Tom tat kien thuc on tap toan 12 HK1

TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.. Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai 4.. Phương trình bậc hai chứa th

TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12

Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Định lí Viet thuận 2 Định lí Viet đảo Phương trình bậc hai (𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎)

 Tổng 2 nghiệm: 𝑆 = 𝑥1+ 𝑥2 =−𝑏

𝑎

 Tích 2 nghiệm: 𝑃 = 𝑥1 𝑥2 = 𝑐

𝑎

Nếu 𝛼, 𝛽 là hai số có: {𝛼 + 𝛽 = 𝑆

𝛼 𝛽 = 𝑃 thì chúng là 2 nghiệm phương trình:𝒙𝟐−

𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎

3 Điều kiện nghiệm của phương trình

bậc hai

4 Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa

điều kiện cho trước

 Có 2 nghiệm trái dấu⇔ 𝑎 𝑐 < 0

 Có 2 nghiệm cùng dấu⇔ {𝛥 > 0

𝑃 > 0

 Có 2 nghiệm cùng dương ⇔ {

𝛥 > 0

𝑆 > 0

𝑃 > 0

 Có 2 nghiệm cùng âm ⇔ {

𝛥 > 0

𝑆 < 0

𝑃 > 0

 𝑥1 < 𝑎 < 𝑥2

⇔ {𝑥𝑥1− 𝑎 < 0

2 − 𝑎 > 0⇔ {

𝛥 > 0 (𝑥 1 − 𝑎)(𝑥 2 − 𝑎) < 0

 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑎

⇔ {𝑥𝑥1− 𝑎 < 0

2 − 𝑎 < 0⇔ {

𝛥 > 0 (𝑥1− 𝑎) + (𝑥2− 𝑎) < 0 (𝑥1− 𝑎)(𝑥2− 𝑎) > 0

 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2

⇔ {𝑥𝑥1− 𝑎 > 0

2 − 𝑎 > 0⇔ {

𝛥 > 0 (𝑥1− 𝑎) + (𝑥2− 𝑎) > 0 (𝑥1− 𝑎)(𝑥2− 𝑎) > 0

Kiến thức 2: ĐẠO HÀM

1 Hàm thường gặp

(𝐶)′ = 0

(𝑥)′ = 1

(𝑥𝑛)′ = 𝑛 𝑥𝑛−1

(√𝑥)′ = 1

2√𝑥

(1

𝑥)

′

= −1

𝑥2

2 Hàm lượng giác

(𝑠𝑖𝑛 𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

(𝑐𝑜𝑠 𝑥)′ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥

(𝑡𝑎𝑛 𝑥)′ = 1

𝑐𝑜𝑠2𝑥 (𝑐𝑜𝑡 𝑥)′ = − 1

𝑠𝑖𝑛2𝑥

3 Hàm mũ-logarit

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎

(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

1 Hàm thường gặp

(𝑢𝛼)′ = 𝛼𝑢𝛼−1 𝑢′ (√𝑢)′ = 𝑢

′

2√𝑢 (1

𝑢)

′

=−𝑢′

𝑢2

2 Hàm lượng giác

(𝑠𝑖𝑛 𝑢)′ = 𝑢.′𝑐𝑜𝑠 𝑢 (𝑐𝑜𝑠 𝑢)′

= −𝑢′ 𝑠𝑖𝑛 𝑢 (𝑡𝑎𝑛 𝑢)′ = 𝑢

′

𝑐𝑜𝑠2𝑢 (𝑐𝑜𝑡 𝑢)′

′

𝑠𝑖𝑛2𝑢

* Quy tắc:

(𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′

(𝑢 𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑣′ 𝑢

(𝑢

𝑣) =

𝑢′ 𝑣 − 𝑣′ 𝑢

𝑣2

* CT Tính nhanh:

1 (𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑)′ = 𝑎𝑑−𝑏𝑐

(𝑐𝑥+𝑑) 2

2 (𝑎𝑥

2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 + 𝑒 )

′

=𝑎𝑑𝑥

2+ 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑒 − 𝑑𝑐 (𝑑𝑥 + 𝑒)2

3 ( 𝑎𝑥

2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1)

′

=(𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏)𝑥

2+ 2(𝑎𝑐1− 𝑎1𝑐)𝑥 + (𝑏𝑐1− 𝑏1𝑐) (𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1)2

