Cực trị số phức, min max số phức và thủ thuật phá đảo

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.... Xem hướng dẫn trên lớp?[r]

Trang 2

Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com

Trang 3

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0 z z  0 R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c

Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x; y 

biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

yx

Trang 4

Thỏa mãn 2a  z1 z2

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ)

Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2 2a , z 1 z2 2a

và z ,z1 2  c, ci

) TìmMax, Min của P z z0

1 2 Min 0

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.

Trang 5

Xem hướng dẫn trên lớp.

Dạng 3: Tả phí lù.

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun,

và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Trang 6

Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình

Trang 7

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức zlà elip

2 2

2  2 2 1



y x

Cách 1: Gọi z x yi ta có z 2 3 i x yi 2 3 i x 2y 3i

.Theo giả thiết x 22y 32 1

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I2; 3

bán kính R1.

Ta có z   1 i x yi    1 i x 1 1 y i  x12y 12

.Gọi M x y ; 

Trang 8

Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của w   z 1 i

Ta có z 2 3 i  1 z 2 3 i  1 z 1 i 3 2 i  1 w 3 2  i 1

(Đường tròn tâm I3, 2 ,  R1

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi   z a bi

22







z i A

2 2

12

Trang 9

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Trang 10

Hàm số liên tục trên   1;1 và với

Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

13.4

Trang 11

Hướng dẫn giải

Gọi z x yi; x;y

Ta có: z  1 z z. 1Đặt t 1, ta có 0z  1 z 1 z     1 2 t 0; 2 

Trang 12



xy

B

13.2



xy

C

16.9



xy

D

9.2

Trang 13

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Trong đó w z 2i (quay về dạng bài toán 1)

Trang 14

Trang 15

, với I2; 2

là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường

biểu diễn bởi điểm Msao cho MA ngắn nhất với A1, 3

là điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2i 1   z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường

Trang 16

.Đặt w x y i. Khi đó

Trang 17

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2  2 2  2 2 

6 sintt4 costt  6 4 sin cos

Khi đó w iz  1 a bi i    1 1 b ai  w  a2b12  a2a12

Trang 18

Dễ thấy  

2 2

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

nên tập hợp cácđiểm M z 

1

y x

Vậy max z OA OA ' 5 và minz OB OB ' 3 Chọn D

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

A max z 1. B max z 2. C max z  2. D max z 3.

Hướng dẫn giải.

Trang 19





z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Trang 20

A

3min| |

Trang 21

44

Trang 22

1

4.13

Trang 24

Giá trị của

2018 2

bán kính R2

Ta lại có : IM IO OMIM IO 1OM3

Do đó : zmax  3 MM2

Trang 25

1 min  1 

và z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

a b

.Vậy mmin z1 z2 2 2 2

tâm là gốc tọa độ O, bán kính3

Trang 26

A

32



P

22



P

D P 3

Lời giải Chọn D.

nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng SM2m2

A S82 B S34 C S68 D S36

Lời giải Chọn C.

Trang 27

Ta có z 1 2 i  x 12y 22  4 x 12y 22 16

.Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I1; 2

, bán kính R4

Ta có z  2 i x22y12 AP

, với A2; 1 

.Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:

max 2 min 1

 1  2  1  22

Gọi A B M, , là điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB

vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của

P MA MB MO MA MO MB

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, khi đó ta có

Trang 28

Áp dụng bài toán trên ta có P36 2, chọn B.

Ta có thể chứng minh bài toán  

Trang 29

Gọi điểm biểu diễn của z là M Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I0; 1 ,  R1.

Trang 30

suy ra A B,nằm trên đường tròn  C

có tâm I4; 3

, bán kính R1 và AB là đường kính của đường tròn

 C

.Như vậy Pz1 z2 OA OB

 OA OB OA OB  OA OB  

 Pz  z OA OB  

Dấu bằng xảy ra khi OA OB

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1

Trang 31

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2

, R1.Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành

ta luôn có  2 5 là:

A

73

37

Gọi z x yi x y ;  ,M x y ; 

là điểm biểu diễn số phức z

Trang 32

Trang 33

Ta có | |z min OMmin, | |z max OMmax.

Đường thẳng OI có phương trình y 0

OIcắt( )C tại 2 điểm phân biệt A B, có tọa độ là nghiệm của hệ

2 2 2 3 00

nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức



và giá trị nhỏ nhất của z2i Giá trị biểu thức M2m2 bằng

15

Trang 34

Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com Lời giải:

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin d O AB ; 

nhưng do góc OAB là góc tù nên

không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM AB

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra, tập hợp điểm M x y ; 

biểu diễn cho

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C

tâm I3; 4

và bán kính R 5.Lại có: P z 22 z i 2  x22y2 x2 y 12 P 0 4x2y 3 P0

, đây là phương trình của đường thẳng : 4x2y 3 P0

Trang 35

P

25350



P

415



P

185

Vì 8x E8y E25 8  x F8y F25 0

nên hai điểm E F, nằm cùng phía đối với đường thẳng 

Trang 36

Đường thẳngEE đi qua điểm E1; 1 

Dấu bằng xảy ra  Mlà giao điểm của E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3 

Vậy

612

và M là điểm biểu diễn cho số phức

w, ta có w 3 2  i 2 (a 3)2(b 2)2 4suy ra tập hợp

điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I3; 2

bánkính R2

Trang 37

Ta có PMA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Trang 38

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1

.Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2

, R1.Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành

Gọi z x yivới x y,  

Ta có: z 2 3i 2 2 x22y 32 8

Suy ra, tập hợp điểm M x y ; 

biểu diễn cho

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn  C

tâm I2; 3

và bán kính R 8.Gọi A1; 6 

32

Trang 39

Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ IJ R.

Lời giải Chọn D

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 4 i 2

là đường tròn  C

có tâm I2; 4

bán kính R2

Đường OI có phương trình y2x cắt đường tròn  C

tại hai điểm

Trang 40

21;13



a

,

2 34

3

2

z z cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

Trang 41

cos 3 cos 22 sin 3 sin 2

21;13

Bảng biến thiên:

   1;1

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Tính giá trị của biểu thức



P

22



P

Lời giải Chọn D.

Trang 42

A maxT 8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT 8

Lời giải Chọn B.



M

B M 1 13 C M4 5 D M9

Lời giải Chọn C.

Trang 43

37

Trang 44

25 86

Trang 46

26

1.2

2

MN I

giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pz1  z2

Khi đó mô đun của số phức

2

MN I

Suy ra M m i .  40 36  76.

5 3

Trang 47

Ta gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ( ; )

5 3

2

i z   2  2 5

32

x y

Suy ra

5( ; ) (0;3);

M n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tz z z 1 z z Tính modun của số 2

Trang 48

Ta có , ,A B O thuộc đường tròn ( ) C và ABO đều  T Min2OA2

Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK    KA KB OK 



M

B M 1 13 C M4 5 D M9

Lời giải Chọn D

Trang 49

Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z z thỏa mãn điều kiện1, 2

.+) Gọi z2  a bi, a b,  

.Khi đó z2  i 10  1 a 102b 12 1

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn 2   C x 102y 12 1

Trang 50

Vậy z1 z2 MN3 5 1  z1 z2 min 3 5 1

và z2 iz1 Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức

1 2

z z

Lời giải Chọn A.

Ta có z1 z2 z1 iz1  1 i z 1  2.z1

Đặt z1 a bi với (a b,  ) theo đề bài ta có a12b 12 4

(*) Ta cần tìm GTLN của

2 22

Trang 51

Ta có z1 3i5 2  2iz1 6 10i 4

.Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm trên đường tròn  T1

có tâm I16; 10 

và có bánkính là R1 4

Vậy giá trị lớn nhất của MNI I1 2R1R2  313 16

Trang 52

điều này cho thấy M z 

đang nằm trên hình tròn tâm I3; 2

bán kính bằng 1

điều này cho thấy N w 

đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng

 là trung trực của đoạn AB với A1; 2 ,  B 2;1 

22

Trang 53

12

z

1ax

Trang 54

Ta có

3 3 3

31

Ta có

31

10;

Trang 55

Giả sử M A B, , lần lượt biểu diễn số phức z x yi z z, ,1 2

Từ giả thiết 3z 3i  3ta có:

33

NênMthuộc đường tròn tâm

Để T maxthì OM max và (MA MB )max nên OM2R và M nằm

chính giữa cung nhỏAB và

20;

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của z w, với M x y ; 

Trang 56

13min

Lời giải Chọn A.

Đặt 2iz1 a bi, 3 z2  c di a b c d ; ; ;  

, gọi A a b B c d ;  , ; 

Trang 57

M là giao của của BC và ( )T  M(2; 2 3) a b 4   3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 58

Gv: Lương Văn Huy Giaovienvietnam.com Chọn C.

Chọn A B M, , lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện 2 z1  2 z2 z1 z2 6 2  OA OB 6

, AB6 2.Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có:

Dấu " " xảy ra khi O M M A, , ,  thẳng hàng

Khi đó tam giác OBA có OB6, BA BA6 2 và OBA  1050

Trang 59

Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2x y  3 0

37

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	3,74 MB