SKKN Toán 9 ThCS

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 9

CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Bộ môn giảng dạy : Toán học

Khen thưởng : Lao động tiên tiến cấp cơ sở

5 Một số phương pháp giải phương trình vô ti 6

7 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị

tuyệt đối

8

12 Phương pháp đưa về dạng tổng của đa thức không âm bằng

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Tên đề tài:

Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải

phương trình vô tỷ ở lớp 9 THCS

2 Lí do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng

mô hình ứng dung của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sốngxã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dung Toán học là một môn họcgiữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một mônhọc khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn đểchiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toánviệc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vữngphương pháp dạy học Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trongviệc truyền thu các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làmthường xuyên

Dạy học sinh học Toán không chi là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạyhọc sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hìnhthành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các emtích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiệnnhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởilẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm,đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếucủa việc học toán

Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trongnhững chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán

“Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cu thể hóa vấn đề về phươngtrình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đạisố ở lớp 9 Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắmbắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo

Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô ti lại là một trở ngạikhông nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loạiphương trình này Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó Đặc biệt, vớinhững học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đềquan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được nhàtrường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự

kì thi các cấp, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề đặt ra là làm thế nào cóthể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô ti? Và khi gặp bất cứmột dạng toán nào về phương trình vô ti các em cũng có thể tìm ra cách giải mộtcách tốt nhất?

Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương

pháp giải phương trình vô ti” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS

2.Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài.

- Phạm vi đề tài: Hình thành cho học sinh các phương pháp,kỹ năng giải bàitoán giải phương trình vô ti

-Thời gian thực hiện đề tài: 12 tiết (trong đó có 1 tiết kiểm tra)

3 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, tôi sử dung các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Phương pháp khảo sát thực tiễn

– Phương pháp phân tích

– Phương pháp tổng hợp

– Phương pháp khái quát hóa

– Phương pháp quan sát

– Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN III:

QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I Khảo sát tình hình thực tê

Trong quá trình giải phương trình vô ti học sinh còn rất lúng túng, kể cảnhững học sinh tham gia trong hai đội tuyển thì những dạng phương trình vô ticũng là một dạng toán mới

II. Nội dung chủ yêu của đề tài.

Để giúp học sinh tiếp thu và giải tốt loại toán này, trước hết tôi đưa ra cáchgiải chung của loại phương trình này Sau đó đưa ra các kiến thức cơ bản cần thiếtsử dung để giải phương trình Tôi phân loại các dạng toán cu thể từ dễ đến khó đểhọc sinh nắm chắc phương pháp giải Cu thể như sau:

1.Các bước giải phương trình (dạng chung)

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học

- Giải phương trình vừa tìm được

- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm

Chú ý: Với những phương trình có ĐKXĐ là x  R (trong quá trình biếnđổi không đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại

2Các kiên thức cơ bản về căn thức.

- Một số âm không có căn bậc chẵn

- Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để đượcphương trình tương đương phải đặt điều kiện

A

A 2

2 2

2

A A B

2

x g x f

x g

Giải (2) tìm điều kiện của ẩn

Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện của ẩn để kết luận nghiệm

x h

x g

x f

(2)

( [ ) ( ).

(

x h x g x

Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 1

Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận nghiệm

x p

x h

x g

x f

(2)

Bình phương hai vế đưa về dạng: F(x)  G(x)  H x

Tuỳ theo từng trường hợp để giải phương trình vô tỷ (căn bậc n)

0

x g

x f

Đặt ẩn phu a = f(x)  g(x) (a > 0)

=>

2

) ( ) ( )

( ).

(

a x g x

Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải rồi giải

4 Một số phương pháp giải phương trình vô ti

vô nghiệm

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8

+) 2x 1  x 2  1 Do x ≥ 2 nên VT 5còn VP=1 => PT vô nghiệm

Vậy PT đã cho vô nghiệm

Ví du 8 Giải phương trình: x 1 2(x 1) x 1       1 x 3 1 x    2 (1)

Giải

ĐKXĐ: | x | ≤ 1:

0 1

1

x x

x x

0 1 1

2

x x

+) x 1  1  0  x 1  1  x 2 (TMĐK)

+)1  x3 x2 x 1  0  xx2 x 1 0  x 0 ( không TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

2

5 1 1 0 0

1

0 1

0

2

x x x

y y y y

1 4

4 1 1

2

2

2 2

x x x

x x x

x x

x x

x x

v u

4 3

5

2 8

2 5

3 8

5 25

2

v u

2 4

1 1

x

(TMĐK)

1 4

2 1

x

(TMĐK)Vậy pt có tập nghiệm S=1  ; 3

Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2( TMĐK)

5 3 2

t tu vt

uv

v tu

vt

uv

u tu

vt

uv

Từ đó ta có hệ:

(u v)(u t) 2 (1) (v u)(v t) 3 (2) (t u)(t v) 5 (3)

u t (6)

3 30

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm

Ví du 25 Giải phương trình x 1   5x 1   3x 2 

Cách 1 điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1   5x 1   vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2  ≥ 1  vế phải luôn dươngVậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Ta có: Vế trái ≥ 4  9 2 3 5    Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra  x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)

6 1 8 1

6 1 8 1

6 1 8 1

6 1 8 1

x

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt

Ví du 28: Giải phương trình x 4x 1 2

x 4x 1





e) áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phương trình rồi kết hợp với

phương trình đã cho kết luận nghiệm.

Ví du 29: Giải phương trình

2 1

2

1 1

=> x2 x 1   x2 x 1 x 1

Kết hợp với phương trình (1) ta được: 0  x2 - x + 2 < x+1

 (x-1)2 < 0 Đẳng thức xảy ra khi x=1 (thoả mãn điều kiện (*))

Thử: Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất củaphương trình (1)

Đưa phương trình đã cho về dạng chính tắc ax2 + bx +c = 0 ) (a 0)

Ví du 30: Giải phương trình

x2 - 7x + 2(x+2) x 3  24 (1)ĐKXĐ: x  -3

y1 =

4 8

2 3

2 3

'

 = 4 + 3 = 7

=> x 3   2  7 < 0 (loại)

7 2

3   



 x +3 = 4 + 7 - 4 7  x = 8 - 4 7 < -3 (loại)Với y2 =

3   



0 3 1

3   



<=> x + 3 = 1 + 3 + 2 3 <=> x = 1 + 2 3 (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy x = 1 + 2 3 là nghiệm của phương trình (1)

Ví du 31: Giải phương trình

x + y + z + 4 = 2 x 2  4 y 3  6 z 5 (1)ĐKXĐ: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 (*)

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là:

Ví du 32 Giải và biện luận phương trình: x 2    4 x mx = 3; y = 7; z = 14

+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2  m2 ≤ 4  0 m 2  �

+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2  m2 ≥ 4  m ≤ –2Tóm lại:

– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x m2 4

2m





– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Ví du 33 Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2  3 x m

– Nếu  3 m 0  � hoặc m  3: phương trình vô nghiệm

Ví du 3 4: Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x  x   m m

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0    có hai nghiệm: x1 = 0,

+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1  m) 2

+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m

5 Một số sai lầm khi giải phương trình vô tỷ.

Thường học sinh hay mắc sai lầm khi giải phương trình vô tỷ mà có căn bậcchẵn, đó là:

- Không tìm tập xác định khi giải:

- Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương các phương trình.

Ví du: Giải phương trình: 3x 2  2x 3  5x 1 (1)

x x

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2; x =

6 1

Phân tích sai lầm: ở đây học sinh không chú ý đến điều kiện có nghĩa của

- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các phương trình.

ở ví du trên: các phương trình (2) và (3) không tương đương mà

x x

x x

Như vậy phương trình (3) tương đương với phương trình (2) khi x<

2

1

=>x = 2 cũng không là nghiệm của phương trình (1)

1 , 2 2 1 0

2 13 6

2

1 4

4 1 13 17 10

0 2

1

2 1

2 2

x

x x

x

x x x x

x

x

.Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vô nghiệm

6 Bài tập ôn tập

Giải các phương trình:

a)3 25 x 3 3  x  4

b) 1  x 4 x  3

Kết quả đối chứng sau đây sẽ chứng tỏ điều đó

Trước khi đề tài thực hiện

Sau khi thực hiện đề tài

Ngoài ra các bài toán này gặp trong kỳ thi chọn học sinh giỏi của trường , họcsinh giỏi cấp Huyện giải bài toán này đạt kết quả cao

Bài học kinh nghiệm :

1 Với mỗi bài toán cần hướng dẫn cho các em nắm chắc phương pháp giải các bàitoán cơ bản , vận dung giải thành thạo các dạng của loại toán đó sau đó mới đưacác bài tập nâng cao yêu cầu học sinh phải độc lập suy nghĩ và suy nghĩ sáng tạomới giải được

2 Cần thường xuyên ôn lại loại toán đó

3 Cần hướng dẫn học sinh tìm tòi nhiều cách giải và biết chọn cách giải hay nhất

để trình bày vào bài làm

6 Rèn cho học sinh nếp suy nghĩ khoa học , không bao giờ thoả mãn với kết quảđã đạt được

7 Kỹ năng trình bày lời giải bài toán phải chặt chẽ có cơ sở khoa học trong phạmtrù kiến thức cho phép của bậc học

Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô ti trong khuôn khổchương trình cấp THCS, mà cu thể là những phương pháp giải phương trình vô ticủa lớp 9 Ngoài những phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn cònnhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế nên đề tàicủa tôi không thể không còn những sơ suất Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đónggóp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Phùng xá ngày 2/5/2013

Xác nhận của thủ trưởng cơ quan Tôi xin cam đoan SKKN này do tôi tự

viết không sao chép của ai

Người viết

Phạm Thị Chiến

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

I Hội đồng khoa học trường:

- Nhận xét: ……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

- Xếp loại: ……… ………

II Hội đồng khoa học Phòng Giáo duc: - Nhận xét: ……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

………

………

………

- Xếp loại: ……… ………

III Hội đồng khoa học Ngành: - Nhận xét: ……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

……… ………

- Xếp loại: ……… ………

******************************