Với khả năng khiêm tốn của mình, là một giáo viên nhiều năm dạy lớp 9, tôi nhận thấy phần giải hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn là một phần quan trọng trong chph-ơng trình đại số lớp 9..
Trang 1A Đặt vấn đề
Hiện nay, trong các trờng THCS vấn đề giảng dạy kiến thức cơ bản, nâng cao cho học sinh lớp 9 để các em có một nền tảng vững chắc khi bớc vào PTTH
là một vấn đề đang đợc quan tâm đặc biệt Đây là một trong những nhiệm vụ quan trọng của công tác giảng dạy đồng thời là nỗi khó khăn cho những giáo viên giảng dạy lớp 9
Đối với riêng bộ môn toán, vấn đề trên lại càng phức tạp bởi đây là một môn học khó, kiến thức đa dạng, phong phú rất rộng Với khả năng khiêm tốn của mình, là một giáo viên nhiều năm dạy lớp 9, tôi nhận thấy phần giải hệ
ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn là một phần quan trọng trong chph-ơng trình đại số lớp 9 Tuy nhiên để thấy đợc điều đó thì phải bắt đầu bằng việc năn vững những dạng bài tập cơ bản và thông qua đó học sinh sẽ đợc tiếp cận các dạng và phát triển, nâng cao thêm năng lực và t duy, các kỹ năng tính toán, lòng say mê nghiên cu khoa học
Trong thế giới nhỏ bé của đề tài này, tôi xin đợc hệ thống hoá lại các kiên thức về phần giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn số và đa ra một số phơng pháp thích hợp để giải các bài tập về phần này, nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức và có kỹ năng giải các bài tập một cách nhanh chóng và có hiệu quả tốt
B Nội dung nghiên cứu
I Lý do chọn đề tài:
Làm thế nào để học sinh có thể tự mình tìm ra đợc đờng lối giải một bài toán? Đó là nghệ thuật của mỗi ngời thầy và cũng là một trong những yêu cầu cấp bách trong việc đổi mới phơng pháp dạy và học hiện nay Chúng ta vẫn biết rằng không thể có một đờng lối nào, một cách giải nào đợc nảy ra từ một nền tảng trông không hoặc nghèo nàn của tri thức Chính vì vậy khi dạy về giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, các tính chất, các điều kiện tồn tại Đồng thời học sinh cũng phải biết biến đổi các phép toán một cách thành thạo và phải biết lựa chọn phơng pháp giải thích hợp lý đối với từng bài
Để giúp cho việc học tập phần này của học sinh đợc thuận lợi hơn, tôi xin trình bày toàn bộ hệ thống kiến thức các dạng bài tập cơ bản đối với phơng pháp
cụ thể sau đây
II Cơ sở lý luận:
Trớc biết học sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản về hệ phơng trình
nh sau:
1 Định nghĩa:
Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn số:
ax + by = c và a x + b y = c
Trang 2Mỗi phơng trình đều có vô số nghiệm Nghiệm chung vủa hai phơng trình đợc gọi là nghiệm của hệ phơng tình bậc nhất hai ẩn
2
ax + by = c ( )
a x + b y = c ( )
2 Nghiệm và số các nghiệm của hệ , ý nghĩa hình học:
Mỗi phơng trình (1) hoặc (2) của hệ trên là một đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ
Mỗi nghiệm (1) hoặc (2) là toạ độ (x, y) của 1 điểm thuộc đờng thẳng (1) hoặc (2)
Nh vậy nghiệm của hệ phải là cặp (x, y) nghiệm đúng cả (1) và (2)
Đó là toạ độ (x, y) của các điểm chung của hai đờng thẳng (1) và (2) đợc vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Và số nghiệm của hệ là số điểm chung của 2 đờng thẳng (1) và (2) đó
VD1: Giải hệ phơng trình: 5x - 2y = 12 (3)
4x + y = 7(4)
Ta vẽ 2 đờng thẳng 5x – 2y = 12 và 4x + y = 7
Đây là đồ thị hàm số : y = + 5 x - 6
2 và y = - 4x + 7.
