Mục lục 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn 6 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.. Mà đa số c
Trang 1
Mục lục
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn 6
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn 10 Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định 11
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình 16
Trang 2
A - Đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài
1 Cơ sở lý luận
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu rất cao Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục Nh vậy, học sinh có thể phát huy đợc năng lực sáng tạo, t duy khoa học,
từ đó xử lý linh hoạt đợc các vấn đề của đời sống x hội ã
Một trong những phơng pháp để giúp học sinh đạt đợc điều đó đối với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan Làm đợc nh vậy có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức
2 Cơ sở thực tiễn
Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đờng tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9 Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đờng tròn là nh thế nào, còn ít biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?
Ta biết rằng có nhiều phơng pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đ-ờng tròn Khi biết một tứ giác nội tiếp đđ-ờng tròn thì suy ra đợc góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đờng tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau Với phơng pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó
Với lý do đó, tôi đ chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “ã Phơng pháp tứ giác nội tiếp”
II.Mục đích nghiên cứu
Trang 3
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó nh sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình
Nh vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy
đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đờng tròn”
III Nhiệm vụ của đề tài
+ Đa ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa
+ Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập minh họa
IV Giới hạn đề tài
Đề tài này đợc gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9
Trang 4
B – Giải quyết vấn đề
I – Ph ơng pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phơng pháp cơ bản sau:
1 Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có đợc với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu nh:
- Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II)
- Sách bài tập Toán 9 (tập II)
- Tóan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh
- Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 – NXB Giáo dục
- Các bài tóan hay và khó về đờng tròn – NXB Đà Nẵng
2 Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trờng THCS Đại
Đồng và bồi dỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trờng
3 Phơng pháp đánh giá.
Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em
Trang 5
II
– Nội dung cụ thể
1 – Kiến thức cơ bản
1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp
* Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn
đỉnh nằm trên đờng tròn đó.
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD
O
C B
D A
Hình 1
1.2.Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp đợc một đờng tròn.
1.3 Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc) Điểm đó
là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc α
1.4 Một số bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình.
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn ⇔∠A + ∠C = 1800 hoặc ∠B + ∠D = 1800
Trang 6
2 - Bài tập minh hoạ
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
Ph
ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC, 2 đờng cao BB’,
CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp
O C' B'
A
Chứng minh:
Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC
Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 900 (GT)
OB’ là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ OB’ = OB = OC = r (1)
Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 900 (GT) Tơng tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)
⇒◊ BC’B’C nội tiếp đờng tròn
Cách 2: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒∠ BB’C = 900
CC’ ⊥ AB (GT) ⇒∠ BC’C = 900
⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dới một góc vuông
⇒ B’, C’ nằm trên đờng tròn đờng kính BC Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đờng tròn đờng kính BC
Trang 7
Ph
ơng pháp 2: Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp
(O), 2 đờng cao BB’, CC’
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp
I
O C' B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a ⇒∠ C + ∠ BC’B’ = 1800
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒∠ D + ∠ BC’I = 1800
⇒◊ BDIC’ nội tiếp đờng tròn
Ph
ơng pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
Bài toán 3:
Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O) Trên
tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho
AM=CN
Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp
B
1
1
O
2
C M
N A
Chứng minh:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180 0
hoặc ∠B + ∠D = 180 0
Trang 8
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC
⇒∠ A1 = ∠ A2
∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
⇒∠A2 = ∠C1 nên ∠A1 = ∠A2 = ∠C1
Mà ∠A1 + ∠OAM = 1800 và ∠C1+ ∠OCN= 1800
⇒∠AOM = ∠OCN
Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
⇒ ◊ AMNO nội tiếp đờng tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dới cùng một góc)
Ph
ơng pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một
đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB Nối
M với D, M với C cắt AB lần lợt ở E và
P
Chứng minh tứ giác PEDC nội
tiếp đợc đờng tròn
C
O
B
D
M
Chứng minh:
Ta có : ∠ MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
ã đ(ADằ ẳ ) MEP
2
M à ã = đDMẳ
2
s DCP (góc nội tiếp)
Hay ã = đ(ADằ +ẳ )
2
DCP
Lại có : ẳAM MB=ẳ
Nên : ãMEP= ãDCP
Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp đợc đờng tròn
Trang 9
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ:
Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB
tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại
G; OH ⊥AD tại H
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên
F
H E
G
O
B
D
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện
AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC
Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO)
∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
⇒∠EAC = ∠ BFE
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tơng tự
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180 0
Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH)
∠OAH = ∠HOD (vì cùng phụ với ∠AOH)
∠HOD = ∠HGD ( vì cùng chắn cung HD)
⇒∠ OEH =∠HGD Chứng minh tơng tự ta đợc : ∠OEF = ∠FGC
Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC
⇒∠ FEH =∠HGD + ∠FGC
Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 1800
⇒∠ FEH + ∠HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp
Trang 10
Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ ờng tròn.
