TỔNG hợp CÔNG THỨC GIẢI NHANH

CÔNG THỨC GIẢI NHANH Công thức 1: Cho tứ diện đều ABCD, có các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB=CD=b, BC=AD=d; BD=AC=c.. Thể tích khối chóp là:... Công thức 6: Công thức 7: Diện tích hình

CÔNG THỨC GIẢI NHANH Công thức 1: Cho tứ diện đều ABCD, có các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB=CD=b, BC=AD=d;

BD=AC=c Thể Tích khối tứ diện đểu là:

1

6 2

V  b  c d c d b d  b c

Cho

Công thức 2: Xét Khối tứ diện ABCD có AB=a, CD=b và các cạnh còn lại đều bằng x

4 12

ab x a b

Công thức 3: Cho tứ diện ABCD như hình vẽ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

p(p a a')(p b.b')(p c') a a' b.b' c'

;

.Áp dụng cho tất cả các tứ diện.

2 3

S  a h

b

a' b'

c'

A B

C D

Công thức 4: Diện tích hình viên phân có dây cung MN=a, Chiều cao PQ=h Bằng

2 3

S a h

Công thức 5: Cho hình chóp S.ABC SA=a;SB=b;SC=c; �ASB,BSC� , C�SA Thể tích khối chóp

là:

. 1 os os os 2 os os os

6

S ABC

abc

V  c c c   c c c 

Công thức 6:

Công thức 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng có phương trình hoành độ giao

điểm dạng a x. 2b x c.   Được Tính theo công thức: 0

3

( )

;( 0) 6

S ABC V

a



Công thức 8: Khối Tròn Xoay:

xq

h

2

3





�

�



�

�

Hình trụ cụt:

xq

2





�

�

Hình nêm



Hình nêm

2 3

�  �

Parabol bậc

hai.

Paraboloid

tròn xoay.

parabol

tru

2

4 ; ' 3

�

�

+ Diện tích

Elip và Thể

tích khối

tròn xoay

sinh bởi Elip

q

elip xoay x

uanh a qua oay nh b

2 2

� 2

� 2

4 3 4 3







�



�

�



�

�

�

 Hình

xuyến

Diện tích hình vành khăn

S  R2r2 Thể tích hình xuyến (phao)

R r R r V

2 2

2

 �  ��  �

R r

Công thức 9: Mô hình hình chóp đều cạnh x

Công thức 10: Mô hình tổng quát các khối tứ diện

Công thức 11: Mô hình tổng quát các khối nón trong các khối

Công thức 12: Mô hình mặt cầu ngoại tiếp các khối.

Công thức 13: Mô hình mặt cầu nội tiếp các khối.

Công thức 14: Mô hình mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.

Công thức 15: Cho hàm số

a x b y

cx d





 Khoảng cách giữa hai điểm AB bất kì nằm trên hai nhánh của đồ thị được xác định bởi: min 2

a d

2 2 bc

AB

c





; Tổng khoảng cách ngắn nhất từ một

điểm trên đồ thị đến hai tiệm cận : min 2

a d

d

c





Công thức 16: Tỷ số thể tích

Công thức 17: Công thức Waliss:

( 1)!!

,

!!

cos sin

( 1)!!

,

!! 2

n

nle n

xdx xdx

n

nchan n





�

�

�

�

Trong đó: n!! được định nghĩa dựa vào n chẵn hay n lẻ chẳn hạn:

0!! 1;1!! 1; 2!! 2;3!! 1.3; 4!! 2.4;5!! 1.3.5;6!! 2.4.6;7!! 1.3.5.7;8!! 2.4.6.8        

Công thức 18: Diện tích đa giác đều n cạnh với độ dài mỗi cạnh bằng x:

2 4.tan( )

x n S

n





Công thức 19: Đa giác đều 2n đỉnh, chọn 3 đỉnh trong 2n đỉnh Số cách chọn tam giác là: C 2n3

Trong đó :+ số tam giác vuông là: n.(2n-2)

+ số tam giác tù là: 2 n C n31n n.( 1)(n 2)

+ số tam giác nhọn là : 3   3

.( 1)(n 2

3

2 2

n n

C n n  n C    

Công thức 20: Cấp số cộng- Cấp số nhân:

+ Phương trình : x3ax2   bx c 0

- Có 3 nghiệm lập thành CSC: ( 3 ) 0

a

f  

; Có 3 nghiệm lập thành CSN: b3c a. 3 + Phương trình : ax4bx2 c 0,(a� 0)

- Có 3 nghiệm lập thành CSC: 9.b2 100 .a c;

Công thức 21: Cho hình Elip có trục lớn bằng 2a, trục bé bằng 2b Một đường thẳng d song song

với trục lớn và cách trục lớn một khoảng bằng h Cho E quay quanh trục d tạo ra một vật thể

có thể tích là: V 2 2a b hab.2h.

Công thức 22: Đếm số Tam giác

Công thức 23: Hai mặt cầu tiếp xúc với nhau với bán kính tương ứng là R,r Một mặt phẳng (P)

tiếp xúc với 2 mặt cầu tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó: AB2 R r.

