Bài giảng nhập môn đại số tuyến tính

BÀI GIẢNG NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình bậc nhất.. Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập

NHTHO.WORDPRESS.COM

2019-2020

BÀI GIẢNG Nhập môn đại số tuyến tính

TS NGUYỄN HỮU THỌ

BÀI GIẢNG NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương

trình bậc nhất Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình

bậc nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian véc tơ và

phép biến đổi tuyến tính … Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính

hình học hơn, trong đó có khái niệm độ dài và góc

Ngày nay Đại số tuyến tính trở thành một trong những môn học cơ bản của Toán Cao cấp và

được dạy ngay từ năm đầu ở các trường đại học, cao đẳng Hơn nữa, Đại số tuyến tính đã và đang

được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ

thuật, Kinh tế, Vì thế, nó trở thành một môn học cơ sở cho sinh viên các chuyên ngành khoa học cơ

bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học

Đây là Bài giảng dành cho học kỳ 2, năm thứ nhất cho sinh viên tất cả các ngành trong toàn

trường (trừ các ngành Kinh tế)

- Số tín chỉ : 2

- Số tiết : 30 tiết ; LT: 20 tiết ; BT: 10 tiết

- Đánh giá: Điểm quá trình : 40% (Cho điểm bài tập, kiểm tra 5-10’ , kiểm tra giữa kỳ

theo từng nhóm và đánh giá thái độ học tập)

Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ)

- Hình thức thi: Tự luận - Thời gian thi: 60 phút

Giáo trình: NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - Sách dịch Đại học Thuỷ lợi 2010

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge press, 2005

[2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Bộ sách Toán cao cấp-Viện Toán học

Việt nam, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ,2005

[3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,Toán học cao cấp - Tập 1, Nhà xuất bản

giáo dục, 2007

SYLLABUS NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

(LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY 15 BUỔI - 2 TIẾT/BUỔI)

1

Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm quá trình, lịch kiểm tra

$1 Hệ phương trình tuyến tính

+ Giới thiệu về vectơ

+ Hệ phương trình đại số tuyến tính: Định nghĩa, các dạng biểu diễn

+ Ma trận nghịch đảo và cách tìm bằng phương pháp Gauss-Jordan

+ Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận hoán vị

$4 Không gian vectơ và không gian con

+ Khái niệm không gian véc tơ (Giới thiệu hai phép toán)

+ Không gian véc tơ thường gặp: n

ℝ+ Khái niệm không gian con Các không gian con của n

ℝ và minh họa hình học khi n≤ 3

+ Bốn không gian con của ma trận A (mô tả kỹ C(A) và N(A))

2

7

$5 Hạng của ma trận và nghiệm của Ax= 0 , Ax=b

+ Khái niệm hạng của ma trận A

+ Nghiệm đặc biệt và nghiệm đầy đủ xA = 0

+ Nghiệm riêng và nghiệm đầy đủ của xA = b

+ Bốn khả năng phương trình xA = phụ thuộc vào hạng r(A) b

2

8

$6 Cơ sở, số chiều của một không gian véc tơ

+ Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

+ Hệ véc tơ sinh ra một không gian

2

Buổi Nội dung bài giảng Số tiết

+ Cơ sở và số chiều của một không gian véc tơ

+ Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính phần 1 (Cơ sở và số chiều của bốn

không gian con cơ bản)

10

$7 Vectơ riêng, giá trị riêng

+ Khái niệm vectơ riêng, giá trị riêng

+ Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng (có giá trị riêng phức, chỉ xét ma trận cấp

+ Hai không gian trực giao Phần bù trực giao

+ Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính phần 2 (Tính trực giao của 4 không gian

con cơ bản)

+ Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

+ Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt

2

13

$9 Ma trận chuyển cơ sở và Phép biến đổi tuyến tính

+ Khái niệm tọa độ véc tơ trong ℝn

+ Ma trận chuyển cơ sở trong n

ℝ + Mối liên hệ của một véc tơ trong trong 2 cơ sở

+ Khái niệm phép biến đổi tuyến tính : n m

T ℝ → ℝ + Ma trận của phép biến đổi tuyến tính : n m

- Như vậy: với hai điểm phân biệt M N, ta xác định được hai véc tơ phân biệt MN và NM

- Khi đó: Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của véc tơ; độ dài đoạn thẳng MN chính là

