Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht)

Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 Lưu hành nội bộ cá nhân MỤC LỤC Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................. 2 Chương 1 : Ma trận – Định thức ............................................................................................. 2 I. Nội dung cần nhớ ................................................................................................................ 2 1) Ma trận ............................................................................................................................... 2 1.1) Các khái niệm .................................................................................................................. 2 1.2) Các phép toán .................................................................................................................. 4 2) Định thức........................................................................................................................... 12 2.1) Khái niệm ....................................................................................................................... 12 2.2) Tính chất......................................................................................................................... 14 2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức ................................................................................ 17 II. Bài tập áp dụng ................................................................................................................. 19 Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính.................................................................................. 22 I. Nội dung cần nhớ ............................................................................................................... 22 1) Các khái niệm.................................................................................................................... 22 2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer ....................................................................................... 23 2.1) Ma trận nghịch đảo ......................................................................................................... 23 2.2) Hệ Cramer ...................................................................................................................... 33 3) Hạng ma trận – Phương pháp Gauss .................................................................................. 40 3.1) Hạng ma trận .................................................................................................................. 40 3.2) Phương pháp Gauss ........................................................................................................ 47 II. Bài tập áp dụng ................................................................................................................. 57 Chương 3 : Không gian vector ............................................................................................... 61 I. Nội dung cần nhớ ............................................................................................................... 61 1) Không gian vector ............................................................................................................. 61 1.1) Khái niệm ....................................................................................................................... 61 1.2) Không gian vector con.................................................................................................... 61 2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính ......................................................................... 61 2.1) Tổ hợp tuyến tính............................................................................................................ 61 2.2) Biểu diễn tuyến tính........................................................................................................ 62 2.3) Độc lập tuyến tính........................................................................................................... 65 2.4) Phụ thuộc tuyến tính ....................................................................................................... 69 3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở............................................................................................ 72 3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở .................................................................................. 72 3.2) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ................................................................. 74 4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector................................................... 80 4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector.................................................................................. 80 4.2) Cơ sở của hệ vector ........................................................................................................ 81 4.3) Hạng của hệ vector ......................................................................................................... 81 Phần thứ hai : Một số đề bài tập luyện tập.............................................................................. 86 Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính B(2đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2 Lưu hành nội bộ cá nhân PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Ma trận – Định thức Trong chương này ta cần hiểu và nắm được thế nào là ma trận, định thức và cách tính định thức. I. Nội dung cần nhớ : 1) Ma trận : 1.1) Các khái niệm : 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a a a a a      =       ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ . a) Ma trận là một bảng số gồm m hàng n cột và được gọi là ma trận cỡ m n× . Nó thường được ký hiệu bởi các chữ cái hoa , , ,A B C … và được viết ngắn gọn lại là ( )ij m n A a × = . Nếu viết theo kiểu tập hợp thì được viết dưới dạng ( , )A Mat m n∈ hay ( )A Mat m n∈ × , trong đó ij a là phần tử ở hàng thứ i ( 1,i m= ) và cột thứ j ( 1,j n= ). Ví dụ : ) 2 1 0 1 0 2 A   =     là ma trận cỡ 2 3× . ) 1 1 2 0 1 3 B −    =     là ma trận cỡ 3 2× . b) Ma trận mà có một hàng hay có một cột thì người ta thường hay gọi là ma trận hàng (vector hàng) hay ma trận cột (vector cột). Ví dụ : ) 1 2 3 C     =     là ma trận cột cỡ 3 1× . ) ( )1 1 2 1D = − là ma trận hàng cỡ 1 4× . c) Ma trận mà các phần tử của nó đều bằng 0 thì người ta gọi nó là ma trận O . Ví dụ : 0 0 0 0 O   =     là ma trận cỡ 2 2× . d) Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không (nếu có) luôn ở trên các hàng bằng không và trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Ví dụ : ) 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A −    = −     . ) 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 B −    −   = −       . ) 2 1 1 1 2 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1

