Chuyên đề Cực trị của một biểu thức - Tài liệu Toán 9 - hoc360.net

Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:.[r]

CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, )

a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :

 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để

A = 0 ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2  2

A = 2  x -2 = 0  x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

1/ Tam thức bậc hai:

Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

2

x

x  =

5 6 9

2 2

Ta thấy (3x – 1)2  0 nên (3x – 1) 2 +4  4 do đó 2

1 (3x 1)  4 

6 8 3 2 2

) 2 (

minA = 2  y = 1  x – 1 = 1  x = 2

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =

1

4 3 2





x x

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A =

1

1 4

4 2

2 2

x

=

1

) 2 ( 2 2

Tìm GTLN A =

1

1 4 4 4 4

2

2 2

= 4 -

1

) 1 2 ( 2 2



 b,

2 3 2

B

2

x x

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1  x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)2  0 Hay: x2 - 2xy + y2  0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )  1  x2 + y2

 2 1

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x Thay y = x – 1 vào A

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 21

Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới

1 0

b

a b b

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a2 ab b 2  3a 3b 3

Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT:

c) C x2  4y2  9z2  4x 12y 24z 30 ( Gợi ý C = x+2 22y 323z 42 1 )

d) D= 20x 2  18y2  24xy 4x 12y 2016 ( Gợi ý

 2  2  

D= 4x-3y  2x 1  3y 2  2011 )

Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : a2 b2 c2 d2 a b c d    (*)

IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :

1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +22 minA= 2

y=0 x=2

2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức

này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

x A x





 (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 1

A nhỏ nhất và ngược lại)

A = 1 khi x = 0 Do đó maxA =1 khi x = 0

3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các

- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y  N thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất  x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất  x – y lớn nhất

giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)

Do 1  y  x  2004 nên 1  x-y  2003

Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002

max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002

Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

===========================================================

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau

VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN của biểu thức :

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)

Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai

Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y  1 4 5 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4x y,

y x Ta có : 4x y 2 4x y 4

y  x  y x 

Dấu “=” xẩy ra khi

1 4

2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1 Tìm GTNN của BT :

2 2

Ta có :

2 2

Do đó Min x2  6x 17   8 x 3 Vậy Max A = 1

8  x3Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không

đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được

f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số

Chẳng hạn: Từ x2  4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất  x2 = 4x – 4  (x – 2 )2 = 0  x

=2

Đi đến min x2 = 4  x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0  x =0

Lời giải đúng: Ta có x + y =4  x + y =16 2 (1)

Ta lại có : x - y 0 2   x -2xy+y 0 2 2  (2)

Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 )  16 => A = x2 + y2  8

V y Min A = 8 khi v ch khi x = y = 2 ậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2 à chỉ khi x = y = 2 ỉ khi x = y = 2.

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử

và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2

Lời giải đúng: ĐKTT x là x 0 do đó : A = x + x  0 => Min A = 0  x 0

VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x      với x, y , z là các số không âm và x

4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1

Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3 x.y.z  3 (1)

3 , , 0

Lời giải sai: Ta có: 2 ax     2 ax.2 bx 4 ab

chứng minh x y z 3

y z x  ta chỉ cần chứng minh : y z y 1

z x  x  (1)(1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó

tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3 A  A ≤

3 2 9

y x z

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các

số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

Từ (*) => A = -x 2 2  2x  8 -x 2  x 2 2 -x 2  2x 8 -x 2  x 2

= -2x2 3x 10 2  x 2 4   x x   1 2   x

= 2  x x   2  x 1 4   x  2 2 2  x x   2  x 1 4   x

=  4  x22 2 2  x x   2  x 1 4   x  x 1 4   x2 2  4  x2  x 1 4   x 2  2 2

Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A  x 4   y 3  biết x + y = 15

Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.

VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x - 9

5x

x x

Rễ thấy: 4 – x - y 2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6

=> A = x y( 4 - x - y ) 2 đạt GTNN khi x2y đạtGTLN

3 3

2

2 x+y x+x+2y

2 3

B x y

2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.

1

x x

Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2 6 5

 ( với 0 < x < 1 )

Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:

VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1

x  y  (a và b là hằng

số dương)

2 2