Phuong phap chung: + Bước 1: Tìm tập hợp H các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện *.. + Bước 2; Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M eH sao cho khoảng cách OM lớn nhất,
Trang 1
CONG THUC VA THU THUAT TINH NHANH
BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất của |+|
Phuong phap chung:
+ Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*)
+ Bước 2; Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M e(H) sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt y \
phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun
lớn nhất của số phức z là
1
A || =1 max BỊ2|_ =~ max 2 o} a! „
2 08 2
lz|, bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2 => Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt Phụ
phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun
nhỏ nhất của số phức z là
v2 2
C.|„„=2 =
Lời giải:
lz|.„ =0, điểm biểu diễn là điểm O=> Chọn đáp án A
Ví dụ 3: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt va
phang toa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn
nhất của số phức z là
Se #8 @
Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên
OA <OB=›|z|< OB =3
Vậy |z|_=3=> Chọn đáp án C
Trang 2a8
oy
\_/
tS
ie WAS
AS
\ oH ZF
Ví dụ 4: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là phần tô đậm (kể cả đường viền) Môđun nhỏ
nhất của số phức z là
A.|a| =1 BỊ||„ =-
C.]2|„„ =5: D.|l| =
*e9 + *s
Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên
OA >OB=|z|> OB =1
Vậy lx| s =1=> Chọn đáp án A
Ví dụ 5: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt 4 phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất
của số phức z là #” Ï %
A Iz ~
C lz
3
1
1
Loi giai:
Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b=2 = lz =1=> Chon dap an A
Vi dụ 6: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt ví
phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn
nhất của số phức z là
A lz =1 SA) 2
1 3
C |z]_ == 2 a „=>: 2
Loi giai:
Elip có độ dài trục lớn bằng 2z=4=>|z| =2=> Chon dép dn B
Ví dụ 7: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là yh đường thắng A như hình vẽ Khi đó, l có giá trị nhỏ nhất bằng
Loi giai
Phương trình đ:x+—1=0
Med
Vì Međd:x+-1=0=>M(t;1-!)
Suy ra |z|= | +(1-t}) =2 ~2t+ = | [P-'+2)*;= 2 = + a
1 Vay lz| = + => Chon dap an D
Trang 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn |z=(a+b¡)| =c, (c>0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của lz-
Lời giải:
|z—(a+bi)|=c, (c>0)=> Tập hợp các điểm M biểu diễn số yA
phức z là đường tròn có tam I(a;b) và bán kính R=c : M;
Khi d6: —
min|z|=OM, =O1-R= Va? +b? -c|
Tim toa d6 diém M,, M, (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ
+ Phương trình đường tròn (C) quỹ tích của diém M biéu dién sé phite z là:
(C):(x-a} +(y-b) =¢
+ Phương trình đường thắng đ đi qua hai điểm O, | 1a: d: Ax+By+C =0
Khi đó, M,, M, là giao điểm của (C) và đ
Ax+ Bụ+C =0
So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O, khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó
ứng với điểm M, và điểm còn lại là điểm M,
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn |z,.z+z;|=r, (r >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |z|
max|z| = |—4| + —
Giai
min|z|=l#2|-r”
2 z,|
Vi DU MINH HOA
Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn |z—2—4i|= V5 thi |z| có giá trị lớn nhất bang
Lời giải:
Tập hợp các điểm M(z) 1a đường tròn có tâm 1(2;4) va ban yh
Vậy max|z|=OM =Ol + R=2? +4? +5 =3V5 J5
= Chọn đáp án A { sles l
Câu hỏi bổ sưng 1: |z| có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 3\ /5/1
Trả lời: Phương trình đường thẳng OI là ự= 2x 7 >
Trang 4
Tọa độ hai diém M, N 1a nghiém cua hé phuong trinh:
2 (x-2)'+(y-4}' =5” Ì(x-2Ÿ'+(ax-4Ÿ =5” Ì#-4x+3=0 7 -
6
+ S6phirc z c6 médun I6n nhat la z =3+6i tng voi diém M(3;6)
+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z=1+2¡ ứng với điểm N(1;2)
Ví dụ 2 [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]:
Nếu các số phức z thỏa mãn \(1 +i)z+1 -7i| = V2 thi lz| có giá trị lớn nhất bằng
Lời giải:
(+)[z+ 7| =2
141 ,
<>|1+illz-(3+ 47) = V2 ©v2|z-(3+4i|=2 ©|z-(3+4i)|=1 Tập hợp các điểm M(z) là đường tròn có tâm I(3;4) và bán kính R =1
Vậy max|z|=OlI +R =3? +4? +1=6 = Chon dap án D
Ta có: (i+¡)z+1-7|=2
Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn vui =1 tì lx| có giá trị nhỏ nhất bằng
Lời giải:
Ta có: HH =1©|-iz+1|=1©|-i| z+— =1©|z+i|=1©|z-(-i)|=1
Tập hợp các điểm M(z}) là đường tròn có tâm /(0;-1) và bán kính R=1
Vậy max|z| =Ol + R= J0 +(-1Ÿ +1=2=> Chon dap an B
Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z—z,|= r,„(r, >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P=lz-z|
Lời giải:
Muốn tìm các số phức sao cho P_ ux’ P.„„ thì ta đi tìm hai giao ( I điểm M,, M, cua dudng tròn (I,r,) với đường thẳng AI Ø7 M, x
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn |z,.z-z,|=z,,(r, >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P=|z-z|
h
fal
+—L va minP=
lzị|
z
-È—z z
ev Zz
z
1
Trang 5
Vi DU MINH HOA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z—3+2¡|=2 Giá trị nhỏ nhất của |z+1—¡| lần lượt là
Lời giải
Ta có: |z—3+2i|=|z—(3-2i]|=2=r, và |z+1-i|=|z-(-1+i
=>|z, -z,|=|(3-2i)-(-1+i)}=5=r, = min|z+1-i|=5-2=3= Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z -5ï| <3, số phức có lz| nhỏ nhất thì có phần ảo bằng
bao nhiêu?