MỤC LỤC

Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết 2

Chương 1 : Ma trận – Định thức 2

I Nội dung cần nhớ 2

1) Ma trận 2

1.1) Các khái niệm 2

1.2) Các phép toán 4

2) Định thức 12

2.1) Khái niệm 12

2.2) Tính chất 14

2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức 17

II Bài tập áp dụng 19

Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 22

I Nội dung cần nhớ 22

1) Các khái niệm 22

2) Ma trận nghịch đảo – Hệ Cramer 23

2.1) Ma trận nghịch đảo 23

2.2) Hệ Cramer 33

3) Hạng ma trận – Phương pháp Gauss 40

3.1) Hạng ma trận 40

3.2) Phương pháp Gauss 47

II Bài tập áp dụng 57

Chương 3 : Không gian vector 61

I Nội dung cần nhớ 61

1) Không gian vector 61

1.1) Khái niệm 61

1.2) Không gian vector con 61

2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính 61

2.1) Tổ hợp tuyến tính 61

2.2) Biểu diễn tuyến tính 62

2.3) Độc lập tuyến tính 65

2.4) Phụ thuộc tuyến tính 69

3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở 72

3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở 72

3.2) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ 74

4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector 80

4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector 80

4.2) Cơ sở của hệ vector 81

4.3) Hạng của hệ vector 81

Phần thứ hai : Một số đề bài tập luyện tập 86

ký hiệu bởi các chữ cái hoa A B C …, , , và được viết ngắn gọn lại là A ( )a ij m n

×

kiểu tập hợp thì được viết dưới dạng A∈Mat m n( , ) hay A∈Mat m n( × ), trong đó a ij là phần tử ở hàng thứ i (i=1,m) và cột thứ j ( j=1,n)

e) Ma trận mà có số hàng bằng số cột (m=n) thì người ta gọi là ma trận vuông cấp n và ký hiệu

ma trận tam giác trên cấp 4

e.3) Ma trận tam giác dưới :

ma trận tam giác dưới cấp 4

e.4) Như vậy :

*) Ma trận đơn vị là trường hợp đặc biệt của ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới

*) Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới góp phần trong việc tính định thức (sẽ được đề cập trong phần 2))

1.2) Các phép toán : Nếu ta đã biết đến các phép toán cộng, trừ, nhân chia trên các trường số

thực, số phức, đa thức, phân thức, … thì trên ma trận cũng có các phép toán tương tự như vậy

Để làm phép toán cộng (trừ) các ma trận thì các ma trận đó phải cùng cỡ với nhau và ta thực

hiện cộng (trừ) các phần tử tương ứng với nhau Ta viết ngắn gọn lại là A± =B (a ij±b ij)

theo sơ đồ như sau :

34

34

A = − 

 

Bây giờ ta cần chứng minh nó đúng bằng phương pháp qui nạp

k k

1

k k

k

A

+ +

Từ khái niệm ma trận vuông thì người đưa ra khái niệm về cách tính của nó và người ta gọi là

định thức Ký hiệu là det( )A = A Như vậy, nếu ma trận là một bảng số thì định thức là một số hay biểu thức Vậy cách định thức như thế nào?

Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu cách tính định thức tổng quát thông qua phương pháp định nghĩa qui nạp theo hàng 1

hàng 1 và cột 1, D12 là bỏ đi hàng 1 và cột 2, còn lại kết quả được gì thì ta viết vào biểu thức)

Qui tắc Sarius : Chỉ áp dụng cho định thức cấp 3

Cách 1 : Dùng qui tắc tam giác cân

b) Trong một định thức nếu ta đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột cho nhau thì giá trị của định thức

đó thay đổi dấu (Nếu đổi chẵn lần thì không thay đổi, nếu đổi lẻ lần thì thay đổi) Nếu ta ký hiệu