độ dài của hai véc tơ đó, ký hiệu MN hoặc NM

- Véc tơ – không , ký hiệu 0, là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, 0 =0

2) Các phép toán

a Phép cộng véc tơ: Cho hai véc tơ v, w tổng của hai véc tơ đó là một véc tơ ký hiệu là v+w

và được xác theo Quy tắc ba điểm hoặc Quy tắc hình bình hành

b Phép nhân véc tơ với một vô hướng

Cho x là một số thực, phép nhân của véc tơ v với số thực x là một véc tơ, ký hiệu xv , được xác

định như sau:

+ Về hướng: - Nếu x ≥ thì xv cùng hướng với v , 0

- Nếu x < thì xv ngược hướng với v , 0

+ Về độ dài: xv = x v

c Tổ hợp tuyến tính Với những véc tơ v , v , , v và các vô hướng 1 2 n x x1, , ,2 x n, biểu thức :

x v 1+x v 2 + +x v được gọi là n một tổ hợp tuyến tính của n− véc tơ v , v , , v 1 2 n

Ký hiệu: span{v , v , , v 1 2 n} là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của v , v , , v 1 2 n

Ví dụ 1:

Nhận xét

1) Khi véc tơ v≠0 , span v là một đường thẳng { }

2) Nếu v , v là hai véc tơ không cùng phương, 1 2 span{v v1, 2} là một mặt phẳng

3) Khi ba véc tơ v , v v không đồng phẳng, 1 2, 3 span{v v v lấp đầy không gian 1, 2, 3}

d Tích vô hướng Tích vô hướng của hai véc tơ v và w là số thực được xác định bởi

3 Biểu thức tọa độ của véc tơ hình học

Với mỗi véc tơ v trong mặt phẳng Oxy luôn luôn tồn tại duy nhất cặp số thực ,x y sao cho :

v i j, khi đó cặp số x

và khi đó ta viết

x y z

v w , |v|=(x2 +y2 2)1 Đối với các véc tơ hình học trong không gian ta cũng có những tính chất tương tự trên

II Mở rộng khái niệm véc tơ

thể viết là ( , , ,x x1 2 x n) nhưng không được hiểu là véc tơ hàng

Tập tất các véc tơ cột n− thành phần như trên được ký hiệu là n

n

x x t x

c Tổ hợp tuyến tính Với những véc tơ v , v , , v 1 2 n ∈ℝn và các vô hướng x x1, , ,2 x n, biểu

thức : x1v 1+x2v 2 + + x nv được gọi là n một tổ hợp tuyến tính của n− véc tơ v , v , , v 1 2 n

Ký hiệu: span{v , v , , v 1 2 n} là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của v , v , , v 1 2 n

d Tích vô hướng : Với hai véc tơ v=( , , ,x x1 2 x n), w=( , , ,y y1 2 y n), khi đó :

Ta gọi ℝn là một không gian n− chiều

Như vậy: + Tập các véc tơ hình học trên mặt phẳng

1 2

1 2 2,

x

x x x

ℝ ℝ là không gian 2 −chiều

+ Tập các véc tơ hình học trong không gian

1 3

2 1 2 3

3, ,

x

x x x x x

+ Gọi q ilà số lượng mặt hàng thứ i (q i > khi bán, 0 q i < khi mua) 0

+ Gọi p i là giá của một đơn vị mặt hàng thứ i

Với hai véc tơ: q=( , , , )q q1 2 q n và p=( , , ,p p1 2 p n) thì doanh thu của siêu thị đó được biểu biễn

bởi tích vô hướng: q p =q p1 1+q p2 2+ + q p n n

III Hệ phương trình tuyến tính

1 Một số bài toán dẫn đến hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 3: (Bài toán Mạng điện) Xét một hệ thống điện như hình vẽ

- Kết hợp lại ta nhận được hệ 4 phương trình với 3 ẩn:

Ví dụ 4: (Bài toán Lưu lượng giao thông) Xét một sơ đồ giao thông như hình vẽ: các đường một

chiều giao nhau và lượng xe vào - ra trung bình mỗi giờ lúc cao điểm ở một khu vực Hãy xác định

lưu lượng xe ở mỗi ngã tư

Thiết lập hệ phương trình

+ Tại mỗi giao lộ, số xe vào = số xe ra

+ Tại giao lộ A : số xe vào =x1+450, số xe ra =x2+610, nên ta có:

Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ m n× ) là hệ có dạng

Mỗi nghiệm của hệ là một bộ n số ( , , ,x x1 2 x n) thỏa mãn hệ đã cho

Chú ý: - Dạng hệ phương trình tuyến tính trong định nghĩa như trên được gọi là dạng hàng

- Trong trường hợp hệ gồm m phương trình 3 ẩn, mỗi phương trình của hệ là phương trình một

mặt phẳng, khi đó nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của m mặt phẳng

- Những dạng khác của hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 5: Xét hệ phương trình được cho dưới dạng hàng:

x x x

2

2

253

x x x

3

3

32

x x x

mj

a a a

2

n

a a a

in

a a a

là ma trận hệ số của hệ này Ta định nghĩa phép nhân A

với x như sau:

3 Giải hệ phương trình bằng phép khử Gauss

a Ma trận bậc thang và trụ: Quan sát những ma trận sau đây

ii) Nếu có các hàng gồm toàn số 0, thì chúng nằm dưới những hàng chứa số khác 0

Định nghĩa (Ma trận bậc thang). Ma trận bậc thang là ma trận có đặc điểm (i) và (ii) Số khác

không đầu tiên trong một hàng được gọi là trụ

n n

m

b b b

11 1 12 2 1 1

Cách giải hệ dạng tam giác

+ Giải hệ bằng phép thế ngược từ dưới lên

+ Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất

ii) Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng dạng bậc thang

+ Ẩn có hệ số là trụ được gọi là biến trụ

+ Những ẩn còn lại được gọi là biến tự do

Cách giải hệ dạng bậc thang

+ Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0=b ii với b i ≠ : hệ vô nghiệm 0

+ Trường hợp còn lại:

- Trước hết loại đi tất cả các phương trình dạng 0=0

- Trong mỗi phương trình còn lại, chuyển những hạng tử chứa biến tự do (nếu có) sang vế

phải rồi gán cho các biến này giá trị thực tùy ý Ta có hệ dạng tam giác đối với những biến trụ Giải

hệ dạng tam giác này, ta tìm được giá trị của những biến trụ

1

+ Dễ thấy: x1, , x3 x5 là những biến trụ, x2 và x4 là các biến tự do

+ Viết lại hệ dưới dạng:

5

1 2

+ Nếu lấy x2 =x4 = ta sẽ nhận được một nghiệm của hệ là: (4; 0; 6; 0; 3)0 −

Chú ý

Hệ dạng tam giác là trường hợp riêng của hệ dạng hình thang với các trụ là a ii, (i = 1, ., n) và

tất cả các ẩn là biến trụ, không có biến tự do

d Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) đã đề xuất một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bất

kỳ : đó là Phép khử Gauss Phép khử Gauss chuyển hệ cho trước về hệ phương trình tương đương

có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây:

I Đổi chỗ hai phương trình của hệ

II Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác trong hệ

III. Nhân cả hai vế của một phương trình trong hệ với cùng một số khác không

Chú ý :

Trong quá trình thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0= , ta có thể loại nó khỏi 0

hệ Còn nếu xuất hiện phương trình dạng 0= với b b≠ thì hệ vô nghiệm 0

Ví dụ 9 : Giải hệ trong Bài toán Mạng điện

+ Bước 4 : Giải hệ này bằng phép thế ngược, ta có nghiệm:

1

2

3

1 2 1

i i i

 =



 =



 =



Nhận xét: Quá trinh trên có thể trình bày theo cách ghi lại sự biến đổi của ma trận mở rộng như sau:













0 0 8 9



























0 0 8 9



























0 9 8 0



























1

- 9

2 1

0 9 19 0











− 





Ngoài ra, trong hệ cuối ta thấy các trụ là 1, 2, −19

Chú ý:

+ Trụ dùng để khử những số cùng cột nằm bên dưới: Khi trụ thuộc cột j và ta muốn khử số

cùng cột ở hàng i thì ta phải lấy hàng chứa số này trừ đi tích của hàng chứa trụ với một số thích

hợp Số thích hợp này được gọi là số nhân, ký hiệu là 1 ij

Chẳng hạn, trụ 2 thuộc cột 2 và ta muốn khử số 6 cùng cột thuộc hàng 3 thì ta lấy hàng 3 (chứa

trụ) trừ đi 3 lần hàng 2 Số nhân 32 6 3

2

= =

+ Số nhân 1ij = (phần tử cần khử trong hàng i, cột j) chia cho (trụ trong cột j)

+ Phương pháp khử Gauss trừ phương trình thứ i đi 1ij lần phương trình thứ j.

Ví dụ 10 : Giải hệ trong Bài toán Lưu lượng giao thông

160

40

210

330









Giải: Xét biến đổi ma trân mở rộng:

|

A b





  = 

−



160 40 210 330













− 











160 40 210 170













− 



1) Hệ tuyến tính chỉ có một trong ba khả năng: duy nhất nghiệm, có vô số nghiệm, vô nghiệm

2) Khi đưa được ma trận mở rộng về dạng bậc thang, để lấy tìm nghiệm ta có thể không cần dùng

Ở đây: ta chia mỗi hàng chứa trụ cho trụ rồi dùng phép khử biến đổi tiếp ma trận này về dạng bậc

thang thu gọn, đó là ma trận bậc thang mà các trụ bằng 1 và trụ là phần tử khác 0 duy nhất trong cột

Chú ý

+ Hệ thuần nhất luôn luôn có ít nhất một nghiệm x= =0 (0; 0; ; 0)∈ℝn: gọi là nghiệm tầm

thường Nghiệm khác nghiệm này gọi là nghiệm không tầm thường

Về nhà:

Bài tập: Tr 19, 31, 44, 57

Đọc trước các Mục 2.3 + 2.4+ 2.5+ 2.7 chuẩn bị cho Bài số 2 : Ma trận

Bài số 2

MA TRẬN

Trong mục này ta định nghĩa những phép toán đối với ma trận và xét một số tính chất đại số của

chúng Ma trận là một trong những công cụ rất mạnh của Toán học trong những ứng dụng thực tế

Để sử dụng ma trận có hiệu quả, ta phải thành thạo các phép toán trên các ma trận

Dùng những chữ cái A B C, , , để đặt tên cho ma trận

Với ma trận A , ký hiệu phần tử nằm ở hàng i và cột j là ( ) , a ij a ij hoặc a i j( , )

1 2( ,a a i i , ,a in) là hàng thứ i,

1

2

j j

mj

a a a

Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là ( )a ij

2 Ma trận n n× được gọi là ma trận vuông cấp n

Các phần tử ,a i ii =1,n lập nên đường chéo của nó

3 Ma trận tam giác trên:

7 Hai ma trận cùng cỡ A=( )a ij và B =( )b ij bằng nhau khi và chỉ khi a ij = với b ij ∀i j,

Nhận xét: Nhân một véc tơ của n

ℝ với một vô hướng chính là nhân một ma trận n× với một 1

 

 

 

 +  =

Chú ý: + Điều kiện để thực hiện được phép nhân hai ma trận: Số cột của ma trận thứ nhất = số

b b

3) Hai ma trận vuông có thể nhân với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cỡ

1 Định nghĩa: Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng

cỡ với A sao cho AB =BA = Khi đó ta gọi B là I ma trận nghịch đảo của A

Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất và ký hiệu là A−1

Ví dụ 8: Một ma trận đường chéo A khả nghịch khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên đường chéo

khác không Khi ấy

11

nn

a A

1 /

1 / nn

a A

1) Khi A khả nghịch, Ax= b có nghiệm duy nhất là x= A−1b

2) Giả sử tồn tại x khác véc tơ - không sao cho Ax=0 , khi đó A không khả nghịch

không khả nghịch vì Ax=0 có nghiệm không tầm thường x= −( 2;1)

3) Nếu A và B là các ma trận vuông, thì A sẽ khả nghịch khi và chỉ khi AB = hoặc I

Tóm lại, sau phép khử Gauss-Jordan ta dẫn đến: A I |  → I |A−1 .

IV Biến đổi ma trận

Trong mục này ta nhìn nhận quá trình giải Ax=b theo các phép nhân ma trận, thay bằng việc thực

hiện những phép toán hàng trên ma trận mở rộng:

I Đổi chỗ hai hàng của ma trận

II Lấy một hàng của ma trận trừ đi bội của một hàng khác trong ma trận

III Nhân một hàng của ma trận với một số khác 0

Định nghĩaMa trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu T

Bài số 3

ĐỊNH THỨC

1 Khái niệm Cho A là ma trận vuông cấp n , định thức của A là một số thực cho ta

nhiều tính chất rất đặc trưng của A , ký hiệu det( )A hoặc A , cách tính sẽ được giới thiệu sau

Tính chất 8: Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det( )A ≠0.