4 Ứng dụng

1 Phương trình tiếp tuyến

𝑦 = 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0

(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)′ = 1

𝑥 𝑙𝑛 𝑎

(𝑙𝑛 𝑥)′ = 1

𝑥

3 Hàm mũ-logarit

(𝑎𝑢)′ = 𝑢 ′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎 (𝑒𝑢)′ = 𝑢′ 𝑒𝑢

(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢)′ = 𝑢′

𝑢 𝑙𝑛 𝑎

(𝑙𝑛 𝑢)′ = 𝑢′

𝑢

+ (𝑥0; 𝑦0)là tọa độ tiếp điểm + 𝑓′(𝑥0) là hệ số góc

2 Ứng dụng trong vật lí

Một chuyển động với quãng đường 𝑠(𝑡)có:

+ Vận tốc: 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) + Gia tốc: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)

Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

 Các bước khảo sát

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’

không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch

biến

 Áp dụng giải phương trình

+ Nếu 𝑓 tăng (giảm) và𝑓(𝑥0) = 𝑎 thì phương

trình 𝑓(𝑥) = 𝑎 có nghiệm duy nhất là 𝑥 = 𝑥0

+ Nếu 𝑓 tăng và 𝑔 giảm và𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) thì

phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) có nghiệm duy

nhất là 𝑥 = 𝑥0

+ Nếu 𝑓 tăng (giảm) trên tập xác định

D thì: f u( )  f v( )  u v (ví i u,v D) 

 Cách 1: Dùng BBT

(Tương tự các bước như mục 1)

 Cách 2: Dùng y’’

Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm các nghiệm 𝑥𝑖 của y’

Bước 4: Tính 𝑦′′

Bước 5: Tính 𝑦′′(𝑥𝑖)

Bước 6: Kết luận

𝑦′′(𝑥𝑖) < 0 ⇒ 𝑥𝑖 là điểm cực đại

𝑦′′(𝑥𝑖) > 0 ⇒ 𝑥𝑖 là điểm cực tiểu

 Max, min trên đoạn [a;b]

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’

hoặc là điểm mà y’ không xác định trên

khoảng (a,b)

Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)

Bước 5: So sánh và kết luận Max, min

 Max, min trên khoảng hoặc nửa

khoảng

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’

không xác định trên khoảng (a,b)

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận Max, min

 Tiệm cận ngang

Bước 1: Tính 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞𝑦 = 𝑦1

⇒ 𝑦 = 𝑦1 là tiệm cận ngang

Bước 2: Tính 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞𝑦 = 𝑦2

⇒ 𝑦 = 𝑦2 là tiệm cận ngang

Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có

một TCN

 Tiệm cận đứng

Bước 1: Tìm những điểm 𝑥0là những điểm không xác định của hàm số( với hàm phân thức thường là nghiệm của mẫu)

Bước 2: Kiểm tra điều kiện: 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑥0+𝑥 = ±∞ hoặc

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑥0−𝑥 = ±∞

⇒ 𝑥 = 𝑥0 là tiệm cận đứng

Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ

Số nghiệm 𝑦′ 1 Hàm số bậc ba𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑(𝑎 ≠ 0)

2 nghiệm

(2 cực trị)

1 nghiệm

(0 cực trị)

Vô nghiệm

(0 cực trị)

Số nghiệm 𝑦′ 2 Hàm số bậc bốn trùng phương 𝑦 = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐(𝑎 ≠ 0)

O

x

y

y

y

y

y

y

3 nghiệm

(3 cực trị)

1 nghiệm

(1 cực trị)

3 Hàm phân thức bậc nhất 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑, (𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 ≠ 0)

+ Đồ thị

không có cực

trị

+ Có tâm đối

xứng là giao

điểm 2 tiệm

cận

4 Các dạng toán liên quan đến đồ thị

 Tương giao hai đồ thị (tìm giao

điểm)𝒚 = 𝒇(𝒙); 𝒚 = 𝒈(𝒙)

Bước 1: Tìm nghiệm 𝑥0 của phương trình

hoành độ giao điểm𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Bước 2: Thay vào công thức 𝑓(𝑥) hoặc 𝑔(𝑥)

 Phương trình tiếp tuyến

Công thức: 𝑦 = 𝑦0+ 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) (𝑥0; 𝑦0) là tọa độ tiếp điểm

𝑓′(𝑥0) Là hệ số góc

Được tung độ 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0)

⇒Giao điểm 𝑀(𝑥0; 𝑦0)

* Các trường hợp đặc biệt:

+ Giao với trục hoành (trục Ox): 𝑦 = 0

+ Giao với trục tung (trục Oy): 𝑥 = 0

* Các trường hợp đặc biệt:

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

⇒ 𝑓′(𝑥0) = 𝑎 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 𝑑: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