A′ là ma trận suy ra từ A bằng cách đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột cho nhau thì det( )A′ = −det( )A

một hàng hoặc một cột với một số α∈R thì det( )A′ =αdet( )A

*) Trong một định thức nếu có hai hàng hoặc hai cột mà giống nhau (bằng nhau) thì giá trị của

để giảm bớt phép tính và thời gian tính toán

2.3) Phép biến đổi sơ cấp trên định thức :

Để tính định thức cấp 4 trở nên người ta đưa ra phép biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột trong

chất đưa phần tử chung ra ngoài định thức Sau đó dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa

về định thức của ma trận tam giác trên hoặc dưới

+ + + + ++ + + + +

=

+ + + + ++ + + + +

x x x

x x

Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính

Trong chương này ta cần nắm bắt được khái niệm ma trận nghịch đảo, hệ ra Cramer, hạng ma trận và phương pháp giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát

n

x x

là ma trận hệ số tự do cho trước thì hệ phương trình trên được viết lại dưới dạng ma

trận là AX =B, được gọi là phương trình ma trận

đến ở phần 2), 3), trong chương này

trình thuần nhất có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó được gọi là nghiệm tầm thường (∀ =x j 0, j=1,n) Nếu hệ phương trình thuần nhất có vô số nghiệm thì nghiệm đó được gọi là nghiệm không tầm thường ( ∃ ≠x j 0, j=1,n)

khi B≡O và det( )A ≠0, có nghiệm không tầm thường khi B≡O và det( )A =0

Ma trận A∈Mat n( ) được gọi là khả nghịch nếu ∃ ∈B Mat n( ) sao cho BA=AB=I n Khi đó ma trận

A−

A− là duy nhất và det( )A ≠0 (tức là A là ma trận không suy biến)

Thật vậy : Giả sử B là ma trận nghịch đảo của A

n

A A− =AA− =I

Do det(A C− )≠0 và det( )A =0 nên suy ra det( )B =0

m m

+) Cho A B, ∈Mat n( ), det( )B ≠0, , m n∈N Chứng tỏ rằng ( 1 )m 1 m

c) Phép biến đổi sơ cấp :

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 4 trở lên, người ta thường sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng (h i ↔h j, h i →αh h i, j →βh j +αh i) để đưa ma trận ( ) ( ) 1

Ví dụ : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau :

A− , bên phải hai vế của (3) cho 1

thì phương trình trên được viết lại như

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :

1 2 3

x x

Nếu B≡O và det( )A ≠0 thì hệ Cramer có nghiệm tầm thường (∀ =x j 0, j=1,n)

Nếu B≡O và det( )A =0 thì hệ Cramer có nghiệm không tầm thường (∃ ≠x j 0, j=1,n)

j j

A x

1 1

2 2

3 3

det

2det

det

3det

det

2det

A x

A A x

A A x

1 1

2 2

3 3

4 4

A A x

A A x

A A x

Nếu D≠0 (det( )A ≠0) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Nếu D=D x=D y =D z =0 (det( )A =det( )A1 =det( )A2 =det( )A3 =0) thì hệ vô số nghiệm

Nếu D=0 và D x≠0 (hoặc D y ≠0 hoặc D z ≠0) (det( )A =0 và det( )A1 ≠0 (hoặc det( )A2 ≠0 hoặc

m x

m x



+ Biện luận theo m n, (m n, ∈R) nghiệm của hệ phương trình sau :

m n

Hạng của ma trận A∈Mat m n( , ) là bằng chỉ số k của định thức con D k cấp cao nhất khác 0(Chỉ

Tới đây ta có những nhận xét sau :

- Nếu tính theo định nghĩa thì ta phải tính rất nhiều định thức

- Ma trận cỡ càng lớn thì sự tính toán định thức càng trở nên mất rất nhiều thời gian

- Để giảm bớt sự tính toán nhiều định thức thì ta nên tính định thức cấp cao nhất trước

Như vậy câu hỏi đặt ra ở đây là có phương pháp nào tính nhanh hơn định nghĩa không?