Có: a1= 5
2 và a2- 4 và a1a2
Và chúng cắt nhau tại điểm M (2; -1)
Vậy nghiệm của chúng là: x = 2y = -1
Nghiệm của hệ trên là duy nhất
(Vì 2 đờng thẳng phân biệt nếu cắt nhau
thì chỉ cắt duy nhất tại 1 điểm)
Để minh hoạ cnghiệm và số nghiệm của
hệ phơng trình ta xét thêm 2 ví dụ nữa
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
4x - 2y = 1 (5)
2x - y = 3 (6)
Vẽ hai đờng thẳng 4x – 2y = 1 và 2x –y = 3
Đây là đồ thị của hai hàm số:
y = 2x - 1
2 và y = 2x – 3.
Hai đờng thẳng (5) và (6) có cùng hệ số góc a = 2 và trung độ gốc khác nhau Vậy cúng song song với nhau Do đó 2 đờng thẳng không có điểm chung
7
-6
M(2; -1) -1
2
(4) (3)
Trang 3Hệ phơng trình vô nghiệm
x + y = 1 (7)
4x + 2y = 2 (8)
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình:
Vẽ 2 đờng thẳng:
X + y =1 và 4 x + 2y = 2
Đó là đồ thị hàm số: y = - x + 1
Hai đờng thẳng (7) và (8) trùng nhau
=> có vô số điểm chung
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm
* Hỏi oanh chèn tiếp vào đây có đúng ko?
3 Giải hệ phơng trình nhiều ẩn đơn giản
Ví dụ:
(1)
x = 2 + z
y = 2 + 3z
z - 3x - 2y = -2
(2)
x + 2y = 3z=11 2x + 3y + z= -2 3x + y + 2z = 3
.
Loại hệ này gồm 3 hay 4 phơng trình với 3 hay 4 ẩn số
Với loại này ta có thể rút 1 ẩn bất kỳ từ một phơng trình nào đó thế vào các phơng trình còn lại Khi còn 2 phơng trình với 2 ẩn số ta sẽ áp dụng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế để giải
4 Một số hệ phơng trình bậc cao:
Loại hệ này sau khi giải ta có thể đợc nhiều nghiệm với nhiều cách giải phải biến đổi dựa vào định lý Viết hoặc đặt ẩn phụ… sao cho sau đó đ sao cho sau đó đa về một dạng quen thuộc:
x + y = sx y = p
Theo định lý viết đảo thì x, y là nghiệm của phơng trình: X2 – SX + P = 0 với 2 khả năng sau:
* Nếu S2- 4P 0 thì nghiệm của hệ phơng trình là:
1/4 -1/2 3/2
-3 -2 -1
1 1 (7);(8)
(6)
Trang 42
S - S - 4p
x = X =
2
S + S - 4P
y = X =
2
2
2 1
2
S + S - 4p
x = X =
2
S - S - 4P
y = X =
2
* Nếu S2 – 4P < 0 hệ phơng trình đã cho là vô nghiệm
Ví dụ: Giải các hệ phơng trình sau:
(1) x + y = 5
x y = 6
(2) x + y - xy = 52 2
x + y = 5
Tóm tắt cách giải:
(1): x và y là nghiệm của phơng trình : X2 – 5X +6 = 0
-> x = 3y = 2
Hoặc x = 2y = 3
(2) x + y - xy = 52 2 x + y - xy = 52
x + y = 5 (x + y) - 2xy = 5
Đặt: x + y = a và x.y = b
Hệ trở thành: a - b = 52
a - 2b = 5.
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thể tìm đợc a, b áp dụng cách giải nh hệ (1) tìm đợc x,y
5 Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất với hệ số chữ
- Hệ phơng trình loại này học sinh phải ôn tập và nắm vững điều kiện để
hệ có nghiệm, Vô số nghiệm hay vô nghiệm
- Giải và biện luận phơng trình bậc nhất có hệ số chữ học sinh phải làm thành thạo
- Học sinh dựa vào 3 cách giait hệ phơng trình trên để giải
Ví dụ 1: Tìm a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất: x + y = 4
ax + 2y = 0
Hệ có nghiệm duy nhất khi: 1 1 a 2
a 2
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình: 2mx + m y = 32
2x + my = 3
Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
Giải
2
2mx + m y = 3 (1)
2x + my = 3 (2)
C1: Hệ trên vô nghiệm 2m = m2 3
Trang 5 m 1 .
Tơng tự hệ trên có vô số nghiệm khi và chỉ khi : m = 1
C2: Từ (2) => x = 3 - my
2 .