Tính chất 9: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì:

det(AB)=det( ).det( )A B

Hệ quả: Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến, khi đó:

22

00

a

21

00

a

22

00

a

a = 11

22

00

a

21

00

a a

Ta thấy mỗi hoán vị ( , , )α β ω của 1,2, 3 tương ứng với một số hạng (detP αβω)a a a1α 2β 3ω của det( )A

Tổng quát, ta có công thức sau:

Giả sử A=( )aij là ma trận n n× Với mỗi hoán vị ( , , , )α β ω của 1,2, ,n ta thành lập

1 2

(detP αβ ω)a a α β a n ω Khi đó ta có:

det( )A = tổng tất cả các số hạng dạng (det(P αβ ω ))a a1α 2β a n ω =∑ (det(P αβ ω ))a a1α 2β a n ω

b Công thức phần phụ đại số

Định nghĩa Giả sử A=( )aij là ma trận n n× Bỏ đi hàng i và cộtj của A ta được ma trận

(n− × −1) (n 1), ký hiệu là M , khi đó số ij ( 1)i jdet( ij)

VD 10: Cho

11 12 13

31 32 33( )

Tổng quát, ta có Công thức Phần phụ đại số

Cho A là ma trận n n× với n≥2 Khi đó ta có:

a Giải hệ phương trình tuyến tính

Định lí 1. (Quy tắc Cramer) Giả sử Ax=b là hệ n× Nếu detn A ≠ , thì hệ A =0 x b có

nghiệm duy nhất:

1 1

2 2

detdetdet.det

detdet

n n

B x

A B x

A

B x

2 2

3 3

A B x

A B x

Định lí 2: Nếu A khả nghịch thì 1

T

C A

Đọc trước: Chương 3, từ trang 135 để chuẩn bị cho Bài số 4:

Không gian véc tơ và không gian con.

Bài số 4

KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ KHÔNG GIAN CON

I Không gian véc tơ

1 Định nghĩa Cho V là một tập hợp không rỗng có các phần tử được ký hiệu là u, v, w và

trường số thực ℝ mà các phần tử ký hiệu là , , a b c Trên V ta xác định hai phép toán

( , u)a a.u

→ℝ

Giả sử với mọi u, v, w∈V, mọi ,a b∈ ℝ các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) (u+v)+w = u+(v+w)

2) Tồn tại phần tử 0 sao cho 0+u = u+ 0 = u, u∀ ∈V

3) Với mỗi u∈V tồn tại u'∈ sao cho u+u'=u'+ u = 0 V

Khi đó ta nói rằng V là một không gian véc tơ trên trường thực ℝ , hay còn gọi V là không gian

tuyến tính trên ℝ , mỗi phần tử trong V được gọi là một véc tơ

Phần tử 0 được gọi là véc tơ không, phần tử u' trong 3) gọi là phần tử đối của u và được ký hiệu

là -u Khi đó u+(-v):=u-v được gọi là hiệu của hai véc tơ u và v

Chú ý: + Khái niệm véc tơ đã học từ trước là một trường hợp đặc biệt, và đó là các véc tơ hình học

Véc tơ định nghĩa ở trên mang tính chất tổng quát, mỗi véc tơ chưa hẳn là “đoạn thẳng định

+ Khi nói V là một không gian véc tơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang nói đến V cùng với hai phép toán

cộng ( )+ hai phần tử của V và phép nhân một phần tử của V với một vô hướng trong ℝ Một chú

ý quan trọng của định nghĩa là "tính chất đóng" của hai phép toán trong V đó là :

3) Ký hiệu F( )U là tập tất cả những hàm số thực xác định trên U Trên F( )U có hai phép toán sau

Phép cộng: với f và g thuộc F( )U xác định f +g là hàm số bởi:

4) Cho V={( ,1) |x x ∈ℝ} , với phép cộng và phép nhân với vô hướng quen thuộc Ta xét hai véc

tơ u=(3;1), v=(5;1)∈V, tuy nhiên u+ =v (8;2)∉ V Phép toán ( )+ không đóng trên V do

nên V không phải là không gian vectơ

3 Một số tính chất của không gian véc tơ

Định lý 1 Cho V là không gian vectơ , khi đó:

1) Véc tơ không là duy nhất

2) Với mọi vectơ u , vectơ đối của u là duy nhất

6) Nếu u + w = v + w, thì u = v (luật giản ước)

Nếu u + w = v, thì u = v−w (luật chuyển vế)

Dễ dàng nhận ra các tính chất này trong ℝ ℝ1, 2,ℝ3

II Không gian con (Không gian véc tơ con)

Ví dụ mở đầu: Cho không gian ℝ3 Chọn một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và ký hiệu

W là tập tất cả các vectơ có gốc là O mà nằm trên mặt phẳng này Dễ dàng kiểm tra được rằng W

cũng là một không gian vectơ, và khi đó ta nói rằng W là một không gian con của ℝ3

1 Định nghĩa Nếu W là một tập con không rỗng của V và xét các phép toán ( ),(.)+ của V trên

W Nếu các phép toán đó đóng trên W , tức là :

1) Tất cả những phép toán trên W đều là trên V, nên đương nhiên W cũng thỏa mãn 8 điều kiện

trong định nghĩa không gian vectơ Vì vậy W cũng là một không gian vectơ

2) Mọi không gian con của V đều chứa véc tơ không của V

3) Các điều kiện (i) và (ii) có thể gộp hai điều kiện này lại thành một điều kiện:

∀u, v∈ ∀ ∈ℝ→ u+ v∈

Ví dụ 2: Đối với không gian vectơ V thì { }0 và V chính là hai không gian con của V: là các không

gian con tầm thường Gọi { }0 là không gian-không

Ví dụ 3: Dưới đây liệt kê toàn bộ những không gian con của 3

Ví dụ 4: Cho W={( , )x x1 2 x1+x2 =0}, khi đó W là một không gian con của ℝ2

Ví dụ 5: Tập tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n×n, tập tất cả các ma trận tam giác dưới cỡ

n × , tập tất cả các ma trận đường chéo cỡ n n n × là những không gian con của không gian vectơ

M n× ℝn

Ví dụ 6: Cho P n là tập tất cả những đa thức với hệ số thực có bậc không vượt quá n, C ℝ( ) là tập

tất cả những hàm số liên tục trên ℝ : đó là những không gian con của không gian F( )ℝ gồm tất cả

i=

=∩ cũng là một không gian con của V

Ví dụ 7: Các mặt phẳng xOy yOz, là các không gian con của ℝ3, khi đó xOy∩yOz ≡Oy là một

không gian con của ℝ3

b Tống của hai không gian con: Cho W , W là hai không gian con của của không gian véc tơ 1 2

V Ta định nghĩa tổng của W , W như sau: 1 2

W= u +u |u ∈W ,u ∈W Khi đó W cũng là một không gian con của V

thì ta nói rằng u là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u , u , u 1 2 m

2) Giả sử S là tập con của V số phần tử của S có thể hữu hạn hoặc vô hạn) Ta nói rằng u

biểu diễn tuyến tính qua tập S nếu u biểu diễn tuyến tính qua một hệ hữu hạn véc tơ của S

Chú ý Nếu u biểu diễn tuyến tính qua tập S và mỗi véc tơ của S lại biểu diễn tuyến tính qua tập

T ( trong đó S và T là hai tập con của V ), khi đó u biểu diễn tuyến tính qua tập T

Ví dụ 8: Trong không gian ℝ2 xét các véc tơ:

2(2; 3), (0,1), (1;1)

Dễ thấy rằng: u = u + 2u Vậy nên u là tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 1 2 u , u 1 2

Ví dụ 9: Trong không gian véc tơ ℝ[ ]x , xét các đa thức với hệ số thực:

f x = +x g x = x + x+ h x =x + x +Khi đó ( ) 3 ( ) 1 ( )

2

h x = f x + g x , tức là h x( ) là tổ hợp tuyến tính của f x( ) và g x( )

d Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ

Mệnh đề Cho hệ gồm m véc tơ u , u , u của không gian véc tơ V Ta định nghĩa 1 2 m

W={au 1+a u + + a mum |a i ∈ℝ,i =1, , }.m

Khi đó:

i) W là một không gian con của V

ii) W là không gian con nhỏ nhất chứa ,ui i =1, 2, , m

Định nghĩa Không gian con W được xác định như trong mệnh đề trên được gọi là không gian con

sinh bởi hệ m véc tơ u , u , u và khi đó hệ 1 2 m {u , u , u 1 2 m} được gọi là một hệ sinh của W