⇒ 𝑓′(𝑥0) 𝑎 = − 1

Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

1 Tịnh tiến đồ thị hàm số 2 Suy biến đồ thị

Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)có đồ thị là đường cong(𝐶)

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒂: Tịnh tiến (𝐶)lên

trên 𝑎 đơn vị

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙) − 𝒂: Tịnh tiến

(𝐶)xuống dưới 𝑎 đơn vị

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒂): Tịnh tiến

(𝐶)sang trái 𝑎 đơn vị

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒂): Tịnh tiến

(𝐶)sang phải 𝑎 đơn vị

Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)có đồ thị là đường cong(𝐶)

 Đồ thị hs 𝒚 = −𝒇(𝒙): Lấy đối xứng (C)

qua Ox

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(−𝒙): Lấy đối xứng (C)

qua Oy

 Đồ thị hs 𝒚 = 𝒇(|𝒙|):

+ Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶)bên phải Oy, bỏ phần bên trái

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) được giữ lại qua Oy

 Đồ thị hs 𝒚 = |𝒇(𝒙)|:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶) nằm trên 𝐴(2; −3), bỏ phần đồ thị(𝐶) phía dưới 𝐴(2; −3)

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) bị bỏ qua 𝑦 =

2𝑥−1 1−𝑥

 Đồ thị hs |𝑦| = 𝑓(𝑥) ⇔ {𝑓(𝑥) ≥ 0

𝑦 = ±𝑓(𝑥) + Giữ nguyên phần đồ thị (𝐶) nằm trên 𝑦 =

2𝑥−1 𝑥−1 ;, bỏ phần đồ thị nằm phía dưới𝐴(2; −3) + Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶)được giữ lại qua

𝑦 = 2𝑥−1

1−𝑥

Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT

1 Lũy thừa

 Định nghĩa

Lũy thừa mũ nguyên dương:𝒂𝒏 (𝑎 ∈ ℝ)

Lũy thừa mũ nguyên âm: 𝒂−𝒏 = 𝟏

𝒂 𝒏 (𝑎 ≠ 0)

Lũy thừa mũ hữu tỉ: 𝒂𝒎𝒏 = √𝒂𝒏 𝒎

( 𝑎 > 0)

 Tính chất

𝑎𝛼 ⋅ 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼+𝛽

𝑎𝛼

𝑎 𝛽 = 𝑎𝛼−𝛽

(𝑎𝛼)𝛽 = 𝑎𝛼.𝛽

(𝑎𝑏)𝛼 = 𝑎𝛼⋅ 𝑏𝛼

(𝒂

𝒃)

𝜶

=𝒂

𝜶

𝒃𝜶

2 Căn bậc n

 Định nghĩa

Số a là căn bậc n của b nếu 𝑎𝑛 = 𝑏

 Chú ý:

+ Số dương b có 2 căn bậc chẵn: ± √𝑏𝑛

+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: 𝑛√𝑏

+ 𝑛√0 = 0(∀𝑛 ∈ ℕ ∗, 𝑛 ≥ 2)

 Tính chất

Với a, b là các số dương:

√𝒂 𝒏 √𝒃𝒏 = √𝒂𝒃𝒏

√𝒂 𝒏

√𝒃

𝒏 = √𝒂

𝒃

𝒏

(𝒃 > 𝟎)

( √𝒂𝒏 )𝒎 = √𝒂𝒏 𝒎(𝒂 > 𝟎)

√ √𝒂𝒏

𝒎

= √𝒂𝒎𝒏

√𝒂𝒏

𝒏

|𝒂| 𝒏Õ𝒖𝒏𝒄𝒉½𝒏

3 Logarit

 Định nghĩa

Với 2 số dương 𝑎, 𝑏và 𝑎 ≠ 0: 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ⇔

𝑎𝛼 = 𝑏

Logarit thập phân:𝑙𝑜𝑔10𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑔 𝑏

Logarit tự nhiên: 𝑙𝑜𝑔 𝑒𝑏 = 𝑙𝑛 𝑏

 Tính chất

𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑎 = 1 𝒍𝒐𝒈 𝒂𝟏 = 𝟎

𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂𝒃 = 𝒃

𝒍𝒐𝒈 𝒂𝒂𝜶 = 𝜶

 Quy tắc tính

Lôgarit cu ̉ a tích: log ( )a b b1 2 loga b1loga b 2

Lôgarit cu ̉ a thương: 1

2

loga b  loga b  loga b b

Lôgarit cu ̉ a lũy thừa: loga b loga b

Đổi cơ số:

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎⇔ 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