Ngay sau đây chúng ta sẽ đề cập đến một phương pháp biến đổi sơ cấp trên ma trận

b) Phương pháp biến đổi sơ cấp :

Ý tưởng của phương pháp này là dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận

đang xét về ma trận bậc thang Khi đó ma trận bậc thang có chứa bao nhiêu hàng chứa phần tử

m m

n n

số đó ở các hàng cuối hoặc các cột cuối Nhưng nếu ta đưa các tham số đó về ở các hàng cuối hoặc các cột cuối thì bài toán trở nên đơn giản hơn

Ví dụ : Tùy theo tham số m n, (m n, ∈R) tìm hạng của ma trận sau :

Ý tưởng của phương pháp Gauss là dùng phép biến đổi sơ cấp trên phương trình (hàng) để đưa

ma trận mở rộng A về ma trận bậc thang Từ đó suy ra hệ phương trình bậc thang Từ hệ

Cụ thể phép biến đổi sơ cấp trên phương trình là :

Nếu m=1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm

11

3 4

5 21

m m

x

m x

x

m x

x x

x R x

*) Biện luận theo tham số m n, (m n, ∈R) nghiệm của hệ phương trình sau :

m n

m n

m n

m n

m m

m n

+ Nếu r A( )=r A( =(A B))=n (n số ẩn) thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm

+ Nếu r A( )=r A( =(A B))<n (n số ẩn) thì hệ phương trình có vô số nghiệm

+ Nếu r A( )<r A( =(A B)) thì hệ phương trình vô nghiệm

m m

2

2 2

3) Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau :

Chương 3 : Không gian vector

Trong chương này ta cần hiểu được thế nào là không gian vector, không gian vector con, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, cơ sở và cách tìm ma trận chuyển cơ sở, …

I Nội dung cần nhớ :

1) Không gian vector :

1.1) Khái niệm : Cho V là một tập hợp và trên đó ta xây dựng hai phép toán cộng vector với

tám tiên đề sau :

i) ∀x y z, , ∈V: ( )x+ + =y z x y( )+z ii) ∀x y, ∈V: x + = +y y x

iii) ∀ ∈x V : x+ =0 x iv) ∀ − ∈x , x V : x + − =( )x 0

v) ∀x y, ∈ ∀ ∈V, α R: α( ) x+y =αx +αy vi) ∀ ∈ ∀x V , α β, ∈R: (α β+ )x =αx +βy vii) ∀ ∈ ∀ x V, α β, ∈R: ( )αβ x=α β( )x viii) ∀ ∈x V : 1.x =x

1.2) Không gian vector con : Cho φ ≠W ⊂V Khi đó W được gọi là không gian vector con nếu

nó thỏa mãn hai điều kiện sau :

2) Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính :

2.1) Tổ hợp tuyến tính : Cho U ={u u u1, 2, 3,…,u m}⊂V là một hệ vector Khi đó x V ∈ được gọi là

tổ hợp tuyến tính của U nếu ∃ ∈λi R i, =1,m sao cho x =λ1 1u +λ2u2+λ3u3+ +⋯ λm u m

Ví dụ :

*) Vector x = −(1, 1) là tổ hợp tuyến tính của hệ U ={u1=(1, 2),u2 =(1, 3)}

Vì (1, 1− =) ( ) ( )4 1, 2 −3 1,3 hay x =4u1−3u2

*) Vector x = −( 1,1, 3) là tổ hợp tuyến tính của hệ U ={u1 =(1, 2,1),u2 =(1,3, 2),u3 = − −( 1, 1,1)}

Vì (−1,1, 3)= −2 1, 2,1( ) (+2 1,3, 2) (+ − −1, 1,1) hay x = −2u1+2u2+u3

2.2) Biểu diễn tuyến tính : Cho U ={u u u1, 2, 3,…,u m}⊂V là một hệ vector Khi đó x V ∈ được gọi

là biểu diễn tuyến tính được qua hệ U nếu phương trình λ1 1u +λ2u2+λ3u3+ +⋯ λm u m =x có nghiệm

biểu diễn tuyến tính được qua hệ U +) x =(1,1,3, 4 , ) U ={u1=(1, 2,1, 3),u2=(1,1, 2, 4),u3=(2,3, 4, 7),u4 = − −( 1, 1,1, 4)− }

*) Với điều kiện nào của tham số m n, (m n, ∈R) thì vector x

biểu diễn tuyến tính được qua hệ

0

30

m m

m m

m n

m n

độc lập tuyến tính nếu phương trình λ1 1u +λ2u2+λ3u3+ +⋯ λm u m =0 có nghiệm tầm thường (tức là

m m

*) Cho hệ U={a b c d, , , } độc lập tuyến tính Với điều kiện nào của tham số m (m là tham số thực

V = a + b c + +md a+mb c + + d − − − +a b c d a + +b mc + d Xét λ1(a +2b c + +md) (+λ2 a +mb c + +2d) (+λ3 − − − +a b 2c d) (+λ4 2a + +3b mc +7d)=0

Chú ý :

+ Nếu hệ U có chứa vector 0

có nghiệm không tầm thường

m m

có nghiệm không tầm thường

m m

*) Cho hệ U={a b c d, , , } độc lập tuyến tính Với điều kiện nào của tham số m (m là tham số thực

3) Cơ sở – Ma trận chuyển cơ sở :

3.1) Cơ sở – Tọa độ vector trong cơ sở :

a) Khái niệm : Cho U={u u u1, 2, 3,…,u m}⊂V là một hệ vector Khi đó U được gọi là một cơ sở trong V nếu U độc lập tuyến tính tối đại (U độc lập tuyến tính và nếu ta thêm vào U một vector u m+1 thì { }U u, 4 trở nên phụ thuộc tuyến tính)

Ví dụ :

1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1)

R Thật vậy :

m

x

λλλ

b) Ma trận chuyển cơ sở – Công thức đổi tọa độ:

* Cho hai cơ sở B={b b b1, 2, ,3 …,b m}⊂R n và B′={b b b1′ ′ ′, 2, ,3 …,b m′}⊂R n Gọi S là trận chuyển cơ sở

từ cơ sở B sang cơ sở B′, 1

S− là trận chuyển cơ sở từ cơ sở B′ sang cơ sở B

* Để tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở B′ ta tìm tọa độ lần lượt của từng

1, 2, ,3 , m

b b b′ ′ ′ … b′ trong cơ sở B Cụ thể là ta giải phương trình λ1 1b +λ2b2+λ3 3b + +⋯ λm b m =b i i′, =1,m

Khi đó :

1 2

Ta thấy các hệ phương trình trên chỉ khác nhau ở cột hệ số tự do nên nếu ta giải từng hệ phương

bất kỳ thay thế cho các vector trong cơ sở B′ và ta giải phương trình λ1 1b +λ2b2+λ3 3b + +⋯ λm b m =x Sau đó ta thay vai trò vector x

lần lượt bởi các vector trong cơ sở B′ thì ta được ma trận cần tìm

-) B={b1= −( 1,1, 2 ,− ) b2 = −(1, 2,1 ,) b3= −( 2,1, 4 ,− ) } B′={b1′=(1, 2, 3 ,) b2′ =(1, 3, 4 ,) b3′=(2,3, 2) }

Thay vai trò vector x

lần lượt bởi b b b1′ ′ ′, 2, 3 trong cơ sở B′ ta được :

Thay vai trò vector x

lần lượt bởi b b b1′ ′ ′, 2, 3 trong cơ sở B′ ta được :