3 Bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận

a Không gian cột

i Định nghĩa Cho A là ma trận m n× , có các vectơ cột c , (j j =1, 2, , )n Ta gọi tập hợp tất cả

những tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột , (cj j =1, 2, , )n

{ 1 1 2 2 }

C( )A = xc +x c + + x n nc |x i ∈ℝ

là không gian cột của A

Trong Bài số 1 ta đã định nghĩa phép nhân một ma trận A=( )a ij có cỡ m n× với một vectơ

1

m

a a x a

2

m

a a x a

mn

a a x a

Vì vậy, ta cũng có thể hiểu C A( ) như tập hợp tất cả những vectơ có dạng Ax với x∈ℝn

ii Mối liên hệ giữa không gian cột của ma trận A và nghiệm của Ax=b

Tìm nghiệm của Ax= b chính là biểu thị x như một tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột

của A Phương trình Ax=b có nghiệm khi và chỉ khi b∈C( )A Khi b∈C( )A , nó là một tổ hợp

tuyến tính của các vectơ cột của A Những hệ số trong một tổ hợp cho ta một nghiệm x của A =x b

033

C( )A là một mặt phẳng trong ℝ3với cặp vectơ chỉ phương là c 1 =(1; 4;2),c 2 =(0; 3; 3) Nếu vectơ

b thuộc mặt phẳng này thì nó là một tổ hợp của hai vectơ cột của A và ( , )x x1 2 là một nghiệm của

Ax=b

Định lý 2 Nếu A là ma trận m n× , thì C( )A là một không gian con của ℝm

Ví dụ 11: Hãy mô tả các không gian cột (là những không gian con của ℝ2) của

Do đó C( )B là đường thẳng với vectơ chỉ phương (1;2)

+ Do Cx=b có nghiệm với mọi b∈ℝ2, nên C( )C = ℝ2

b Không gian nghiệm N( )A của A

Định nghĩa: Tập nghiệm của Ax=0 được gọi là không gian nghiệm của A và được ký hiệu là

Nhận xét: i) x=0 là nghiệm của A =x b khi và chỉ khi = b 0

ii) Nếu b≠0 , thì tập nghiệm của A =x b không phải là không gian con vì một không gian con

phải chứa vectơ-không

Ví dụ 13: Phương trình x +2y+3z =0 xác định một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ Mặt phẳng này

là không gian con của ℝ3 Đó chính là N( )A với A=[1 2 3]

Tập nghiệm của x+2y+3z =6 cũng là một mặt phẳng, nhưng không phải là không gian

Bài số 5 HẠNG CỦA MA TRẬN GIẢI HỆ Ax=b

T a có thể đưa ma trận A về ma trận U có dạng bậc thang nhờ những phép toán hàng sau đây:

i) Đổi chỗ 2 hàng nào đó

ii) Thay hàng bởi hiệu của hàng ấy với bội của hàng khác

iii) Nhân một hàng với một số khác không

1.Hạng của ma trận

a Định nghĩa hạng của ma trận Cho một ma trận A Qua các phép biến đổi hàng ta biến đổi ma

trận A về ma trận bậc thang U Số tất cả các trụ trong U được gọi là hạng của ma trận A , ký

b Mối quan hệ giữa hạng và định thức của ma trận

Định nghĩa Cho ma trận A Giữ lại một số hàng và một số cột của A , bỏ đi những hàng và cột còn

lại, ta có một ma trận được gọi là một ma trận con của A Nếu một ma trận con của A là ma trận

Định lý 1. Hạng của ma trận A : r A( )= >r 0 khi và chỉ khi A có một định thức con khác 0 cấp

r nào đó, còn mọi định thức con cấp lớn hơn r của A (nếu có) đều bằng 0

Nói cách khác : r A( )=cấp cao nhất của định thức con khác không của A

Định nghĩa Một hàng (cột) của A được gọi là một hàng trụ (cột trụ), nếu sau các phép toán hàng

đưa A về ma trận bậc thang nó chứa một trụ

b Tiêu chuẩn có nghiệm của Ax=b

Ví dụ 6 Tìm điều kiện của b b b1; ,2 3 để hệ sau có nghiệm :