Đặc biệt: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 1

𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎; logab 1loga b



4 So sánh hai lũy thừa và logarit

 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

+ Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒂𝜶 < 𝒂𝜷 ⇔ 𝜶 < 𝜷

+ Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒂𝜶 < 𝒂𝜷 ⇔ 𝜶 > 𝜷

 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số

dương)

+ Nếu 𝒎 > 𝟎: 𝒂𝒎 < 𝒃𝒎⇔ 𝒂 < 𝒃

+ Nếu 𝒎 < 𝟎: 𝒂𝒎 < 𝒃𝒎⇔ 𝒂 > 𝒃

 So sánh hai logarit cùng cơ số

+ Nếu 𝒂 > 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃𝟐 ⇔

𝒃𝟏 < 𝒃𝟐

+ Nếu 𝟎 < 𝒂 < 𝟏: 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃𝟏 < 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃𝟐 ⇔

𝒃𝟏 > 𝒃𝟐

Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1 Hàm số lũy thừa 2 Hàm số mũ 3 Hàm số logarit

 Dạng tổng quát

𝑦 = 𝑥𝛼 với 𝛼 ∈ ℝ

TXĐ:

+ 𝛼nguyên dương: 𝐷 = ℝ

+ 𝛼 nguyên âm hoặc bằng 0: 𝐷 =

ℝ\{0}

+ 𝛼 không nguyên: 𝐷 = (0; +∞)

 Đạo hàm

(𝑥𝛼)′ = 𝛼 𝑥𝛼−1

Đối với hàm hợp:

(𝑢𝛼)′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′

 Dạng tổng quát

𝑦 = 𝑎𝑥

, (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

TXĐ: 𝐷 = ℝ

 Đạo hàm

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎

Đặc biệt: (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

Đối với hàm hợp:

(𝑎𝑢)′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 𝑙𝑛 𝑎

Đặc biệt: (𝑒𝑢)′ = 𝑒𝑢 𝑢′

 Dạng tổng quát

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

TXĐ: 𝐷 = (0; +∞)

 Đạo hàm

(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)′ = 1

𝑥 𝑙𝑛 𝑎

Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑥) ′ =1

𝑥

Đối với hàm hợp:

(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢)′ = 𝑢

′

𝑢 𝑙𝑛 𝑎

Đặc biệt: (𝑙𝑛 𝑢) ′ =𝑢′

𝑢

Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình mũ 2 Phương trình logarit

 Phương trình mũ cơ bản

Dạng TQ: 𝑎𝑥 = 𝑏với 0 < 𝑎 ≠ 1

Nghiệm:

+ Nếu 𝑏 ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu 𝑏 > 0 thì 𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

 Một số phương pháp giải

- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số

là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1)

- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)

- Logarit hóa

 Phương trình logarit cơ bản

Dạng TQ: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏với 0 < 𝑎 ≠ 1

Điều kiện: 𝑥 > 0

Nghiệm:𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑏

 Một số phương pháp giải

(Chú ý đặt điều kiện phương trình)

- Đưa về cùng cơ số

- Đặt ẩn phụ

- Mũ hóa

Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Bất phương trình mũ 2 Bất phương trình logarit

 Bất phương trình mũ cơ bản

Dạng TQ: 𝑎𝑥 > 𝑏 (với 0 < 𝑎 ≠ 1)

(hoặc𝑎𝑥 < 𝑏; 𝑎𝑥 ≥ 𝑏; 𝑎𝑥 ≤ 𝑏)

Nghiệm:

+ Nếu b<0:

BPT 𝑎𝑥 < 𝑏vô nghiệm

BPT 𝑎𝑥 > 𝑏vô số nghiệm

+ Nếu b>0:

𝑎𝑥 > 𝑏 𝑎𝑥 < 𝑏

𝑎 > 1 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

0 < 𝑎

< 1

𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

⇒Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo

chiều

 Một số phương pháp giải

- Đưa về cùng cơ số

- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)

- Logarit hóa

 Bất phương trình logarit cơ bản

Dạng TQ: 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥 > 𝑏 (với 0 <

𝑎 ≠ 1) (hoặc 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥 < 𝑏; loga xb; 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥 ≤ 𝑏 )

Điều kiện: 𝑥 > 0

Nghiệm:

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 > 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 < 𝑏

𝑎 > 1 𝑥 > 𝑎𝑏 𝑥 < 𝑎𝑏

0 < 𝑎

< 1

𝑥 < 𝑎𝑏 𝑥 > 𝑎𝑏

⇒Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo chiều

 Một số phương pháp giải

(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)

- Đưa về cùng cơ số

- Đặt ẩn phụ

- Mũ hóa

Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2 (Pitagpo)