a Phơng pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đờng tròn Hai đờng tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đờng tròn thì chúng phải trùng nhau Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn.
b Ví dụ 1: (Bài toán về đờng tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong một
tam giác bất kì, ba trung điểm của
các cạnh, ba chân của các đờng
cao, ba trung điểm của các đoạn
thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở
trên một đờng tròn
l
O
M
H L
K
A
Chứng minh:
Ta có: ME là đờng trung bình của ∆AHC
ND là đờng trung bình của ∆BHC
⇒ ME = ND = HC/2
⇒ tứ giác MNDE là hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đờng trung bình của ∆HAB)
Mà CH ⊥ AB (GT)
⇒ ME ⊥ MN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE
Trang 11
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tơng tự ta đợc hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì ∠ MID = 900⇒ I ∈ (O; OM) Vì ∠ FLP = 900 ; ∠ NKE = 900⇒ L; K ∈ (O; OM) Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
1 Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn Đờng tròn tâm A bán kính AB cắt đờng thẳng BC ở điểm thứ hai E Đờng tròn tâm C bán kính CB cắt đờng thẳng
AB ở điểm thứ hai K Chứng minh rằng:
a DE = DK
b năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đờng tròn
2 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B, B’, D, F
∈ (O’)) Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và A’B’ H là giao điểm của MN là OO’ Chứng minh rằng:
a MN ⊥ OO’
b năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đờng tròn
c năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đờng tròn
Bài tóan 2 Chứng minh đ ờng tròn đi qua một điểm cố định.
a Phơng pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đờng tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đờng tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b Ví dụ 1:
Trang 12
Cho đờng tròn tâm O đờng kính
AB, điểm C cố định trên đờng
kính ấy (C khác O) Điểm M
chuyển động trên đờng tròn
Đ-ờng vuông góc với AB tại C cắt
MA, MB theo thứ tự ở E và F
Chứng minh rằng đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi
K F E
A
O
B C M
Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của đờng tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB
Nối K với F
Ta có ∠ F1 = ∠ A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)
∠ F2 = ∠ A ( cùng phụ với ∠ MBA)
⇒∠ F1 = ∠ F2
⇒ K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở ngoài
đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đờng tròn
Lấy điểm D nằm giữa B và C
Qua D vẽ một đờng thẳng
vuông góc với OD cắt AB,
AC lần lợt tại E và F
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đờng
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A
F
E
C
B
D
Chứng minh:
Ta có : ∠ EBO = 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
∠ EDO = 900 (GT)
Trang 13
⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dới một góc vuông
⇒◊ EBOD nội tiếp đờng tròn
⇒∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tơng tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đờng tròn
⇒∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Từ (1) và (2) ⇒∠ OFC = ∠ BEO
⇒◊ AEOF nội tiếp đờng tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đờng tròn (AEF) đi qua điểm O cố định
c Bài tập:
1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O2) đi qua I và tiếp xúc với AC tại C Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng tròn (O1) và (O2)
a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho
BD = CE Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A
Bài tóan 3 Chứng minh quan hệ về đại l ợng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lợng nh:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (nh hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia ) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là …
không đổi
* Định lý Ptô - lê mê.–
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đờng chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối
Trang 14
Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC BD =
AB DC + AD BC
Thật vậy
Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC = ∠
EAD
⇒∆ DAE ∆ CAB (g g)
⇒ AD AC =DE BC
C O
B
D
A
E
⇒ AD BC = AC DE (1)
Tơng tự: ∆ BAE ∆ CAD (g g)
⇒ CD BE = AC AB
⇒ BE AC = CD AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD BC + AB CD = AC DE + EB AC
⇒ AD BC + AB CD = AC DB (ĐPCM)
c Bài tập
1.Sử dụng Định lý Ptô - lê mê để chứng minh ( Định lý Các nô)– –
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác đó
2 Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng thẳng AH tại E
a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn
b.Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh:
∠ BAE = ∠ OAC và BE = CD
c Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng AM cắt OH tại G Chứng minh G
là trọng tâm của ∆ ABC
Trang 15
Bài tóan 4 Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
a Các bớc giải bài toán quỹ tích:
B
ớc1 : Chứng minh phần thuận
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H
+ Giới hạn quỹ tích B
ớc 2: chứng minh phần đảo
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
B
ớc 3: Kết luận
b Ví dụ 1 :
Cho hình vuông ABCD, tâm O
Một đờng thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N Trên CD lấy điểm K
sao cho DK = DM Gọi H là hình
chiếu của K trên xy Tìm quỹ
2
1 l
K
H
N O
B A
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
⇒∠ M1 = ∠ H1 = 450 và ∠ N2 = ∠ H2 = 450
⇒∠ DHC = 900
Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính DC
Giới hạn:
Vì đờng thẳng xy quay quanh O nhng phải cắt hai cạnh AD và BC lần lợt tại
M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đờng tròn đờng kính CD nằm trong hình vuông
Phần đảo:
