −(x 2) (x2−1) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y= −x 2(x2−1)?

 Lấy đối xứng đồ thị ( )C ứng với x<2 qua trục Ox Bỏ đồ thị ( )C ứng với x<2.

−

=

− có đồ thị ( )C Một tiếp tuyến của ( )C với hoành độ tiếp điểm lớn

hơn 1, cắt Ox,Oy tại A và B sao cho ∆OAB cân Khi đó diện tích ∆OAB bằng

⇒  = chỉ cóx0 = ⇒2 y0 =3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Phương trình tiếp tuyến: y y− 0 = f x′( ) (0 x x− 0)

+

=

− có bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó tạo với hai

trục tọa độ một tam giác cân?

=

− có đồ thị ( )C Gọi M là điểm tùy ý trên ( )C và S là tổng khoảng

cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( )C Khi đó giá trị nhỏ nhất của S là

Dấu bằng xảy ra khi x0 = +2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2 2

Câu 88 [2D1-3] Số đường tiệm cận của hàm số 2 3

1

x y x

3lim lim

1

x y

− với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Phương trình đã cho có ac= − <1 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt

=



 =



Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( )0;1 ; B(2; 3− ) ⇒( )AB y: = − +2x 1

Theo đề đường thẳng AB vuông góc với : d y=(2m−1)x+ +3 m nên −2 2( m− = −1) 1 3

4

m

Câu 93 [2D1-3] Đồ thị của hàm số y= − +x3 3x2+5 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam

giác OAB với O là gốc tọa độ.

3

Lời giải

Chọn D

Ta có: y′ = −3x2+6x Cho y′ =0 ta được: 0

2

x x

⇔ Phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt x , 1 x khác 1.2

2

33

m

m m

+

=

− ( )C Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=2x m+

cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho góc ·AOB nhọn là

Câu 96 [2D1-3] Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x( ) =m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

( )C ở phía trên trục hoành (kể cả các điểm trên trục hoành), lấy đối xứng phần đồ thị ( )C ở phía dưới

trục hoành qua trục hoành, bỏ phần đồ thị ( )C ở phía dưới trục hoành.

Phương trình f x( ) =m là phương trình hoành độ giao điểm của ( )C′ và đường thẳng ( )d :y m= Dựa vào đồ thị, ta có:

Phương trình f x( ) =m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

4

m m

−

=+ có đồ thị ( )C ( m là tham số) Với giá trị nào của m thì đường m

thẳng y=2x−1 cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho m AB= 10

Câu 98 [2D1-3] Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Tìm m để phương trình f x( )+ =m 0 có nhiều nghiệm thực nhất

m m

m m

m m

Phương trình f x( )+ =m 0 có nhiều nghiệm thực nhất

⇔ ( )C cắt d tại nhiều điểm nhất

⇔ ( )C cắt d tại 2 điểm phân biệt

đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Suy ra: Phương trình ( )1 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−∞ −; 1), có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng

(−1;2), có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (2;+∞)

Mà ( )1 là phương trình bậc 3 nên ( )1 có 3 nghiệm

x x x

Câu 101 [2D1.5-3] (NSL-BG-L1-1819) Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M x y , ( 0; 0) x0 <0 thuộc đồ thị hàm số

+

=+

0 0

21

11

x

x x

Ta có g t′( ) = − + < ∀ ∈ t 1 0, t 2; 2 2 nên hàm số g t nghịch biến trên 2;2 2( )  .

Suy ra max[ ]1;5 f x( ) max2;2 2 g t( ) g( )2 7

x m y

−

′ =

+ −

m y

x m y

x m nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 4) và (11;+∞) khi y′ <0 với ∀ ∈x (−∞ −; 4)

và (11;+∞)

( )2

301

Do m∈¢ nên m∈ −{ 10; 9; ; 2− } nên có 13 giá trị của m

Câu 105 [2D1.3-3] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y= x3− +3x 2m−1 trên đoạn [ ]0; 2 là nhỏ nhất

Giá trị của m thuộc khoảng

Câu 106 [2D1.4-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

m m

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình − +x3 3x2 =m và − +x3 3x2 = −m 2 phải

có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2 ) là

0< − < < ⇔ < <m 2 m 4 2 m 4

Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa mãn (là m=3)

Câu 108 [2D1-4] Phương trình 2x+ +1 x x2+ + +2 (x 1) x2+2x+ =3 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho đúng ∀ ∈ −x [ 1;1] khi và chỉ khi bất phương trình ( )* đúng ∀ ∈t [ ]0;1 ⇔ + ≥ ⇔ ≥m 1 3 m 2.

Câu 110 [2D1.5-4] Cho phương trình 3 2 3 3

Từ bảng biên thiên ta thấy để phương trình có 3 nghiệm thì 1< <m 5 ⇒ =m {2; 3; 4} .

Câu 111 [2D1.5-4] Cho hàm số y= f x liên tục trên ( ) ¡ và có đồ thị như hình vẽ Gọi m là số nghiệm của

phương trình f f x( ( ) ) =1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với f x( ) =a, 1− < <a 0 từ đồ thị dễ thấy phương trình f x( ) =a có 3 nghiệm

Với f x( ) =b, 0< <b 1 từ đồ thị dễ thấy phương trình f x( ) =b có 3 nghiệm

Với f x( ) =c, 2< <a 3 từ đồ thị dễ thấy phương trình f x( ) =c có 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.

Câu 112 [2D1.2-4] Cho hàm số y= f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số( )

Từ đồ thị ta có: hàm số y= f x có ba điểm cực trị nên ( ) f x′( ) =0 có ba nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị ta cóf x( ) =0 có ba nghiệm phân biệt.

=

Câu 113 [2D1.5-4] Cho hàm số 3 2

y ax= +bx + +cx d có đồ thị ( )C Biết rằng ( )C cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt có hoành độ x1 >x2 > >x3 0 và trung điểm nối 2 điểm cực trị của ( )C có hoành độ

133

3ax +2bx c+ =0 có hai nghiệm phân biệt x , i x và hai nghiệm này cũng chính là hoành độ của hai j

⇔ − = ⇔ = −b a.Mặt khác do giả thiết ta có phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 có ba nghiệm phân biệt x , 1 x , 2 x nên 3

x x x

a b c d

1 2

Đồ thị hàm số g x qua điểm ( ) (−2; 2) nên

g x′ Đồ thị hàm số y= f x′( ) và g x′( ) được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng f ( )0 − f ( )6 <g( )0 −g( )6 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h x( ) = f x( )−g x( )

trên đoạn [ ]0;6 lần lượt là

g x′

Để hàm số cot 2

cot

x y

−

=

− có đồ thị ( )C Gọi I là giao điểm

của hai đường tiệm cận Tiếp tuyến ∆ của ( )C tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Khi đó tiếp tuyến ∆ của ( )C tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào?

:

22

y

x x

M là trung điểm của AB

▪ IAB∆ vuông tại I nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

Câu 118 [2D1.3-4] (VĨNH YÊN-VPU-L1-1819) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao

cho giá trị lớn nhất của hàm số