TỔNG hợp CÔNG THỨC HH cơ bản

Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng: Cho tam giác ABC vuơng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến.. Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuôn

Chọn gĩc nhọn là α

cạnh ối i cạnh uyề ïc

đ

o n

đ h

h

cạnh ề hông cạnh uyền ư

cạnh ối oàn cạnh

t

k

ề e

đ

cạnh ề ết cạnh ối đ oàn

Chọn gĩc nhọn là α



H

D sinα = (Đi Học)

cos

H

α = (Khơng Hư)

tan

K

α = (Đồn Kết)

cot

D

α = (Kết Đồn)

A

a

2

2

2

bc

ac

ab

Cạnh kề α

Cạnh đối Cạnh huyền

TỔNG HỢP CƠNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

A HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng:

Cho tam giác ABC vuơng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta cĩ:

2 Các tỉ số lượng giác của gĩc nhọn trong tam giác vuơng:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

a Định lý cosin:

b Định lý sin:

c Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:

 BC2 =AB2 +AC2

 AH BC =AB AC.

 AB2=BH BC AC , 2=CH CB.

 12 12 12, AH2 HB HC.

 2AM =BC

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

A

a R

A

N K

M

2

2

2

-TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN

d Công thức tính diện tích tam giác:

4 Định lý Thales:

5 Diện tích đa giác:

a Tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b Tam giác đều:

Diện tích tam giác đều:

3 4

SD =

Chiều cao tam giác đều:

3 2

hD =

c Hình vuông

Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

d Diện tích hình thang:

SHình Thang 1

2

= (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc:

Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

A

D

2

AD BC AH

A

c

a

b

- nửa chu vi

- bán kính đường tròn nội tiếp

p r

SD = ah = bh = ch



ABC

SD = ab C = bc A = ac B

4

ABC ABC

abc

R

 p= p p a p b p c( − ) ( − ) ( − )

A

N M

2 2

/ /

AMN ABC

k

D D

æ ö÷

* =çç ÷÷=

çè ø (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

B

2

ABC

A

B

C

a

h

2 3 4 3 2

ABC

a S

a h

D

ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

2

2

HV

ïïï

Þ íï

ïïî

A

B

2

H Thoi

(cạnh)2

đều

(cạnh)

đều

TỔNG HỢP CễNG THỨC HèNH HỌC CƠ BẢN

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

Hình thoi cụ hai đường chéo vuừng gục nhau

tại trung điở̉m của mừ̃i đường

f Tam giõc vuừng cón

Diợ̉n tích tam giõc vuừng cón bằng

B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HèNH HỌC

1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :

( )

( ) ( )

d

d

a

a a

ý ủ

ậ ủủủ

đ ýÞ ủủ

đè ủủþ

P P ( ) ( )

( )

d

a b

ý ủủủ Þ ý ủ

è ủủþ

P

P

'

( )

d

a

ý ủ

^ ủủủ

^ ýÞ ủủ

ậ ủủþ

P

d d

2 Chứng minh hai mặt phẳng song song:

a a bb

a b O

ý ủ

ủủ

P

( ) ( )

Q Q

a

b

ý

ủủ Þ ý ủủþ

P

P

( ) ( )

( )

d d

b

ý ủ

Ỉ ủủủ

ủủ

^ ủủþ

P

3 Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong cõc định lí sau

Hai mặt phẳng ( ),a b cụ điở̉m chung S vỏ( )

ló̀n lượt chứa 2 đường thẳng song song ,a bthì

giao tuyến của chỷng đi qua điở̉m S cỳng song

song với ,a b

( ) ( ) ( ) (

( )

S

a b

ý ủ

ủủ ủủþ

P P P

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng

( )a Nếu mặt phẳng ( ) b chứa a vỏ cắt ( ) a

theo giao tuyến b thì b song song với a

( ) ( )

( ), ( )

a

b b

ý ủ

è ủủ Þý ủ

P

P

a

a

Hai mặt phẳng cỳng song song với một đường

thẳng thì giao tuyến của chỷng song song với

đường thẳng đụ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )P d P

b a

ý

ý ủ

P

P

=d ,d d

Hai đường thẳng phón biợ̉t cỳng vuừng gục với

một mặt phẳng thì song song với nhau

( ) ( )

d d d d

a a

ý ủ

đ

Ỉ ủủủ

đ

ủủ

đ^ ủủþ

d d

Sử dụng phương phõp hình học phẳng Đường trung bi

nh, định lí Talét đảo, …

4 Chứng minh đường thẳngvuừng gục với mặt phẳng:

Nếu một đường thẳng vuừng gục với hai đường thẳng cắt

nhau nằm trong một mặt phẳng thì nụ vuừng gục với mặt

{

( ) ( ) }

a

ý ủ

^ è ủủủ

ủủ

Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nỏo vuừng

gục với đường thẳng nỏy thì vuừng gục với đường thẳng

ý

đ ủủýÞ ^

đ^ ủủþ

P

d d

Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nỏo vuừng

gục với mặt phẳng nỏy thì cũng vuừng gục với mặt phẳng

kia

( ) ( ) ( ) d ( )

d

a b

ý ủủủ Þ ^ ý

ủ

^ ủủþ P

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P

d

a b

ü ï

^ ïïïï

ïï ï

Ç = ïïþ

Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào

nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao

tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )

P

a a a

ü ï

^ ïïïï

ïï ï

5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Dùng định nghĩa a^ Ûb ( )a b¶, =90 0

Haya^ Ûb ar ^ Ûbr abr.r =0

Û a b cos a br r ( )r,r =0

Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một

trong hai đường thẳng song song thì phải vuông góc

với đường kia

b//c

a b

a c

ü

ïï Þ ^ ý

ï

^ ïþ

Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một

mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng

nằm trong mặt phẳng đó

( ) ( ) .

a

b

a a

ü ï

^ ïï Þ ^ý ï

Ì ïïþ

Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho

đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )P và a là

đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không

vuông góc với ( )P Gọi a’ là hình chiếu vuông góc

của a trên ( )P Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ

khi b vuông góc với a’

( )

'

a hch P

a üï

ï

6 Chứng minh mp( )a ^mp( )b :

Cách 1: Theo định nghĩa: ( ) ( )a ^ b Û (·( ) ( )a , b ) =90 0Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°

Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

( ) ( )

( ) ( ) ( ), ( )

P

a

a a

ü ï

^ ïïïï

ïï ï