Công thức 24: Khối Đa Diện

đỉnh

Số cạn h

Số mặ t Loạ

Tứ diện đều 4 6 4  3;3 6

Khối lập phương

8 12 6  4;3 9

Mười hai mặt

Hai mươi mặt

Công thức 25: Hàm số bậc 4: y a x . 4bx2c

Có 1 cực trị: a b�0 Có 3 cực trị: a b0

a>0: 1 Cực tiểu a<0: 1 Cực đại a>0: 1 Cực tiểu, 2 CĐ a<0: 2 CĐ,1CT

Hàm số y a x . 4bx2c

có 3 cực trị A Oy� , B,C

tạo thành:

�

2

a b  

0

ABC

0

32 ( )a S  b 0

0 ( )

b S

a

 

am  b , B,C Ox

Tam giác có 3 góc nhọn 8a b 3 0

Tam giác có tâm O nội tiếp b3 8a 4ac0

Tam giác có tâm O ngoại tiếp b3 8a 8ac0

Công thức 26: Hàm số bậc 4: y a x . 3bx2 cx d� y' 3  a x22bx c

Hàm số có hai cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai cực

Hàm số có hai cực trị cùng dấu (Đồ thị hàm số có hai

1 2

0

3

y

c

P x x

a

 

�

�

�

�

� Hàm số có hai cực trị cùng dương (Đồ thị hàm số có hai

1 2

1 2

0

2 0 3

3

y

b

S x x

a c

P x x

a

�

 

�

�



�

�

� Hàm số có hai cực trị cùng âm (Đồ thị hàm số có hai cực

1 2

1 2

0

2 0 3

3

y

b

S x x

a c

P x x

a

�

 

�

�

�

�

Hàm số có hai cực trị thỏa mãn:x1  x2 a g ( ) 0 

Hàm số có hai cực trị thỏa mãn:x1 x2  ' 0

( ) 0 2

y

a g S





 

�

�

� 

�

Hàm số có hai cực trị thỏa mãn:  x1 x2 ' 0

( ) 0 2

y

a g S





 

�

�

� 

�

Phương trình y  0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Khi có một nghiệm là: 3

b a



Phương trình y  0 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

Khi có một nghiệm là:

3 d a



Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị 2 2 2

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 16 3 2 3

;

9

Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên trục

Ox

' 0

y  có 2 nghiệm và

D D

0

C CT

C CT

y y



�

�  

� Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới trục

Ox

' 0

y  có 2 nghiệm và

D D

0

C CT

C CT

y y



�

�  

� Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trục Ox y CD.y CT 0

Công thức 27: Cực Trị trong Không Gian

Cho  P

và hai điểm A, B

Tìm M � P

min



?

+ Nếu A và B trái phía so với  P

M A B, ,

+ Nếu A và B cùng phía so với  P

TìmB ' là đối xứng của Bqua  P

M A B, , '

 

Cho  P

và hai điểm A, B

Tìm M � P

để MA MB max

?

+ Nếu A và B cùng phía so với  P

M A B, ,

 

+ Nếu A và B trái phía so với  P

TìmB ' là đối xứng của Bqua  P

�

Cho điểm M x y z M; M; M

không thuộc các trục và mặt phẳng

tọa độ Viết phương trình  P

 

P

qua M và cắt 3 tia Ox Oy Oz, ,

lần lượt tại A B C, , sao cho V O ABC.

nhỏ nhất?

Viết phương trình mặt phẳng

 P

chứa đường thẳng d, sao

cho khoảng cách từ điểm

M �d đến  P

là lớn nhất?

 P QuaA d P d d

:

�

�

� ��� � ��

�

ur r uuuur r

Viết phương trình mặt phẳng

 P

quaA và cách M một

khảng lớn nhất ?

 P QuaA P

:�� �



�

ur uuuur

Viết phương trình mặt phẳng

 P

chứa đường thẳng d, sao

cho  P

tạo với  ( không

song song với d) một góc lớn

nhất là lớn nhất ?

 P QuaA d P d d

� :

,  ,

�

� ��� � ��

�

Cho / / P

Viết phương trình đường thẳng d song song với

 và cách  một khoảng nhỏ

nhất ?

Lấy A� gọi A�là hình chiếu vuông góc của A trên  P

d

QuaA d

� :



�

� 

�

r r

Viết phương trình đường thẳng

d đi qua điểm A cho trước và

nằm trong mặt phẳng  P

cho trước

sao cho khoảng cách từ điểm

M cho trước đến d là lớn nhất

( AM không vuông góc với  P

) ?

 

QuaA d d

:

,

�

�

�

r ur uuuur

Viết phương trình đường thẳng

d đi qua điểm A cho trước và

nằm trong mặt phẳng  P

cho trước

sao cho khoảng cách từ điểm

M cho trước đến d là nhỏ nhất

( AM không vuông góc với  P

) ?

QuaA d d

:

,

� ,

�

� ��� � ��

�

r ur uuuur ur

Viết phương trình đường thẳng

d đi qua điểm A� P

cho trước, sao cho dnằm trong  P

và tạo với đường thẳng  một

góc nhỏ nhất ( cắt nhưng

không vuông góc với  P

)?

QuaA d d

:

,

� ,

�

� ��� � ��

�

r ur uuuur ur

Công thức 28: Bài toán Lãi suất kép:

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép % r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n�� ) là: * S n

số tiền S khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi n

sau n kì hạn ( n�� )* S n  A1rn

n kì hạn

  1 log n r

S n

A



� �

� � lãi kép %r /kì hạn

% n S n 1

r

A

Số vốn ban đầu A

n n

S A

r