Để tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B′ sang cơ sở B, ta có những cách sau :

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B′ sang cơ sở B là 1

4) Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector :

4.1) Không gian con sinh bởi hệ vector :

Cho U={u u u1, 2, 3,…,u m} là một hệ vector Khi đó tập

1

m

i i i i

L U λu λ R

=

gian con sinh bởi hệ U

4.2) Cơ sở của hệ vector :

Cho U ={u u u1, 2, 3,…,u m} là một hệ vector Khi đó hệ { 1, 2, 3, , } ,

Số chiều của không gian con sinh bởi hệ vector là dim(L U( ))=r U( )

Nếu r U( )<m thì hệ U phụ thuộc tuyến tính

Vậy : B={u1=(1,1, 2,1,1), u2 =(2,3, 3,1, 3), u4=(1,1,3, 2, 2)} là cơ sở và dim(L U( ))=3

Vậy : B={u1=(1,1, 2, 1), − u2 =(1, 2,3, 0), u3=(2,3, 6, 1)− } là cơ sở và dim(L U( ))=3

c) Tùy theo điều kiện của tham số m n, hãy chỉ ra một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ U ={u1=(1,1, 1, ,1),− m u2 =(2, , 2, 4, 2),m − u3=(1,1, , 1,m − −m u), 4 =( , 2,1,1, )m n}

n n

n m

m m

m

m m

a) U ={u1=(1, 3,m u), 2 =(m,1, 3 ,) u3=(3, ,1m ) } b) U ={u1=(1,1,m u), 2 =(m, 2, 2 ,) u3 =(2, ,1m ) }

U = u = m m u = m m u = m d) U ={u1=(1, 2,1 ,) u2 =(1, , 2 ,m ) u3 =(2,5,m) } e) U ={u1=(1,1,1, ),m u2 =( , 2, 2,1),m u3 =(2, , 3, 3),m u4 =(3, 3, , 2)m }

b) U ={u1=(1, 2,1, ),m u2=(1, ,1, 2),m u3 = − −( 1, 1,m+1,1),u4 =(1,3, 3,n+m)}

sinh bởi hệ U sau :

a) U ={u1=(1,1, 2,1, 1),− u2 =(2, 3, 5, 3, 1),− u3=(1, 2, 4, , 2),m − u4 =(2, , 3,1, )m n}

b) U ={u1=(1,1, 1,1, 2),− u2=(2,1, 1, ,3),− m u3=(1, 2, ,5,3),m u4 =( ,1, 1,10, )m − n}

c) U ={u1=(1, 2,1,1),u2 =(2,3, 3,1),u3=(1,1, ,1),m u4 =(3,5, 4, ),n u5 =(1, ,1, )m m}

d) U ={u1=(1,1, 2, ,1),m u2 =(1, , 2,1,1),m u3=(2, 2, ,8, 2),m u4 =( ,1,8, 7, )m n}

PHẦN THỨ HAI : MỘT SỐ ĐỀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

2) Giải hệ phương trình trên khi b=0

Câu 3 : Tìm điều kiện của p q r, , ∈R để hệ B sau độc lập tuyến tính

B= b = p+ −r q p−q b = q p−r q b = − r q q− −p r

2) Giải hệ phương trình trên khi m=0,n=8

Câu 3 : Cho hệ {a b c d, , , } độc lập tuyến tính Chứng minh rằng hệ sau cũng độc lập tuyến tính

Câu 2 : Với điều kiện nào của p q r, , thì hệ sau không là hệ Cramer ?

2) Giải hệ phương trình khi m=0,n= −9

2) Giải hệ phương trình trên khi b=0

Câu 3 :

2) Giải hệ phương trình trên khi m=0,n=1

2) Giải hệ phương trình trên khi a=0

Câu 3 : Tùy theo tham số m n, tìm hạng của hệ vector S sau :