Tập hợp các diém M(z) 1a dudng tron có tâm
1(0;5) và bán kính R =3
Vì
z=2¡ ứng với điểm M, (0;2)
=> Chọn đáp án C
z|=OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là
>
4324797 1234
Ví dụ 3 [Trích đề thi HK 2 - THPT Phan Đình Phùng - HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa
mãn |z—2+2i|=1, gọi z=a+bi, (a,be 8) là số phức có |z+4i| đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị
biểu thức P=a(b+2)
` V PP
Ta có: |z~2+2i|=|z=(2-2i)Ì|=1= I(2;-2) và |z+ 4|=|z-(-4i)|= A(0;-4)
——— —
z, ^
Tập hợp các điểm M(z) là đường tròn có tâm !{2;-2) và bán kính r, = 1
Phương trình đường thang JA là: x-/-4=0
Tọa độ hai điểm AM, N là nghiệm của hệ phương trình:
(x-2) +(y+2) =5 “ (x-2)'+(x-4+2}' =1” (x-2} =2
Trang 6
AM, =| 2+—=;2+—= “trưng,
= AM, > AM, = M, là điểm biểu diễn số phức cần tìm
1 _ |a=2-—
b=-2——> 2
Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn |z—z,|+|z—z„|= k, (k >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
của P=||
Lời giải:
Goi M(z), M,(z,), M,(z,)
Khi đó: |z—z,|+|z—z,| =k <> MM, +MM, =k <> M eelip (E) nhan M,, M, lam tiéu diém va c6
độ dài trục lớn bằng k= 24
Vì ở chương trình Toán 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm la F, (-c;0), F (c;0) nên thường
đề bài sẽ cho đưới dạng: |z—c|+|z—c| = k, (0<e,ke R)
= Merlip (E) nhận F (-c;0)
lz
F.(c;0) lam tiéu diém va c6é độ dài trục lớn bằng k=2a “1
a
bax
lb] =p= Se —4e nin 2
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn |z,.z+z;|+|z,.z—z;|=k, (k>0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất của P =|z|
kK? -4|z,[
Giải: max|z| = và min|z| " — 2| m[ -
1
2|5¡|
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z+4|+|z—4|= 10, gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất |z| Khi đó, giá trị biểu thức P= M—m” bằng
lời giải
10
Áp dụng công thức trên, ta có: MF 9 = ’ ‘ ho — 2 =P=M-nẺ =5-3 =-4 ae
=> Chon dap an D
Trang 7
Bài toán 4: Cho hai số phức z,,z, thoa man z,+z,=m+ni va lz, —z,| =p>0 Tìm giá trị lớn
nhất của P =|z,|+|z;|
Lời giải:
Giả sử: , REM +2, =a+ct(bd)i=m+ni| 15” -
z,=c+di c+d=n
Ta cé: z,-z, =a—c+(b-d)i=>|z, -z,) =(a—c) +(b-d) =p
Khi dé: P=|z,|+|z,|= Va? +b? +Ve? +d “((£ +P)| (a +b°)+(c? +đ?)| = J2(z +b’ +c? +d’)
i (a+c} +(b+d) +(a—c) +(b-d) _ MẺ+n?+pÌ
Suy ra: 2(a’ th +c” +d°)=m° +n +p’ => P< Jn tn +p’ => max P= fm? +n +p’ |
Vi DU MINH HOA
Ví dụ [Trích đề thỉ thử chuuên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức phức z,,z, thỏa mãn
z, +z, =8+6i và |z, —z,|=2 Tim giá trị lớn nhất của P =|z,|+|z;|
oe =e a a
Ap dung công thức trên ta được: P= \z,| + iz, | < V8? +6? +2? = 2/26 => Chon đáp án C