Thay vào (1): 2m.3 - my + m y = 32
2
3m – m2y + m2y = 3
oy = 3m – 3 (*) + Hệ đã cho có vô số nghiệm (*) có vô số nghiệm
m = 1
+ Hệ đã cho vô nghiệm (*) vô nghiệm m 1
Ví dụ 3: Tìm a để hệ phơng trình: x - ay = 1 (1)
ax + y = 2 (2)
Có nghiệm x > 0 và y> 0
Tóm tắt cách giải:
(1): > x = 1 + ay thay vào (2) ta đợc:
A(1 + ay) + y = 2 >a + a2y + y = 2 >y(1 + a2) = 2 – a
Vì 1 + a2 0 a nên y = 2 - a2
1 + a thay vào (1) ta có:
2
2 - a 1 + 2a
x = 1 + ay = 1 + a =
1 + a 1 + a
Để x > 0y > 0
2
1
1 + 2a > 0 a > - 1
2 - < a < 2
a < 2
2 - a > 0
1 + a
6 Một số bài toán giải nhờ lập hệ phơng trình:
Để giải loại bài tập này học sinh phải năm đợc tính chất đồ thị của (1) và (2) đồ thị của nó là đờng thẳng Mà hai đờng thẳng vẽ trong cùng 1 hệ trục toạ
độ chỉ có 3 khả năng: Cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau ỉng với các khả năng đó là số điểm chung, số nghiệm của hệ chơng trình
Phơng trình của đờng thẳng có dạng: y = ax + b
Muốn xá định đợc đờng thẳng ta phải xá định toạ độ của ít nhất là 2 điểm:
Ví dụ 1:
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A (1; 2); B (2; -1)
Bài giải:
Vì phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax = b
Và đờng thẳng đi qua A (1; 2) nên ta có: 2 = a 1 + b
Trang 6Vì đờng thẳng đi qua B (2; -1) nên ta có -1 = 2.a + b
Vậy a, b là nghiệm của hệ phơng trình:a + b2a + b = -1a = - 3b = 5 .
Vậy phơng trình đờng thẳng phải tìm là: y = -3x + 5
Ví dụ 2:
Với giá trị của k thì đờng thẳng y = kx + 1
a Song song với đờng thẳng y = 3x
b Đi qua A (-1; 0)
c Cắt hai đờng thẳng x = 1 và y = 2x + 1 tại 1 điểm
(Đờng thẳng kx + 1 đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng kia)
Ví dụ 3:
Xác định m, n của phơng tình: x2 + (2m – 5)x – 3n = 0
Sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1 = ;2 x = 3.2
Bài giải:
Vì x =21 là nghiệm của phơng trình nên ta có:
X2 + (2m – 5)x - 3m = 0 <=> 4m – 3n = 6
Vì x2 = 3 là nghiệm của phơng trình nên ta có:
32 + (2m – 5)3 – 3n = 0 -> 6m – 3n = 6
Vậy m, n là nghiệm của hệ phơng trình 4m - 3n = 6 m = 0
6m - 3n = 6 n = -2
7 Một số hệ phơng trình phức tạp đa đợc về PT bậc nhất 2 ẩn số;
Đây là hệ phơng trình nếu cứ biến đổi nh các hệ phơng trình khác thì sẽ phức tạp thêm và gây nhiều khó hăn trong quá trình giải Do đó phải có sự nhận xét trớc khi giải
Nhận xét sự liên quan giữa các đại lợng để tìm cách giải nh: Đặt ẩn số phụ sau đó đa về dạng cơ bản với 3 cách giải đã biết:
Ví dụ: Giải các hệ phơng trình:
(a)
1 - = 11
3 + = 54
Gợi ý: Đặt 1 = X; = Y(x 0, y 0)1
Ta có hệ X - y = 1
3X + 4Y = 5
Trang 7(b)
2 + 6 = 1,1
x - y x + y
4 - 9 = 0,1
x - y x + y
Gợi ý: Đặt 1 = X; 1 = Y x( y)
Ta có hệ: 2X + 6Y = 1,14X - 9Y = 0,1
(c) 2x + 3y = 122
3x - 2y = 2
Gợi ý: Đặt x2 = X > 0 yyyyyy
Ta có hệ: 2X + 3Y = 1
3X - 2Y = 2 (d) x - 4x + 4y = 022 2