𝑏2 = 𝑎𝑏′

𝑐2= 𝑎𝑐′

ℎ2

= 𝑏′𝑐′

1

ℎ2 = 1

𝑏 2+ 1

𝑐 2

Định lí cosin:

𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝐴

=𝑏

2+ 𝑐2− 𝑎2

2𝑏𝑐

Định lí sin: 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑅

𝑎ℎ = 𝑏𝑐

𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐶 = 𝑏

𝑎

𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐶 = 𝑐

𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐𝑜𝑡𝐶 =𝑏

𝑐

𝑐𝑜𝑡 𝐵 = 𝑡𝑎𝑛 𝐶 = 𝑐

𝑏

Độ dài trung tuyến: 𝑚𝑎2 =2(𝑏2+𝑐2)−𝑎2

4

Diện tích tam giác:

𝑆 =1

2𝑎ℎ𝑎 =

1

2𝑏ℎ𝑏 =

1

2𝑐ℎ𝑐

𝑆 = 1

2𝑏𝑐𝑆𝑖𝑛𝐴 =

1

2𝑎𝑐𝑆𝑖𝑛𝐵 =

1

2𝑎𝑏𝑆𝑖𝑛𝐶

𝑆 = 𝑝𝑟 (r là bán kính đường tròn nội tiếp)

𝑆 =𝑎𝑏𝑐

4𝑅 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

(với 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐

2 )

Chú ý: Với tam giác đều cạnh a

Diện tích:𝑺𝜟𝑨𝑩𝑪=𝒂𝟐√𝟑

𝟒

Trung tuyến: 𝑨𝑴 =𝒂√𝟑

𝟐

3 Diện tích các hình

Hình vuông cạnh a

Diện tích: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2

Đường chéo: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝑎√2

Hình chữ nhật cạnh a, b

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎 𝑏

Hình thoi

= 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝐴

= 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝐵

Hình bình hành

= 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝐴

Hình thang

2

Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích: 𝑉 = 1

3𝐵 ℎ

Khối chóp tam giác đều S.ABC

Thể tích: 𝑉 = 𝐵 ℎ

A

D

A

D

A B

C

D

A

D

H

A

D

H

C

D

S

O

+ Đáy là tam giác đều

+ Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy

+ Các cạnh bên bằng nhau

Khối chóp tứ giác đều S.ABCD

+ Đáy là hình vuông

+ Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD

+ Các cạnh bên bằng nhau

Tỉ số thể tích

𝑉𝑆.𝐴′𝐵′𝐶′

𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =

𝑆𝐴′

𝑆𝐴.

𝑆𝐵′

𝑆𝐵 .

𝑆𝐶′ 𝑆𝐶

Lăng trụ đều:

+ Là lăng trụ đứng + Đáy là đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau

Khối hộp chữ nhật: 𝑉 = 𝑎 𝑏 𝑐

Khối lập phương: 𝑉 = 𝑎3

Kiến thức 12: MẶT TRÒN XOAY

Đường sinh: 𝑙 = 𝑂𝑀

Đường cao: ℎ = 𝑂𝐼

Bán kính đáy: 𝑟 = 𝐼𝑀

Diện tích xung quanh:𝑆𝑥𝑞 = 𝜋𝑟𝑙

Diện tích đáy:𝑆đ = 𝜋𝑟2

Diện tích toàn phần:𝑆𝑡𝑝 = 𝑆đ+ 𝑆𝑥𝑞 =

𝜋𝑟2+ 𝜋𝑟𝑙

Thể tích: 𝑉 = 1

3𝜋𝑟2ℎ

Đường sinh: 𝑙 = 𝐷𝐶 Đường cao: ℎ = 𝐴𝐵 = 𝑙

Bán kính đáy: 𝑟 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶

Diện tích xung quanh: 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑟𝑙

Diện tích toàn phần:

𝑆𝑡𝑝 = 𝑆2đ+ 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟𝑙 = 2𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙)

A

D

B

C

r

r

h

S

C’

C

Thể tích: 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

3 Mặt cầu

Diện tích mặt cầu: 𝑆 = 4𝜋𝑅2

Thể tích khối cầu:𝑉 =4

3𝜋𝑅3

Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Chú ý:

2 Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn bán kính 𝑟, ta có: 𝑂𝐻 2 =

𝑅 2 − 𝑟 2

Download tài liệu ôn tập và luyện thi tuyển chọn : www.luyenthivn.com

P P

P

OH>R (P) và mặt cầu S(O; R) không có điểm chung

OH=R (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H

OH<R (P) cắt mặt cầu S(O; R)

O O

O

H

H

H

R

O