x + 4xy + 4 = 0
=> x2 - 4x + 4y2 + x2 + 4xy + 4 =0 => (x - 2)2 + (x +2y)2 = 0 Vì (x - 2)2 0 ; (x + 2y)2 0
Nên ta có: x - 2 = 0 x = 2
x + 2y = 0 y = -1
8 Một số đề và lời giải tóm tắt;
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
(a)
2 + = 2,51
4 + = 5,5 3
ĐK: x 0, y 0
Đặt ẩn phụ và giải đợc x = 1, y = 2
(b)
4 + 1 = 1
x + 2y x - 2y
2 + 3 = 1
x + 2y x - 2y
ĐK: x 2y
Đặt ẩn phụ và giải hệ phơng trình ta đợc x = 2; y = -1
Bài 2: Giải hệ phơng trình: 2 x- 1 2 = 4
x - y = 5
Giải:
* Nếu x – 1 0 => x 1 hệ trở thành 2x + y = 4 x =3
x - y =5 y = 2
* Nếu x – 1 < 0 => x < 1 hệ trở thành
Bài 3: Xá định a, b để hệ phơng trình
ax + 4y = 5b - 10
3x + by = 7 - 4a
Có nghiệm là x = -4y = 3
HD: Thay x = - 4, y = 3 vào hệ ta đợc một hệ phơng trình có ẩn a,b Giải hệ phơng trình khi đó tìm đợc a,b
Trang 8Bài 4: Xác định các giá trị của m để hệ sau có nghiệm x > 0, y < 0.
2x + 3y = m
5x + y = -1
HD: - Giải hệ phơng trình trên ta tìm đợc x và y
- Giải hệ bất phơng trình x > 0y < 0
tìm đợc điều kiện của m
Bài 5: Xác định các giá trị của a,b để đờng thẳng y = ax + b
Song song với đờng thẳng y = 2x – 3 và đi qua điểm M (1; -3)
(ĐS: a = 2; b = - 5)
Bài 6: Giải hệ phơng trình: x - 2x + y = 02 2
2
x - 2xy + 1 = 0
Bài giải:
Từ hệ trên ta có: x2 – 2x + y2 + x2 – 2xy +1 = 0 <=> (x -1)2 + (x – y)2 = 0 Vì (x – 1)2 0, (x – y)2 0 nên x - 1 = 0x - y = 0
<= > x = y = 1 Bài 7: Giải hệ phơng trình:
1 = 1 - 1
xy = 1 1 + = 11 1 = 1 - 1
x + z = 2 1 + = 1 2 1 = - 2 1 1 = - 2 1 y = 6
y + z = 4 1 + = 1 4 2 - + 1 - = 1 1 4 z = 2
Bài 8: Bằng tính toán hãy chứng tỏ rằng các đờng thẳng
x + y – 1 = 0 2x – 5y + 1 = 0 4x – 3y = 1 Cùng đi qua 1 điểm
Bài giải:
Toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng: x + y – 1 = 0 và 2x – 5y + 1 = 0 là nghiệm của hệ phơng trình
4
x =
2x - 5y+ 1= 0 2x - 5y = -1 3
y = 7
Trang 9Cặp giá trị này thoả mãn phơng trình: 4x – 3y – 1 = 0 Vậy 3 đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm
Bài 9: Giải hệ phơng trình: xy (x + y) = 84
xy + x + y = 19
Bài giải:
Đặt: x + y = u
Xy = v
Ta có hệ phơng trình:
x = 3
x + y = 7
u = 7
y = 4
xy = 12
v = 12 v.u = 84
v+u-19 u = 12 x + y = 12 x = 6 - 29
Bài 10: Xác định m để phơng trình: x2 – mx + m + 11 = 0 có hai nghiệm x ,x1 2
thoả mãn hệ thức 2x + 3x = 231 2
Gợi ý:
Điều kiện để phơng trình trên có nghiệm là: Δ = m - 4 (m + 11) 02
hay: m2 – 4m – 44 0 (*)
giả sử: m thoả mãn điều kiện (*) Theo định lý viết và giả thiết ta có x , x1 2 là nghiệm của hệ:
2x + 3x = 23 (1)
x + x = m (2)
x x = m + 11 (3)
x = 3m - 23 2x + 3x = 23
x + x = m x = 23 - 2m
23)(23-2m) = m + 11 <=> m2 -19 + 90 = 0
Giải phơng trình ta đợc: m = 9; m = 10 1 2
(Cả hai giá trị của m để thoả mãn điều kiện (*)
Với m1 = 9 -> x1 = 4; x2 = 5 : xx , x1 2 thoả mãn điều kiện (1)
Với m2 = 10 -> x1 = 7; x2 = 2 : xx , x1 2 không thoả mãn điều kiện (1)
Vậy với m = 9 thì phơng trình có 2 nghiệm x ,x1 2 thoả mãn điều kiện:
2x + 3x = 23
Bài 11: Chứng minh rằng nếu 3 số x, y, z thoả mãn hệ phơng trình:
Trang 10x + y + z = a
1 + + = 1 1 1
thì một trong 3 số phải bằng a
Chứng minh
Vì: xyz 0; a 0
Từ: 1 + + = 1 1 1 yz + zx + xy = 1
Vì: x +y + z = a => 1 = 1
x + y + z a Vậy ta có: xy + yz + zx = 1
=> (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz
<= > (x + y)(xy + yz + zx) + zxy + yz2 + z2x – xyz = 0
<= > (x+y)(xy + yz + zx) + z2(x + y) = 0
<= > (x+y)(xy + yz + zx + z2)) = 0
<= > (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Suy ra:
- Nếu: x + y = 0 thì z = a
- Nếu: y + z = 0 thì x = a
- Nếu; z + x = 0 thì y = a
Nghĩa là một trong 3 số x, y, z phải có 1 số bằng a
Bài 12:
Giải hệ phơng trình: x + xy + y = 2 + 3 22 2 (1)
x + y = 6 (2)
Hớng dẫn
Nhân hai vế của phơng trình (1) với 2 rồi cộng với phơng trình (2) ta đợc
(x2 + 2yx + y2 + 2(x + y) + 1 = 11 + 6 2 <=> (x + y + 1)2 = (3 + 2 )2
Ta có hệ đã cho tơng đơng với:
x + xy + y = 2 + 3 2 xy = 2 2
x + y + 1= 3 + 2 x + y = 2+ 2
x + xy + y = 2 + 3 2 xy = 6 + 4 2
x + y + 1= -3 - 2 x + y = -4 - 2
* Qua các ví dụ trên đây ta thấy:
- Phơng pháp giải hệ phơng trình bằng đồ thị có u điểm là dễ nhận thấy hệ có nghiệm, vô nghiệm hay vô số nghiệm Nhng cũng sẽ gặp khó khăn nếu xác định
Trang 11nghiệm của hệ khi nghiệm đó là các số vô tỉ hay điểm cắt nhau ở xa góc 0 Do
đó với những hệ laọi này ta nên chuyển sang cách giải khác
3 Điều kiện tồn tại nghiệm:
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất: (- )
b
a a (=) ab - a b 0
- Hệ (I) có vô số nghiệm: (=) a = b = c
a b c
- Hệ (I) vô nghiệm: a = b c
a b c
* Các phơng pháp giải: Có 3 cách giải.
- Phơng pháp đồ thị
- Phơng pháp thế
- Phơng pháp cộng
IIi phân loại bài tập và cách giải:
1 Giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn số ở dạng I.
Đây là hệ phơng trình bậc nhất có hai ẩn số ta dễ nhận thấy cách giải Loại này không phức tạp ta chỉ cần sử dụng các định lý về phép biến đổi
t-ơng đt-ơng, các hệ pht-ơng trình có dạng nh sau:
- Giải các hệ phơng trình sau:
(1) 2x + y = 3
3x - y = 9
(2) 7x = 4y
x - y + 3 = 0
(3) 2 (x + y) + (x - y) = 4
x + y + 2 (x-y) = 5
Loại này dễ giải bằng hai phơng pháp cộng và thế
Vì vậy học sinh trung bình có thể áp dụng làm đợc
Hớng dẫn
Trừ hai phơng trình của hệ cho nhau ta có:
X2 - y2 + y - x = 0 (x – y) (x + y – 1) = 0
Do đó hệ đã cho tơng đơng với:
2
x + xy + y = 1
(x - y) (x + y -1) = 0
2
x + xy + y = 1
x - y = 0
2
x + xy + y =1
x + y - 1= 0
2
x + xy = 1
x = y (1)
x + y = 1
x + y = 1 (2)
Giải hệ (1); có 2 nghiệm (x; y = (-1, -1) hoặc (1
2 ;
1
2)
Giải hệ (2): có vô số nghiệm: x = t ; y = 1 – t (tR)
Bài 14: Giải hệ phơng trình:
