một số vấn đề chuyên sâu trong đại số tuyến tính

23 2.1.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp phương pháp Gauss ..... Những khó khăn thường gặp ở các đề thi đó là: tính định thức cấp n, giải hệ phương

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

Th.S Trang Văn Dễ Cao Thị Bích Liểu

MSSV: 1090093

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập trong trường Đại học vừa qua, em đã được quý thầy cô cung cấp, truyền đạt tất cả kiến thức chuyên môn cần thiết và quý giá nhất Ngoài ra em còn được rèn luyện một tinh thần học tập, làm việc độc lập và sáng tạo Đây là những điều hết sức cần thiết để có thể thành công khi bắt tay vào nghề nghiệp trong tương lai

Luận văn tốt nghiệp là cơ hội để em có thể áp dụng, tổng kết lại những kiến thức mà mình đã học Đồng thời, rút ra được những kinh nghiệm thực tế rất quý giá trong suốt quá trình thực hiện đề tài Sau một thời gian tập trung công sức cho đề tài và làm việc tích cực, đặc biệt là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy Trang Văn

Dễ đã giúp cho em hoàn thành đề tài một cách thuận lợi và gặt hái được những kết quả mong muốn Bên cạnh những kết quả mà em đạt được, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót khi thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình Em rất mong nhận được đóng góp của quý thầy cô để nội dung luận văn của em được hoàn chỉnh hơn

Là sinh viên ngành Sư phạm toán tin, em rất tự hào về khoa mà mình theo học, tự hào về tất cả các thầy cô của mình Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn công lao dạy dỗ của quý thầy cô Kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ, tiếp tục đạt được nhiều thắng lợi trong nghiên cứu khoa học và sự nghiệp trồng người Trân trọng kính chào!

Cần thơ, tháng 5 năm 2013 Sinh viên thực hiện

Cao Thị Bích Liểu

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

VI CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN 1

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH THỨC 3

1.1 Các phương pháp tính định thức 3

1.1.1 Đưa về dạng tam giác 3

1.1.2 Rút nhân tử tuyến tính 3

1.1.3 Phương pháp truy hồi 4

1.1.4 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng (tích) các định thức khác 5

1.1.5 Thay đổi các phần tử của định thức 5

1.1.6 Đưa về dạng Vander Monde 6

1.2 Các bài toán liên quan đến định thức 6

1.3 Bài tập đề nghị 19

CHƯƠNG 2 HẠNG CỦA MA TRẬN 23

2.1 Các phương pháp tính hạng của ma trận 23

2.1.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 23

2.1.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 24

2.2 Các bài toán liên quan đến hạng của ma trận 25

2.3 Bài tập đề nghị 34

CHƯƠNG 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 36

3.1 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 36

3.1.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức 36

3.1.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổi sơ cấp 37

3.1.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình 38 3.1.4 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton 39

3.2 Các bài toán liên quan đến ma trận nghịch đảo 40

3.3 Bài tập đề nghị 45

CHƯƠNG 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 47

4.1 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 47

4.1.1 Phương pháp khử Gauss 47

4.1.2 Hệ Cramer 48

4.2 Các bài toán liên quan đến hệ phương trình tuyến tính 49

4.3 Bài tập đề nghị 64

CHƯƠNG 5 LŨY THỪA BẬC CAO CỦA MA TRẬN 66

5.1 Các phương pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận 66

5.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 66

5.1.2 Phương pháp chéo hóa ma trận 66

5.1.3 Phương pháp tách ma trận 68

5.1.4 Phương pháp lượng giác hóa 69

5.1.5 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton 70

5.2 Các bài toán liên quan đến lũy thừa bậc cao của ma trận 73

5.3 Bài tập đề nghị 89

PHẦN KẾT LUẬN 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đại số tuyến tính là một môn học quan trọng đối với sinh viên sư phạm Toán cũng như sinh viên các ngành kĩ thuật khác, nó có ứng dụng to lớn vào đời sống xã hội Chính vì lẽ đó mà môn Đại số tuyến tính trở thành một môn thi quan trọng trong các kì thi Olympic Toán hàng năm ở nước ta và một số nước trên thế giới

Những khó khăn thường gặp ở các đề thi đó là: tính định thức cấp n, giải hệ phương

trình tuyến tính, tính lũy thừa bậc cao của ma trận Để giải quyết được những vấn

đề này mọi người cần phải chuẩn bị cho mình những kiến thức cần thiết Chính vì

thế em đã chọn đề tài: “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” làm

đề tài luận văn của mình

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu nhằm thống kê lại một số phương pháp tính định thức, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, tính lũy thừa bậc cao của ma trận và thao tác tư duy Từ đó rút ra cách phân tích và phương pháp giải từng dạng bài tập

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Em đã chọn đề tài “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” để nghiên cứu Trong đó, phạm vi nghiên cứu là các kiến thức có liên quan đến Đại số tuyến tính

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” và một số bài tập có liên quan từ sách vở, thư viện, trung tâm học liệu, trên mạng internet, thầy

cô…

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp chính được sử dụng trong quá trình nghiên cứu là tổng hợp kiến thức từ các tài liệu khác nhau, phân tích, so sánh, sau đó trình bày theo hệ thống logic

VI CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN

Luận văn gồm 5 chương:

Chương 1 Định thức

Chương 2 Hạng của ma trận

Chương 3 Ma trận nghịch đảo

Chương 4 Hệ phương trình tuyến tính

Chương 5 Lũy thừa bậc cao của ma trận

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH THỨC 1.1 Các phương pháp tính định thức

1.1.1 Đưa về dạng tam giác

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột để đưa định thức về dạng có mọi phần tử nằm ở phía dưới (hoặc trên) đường chéo chính đều bằng không

1

n n n

1 2 2 2

2 3

1 1

1

n n

x a x

n i

a x



1.1.3 Phương pháp truy hồi

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên định thức hoặc định lý Laplace để có thể biểu diễn định thức qua các định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn Sau đó tính các định thức cấp thấp hơn để từ đó đón nhận công thức tổng quát và dùng phương pháp truy hồi để tìm định thức

Lấy dòng thứ n1 nhân với  a n rồi cộng với dòng n, lấy dòng thứ n2

nhân với ( a n) rồi cộng với dòng n1,…, lấy dòng thứ nhất nhân với ( a n) rồi cộng với dòng hai, ta có:

D  



1.1.4 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng (tích) các định thức khác

Khai triển định thức thành tổng (tích) các định thức cùng cấp, rồi tính các định thức thành phần Từ đó suy ra giá trị các định thức cần tìm

1.1.5 Thay đổi các phần tử của định thức

Phương pháp này dựa vào tính chất: “Cho ma trận A (aij ) M n( ),K

n

i j ij

Thêm x vào mọi phần tử của D n,ta được:

D     

,

)1( Mà các phần bù đại số  1 i j M ijkhông nằm trên đường chéo đều bằng không, còn phần bù đại số của các phần tử nằm trên đường chéo thì bằng tích các phần tử chéo còn lại Nên ta tính được định thức

)] ) (

)(

(

) ) (

)(

[(

) ) (

)(

(a1 x a2 x a x x a2 x a3 x a x a1 x a2 x a 1 x

D n    n     n      n 

1.1.6 Đưa về dạng Vander Monde

Dùng các phép biến đổi hoặc khai triển Laplace để đưa về dạng định thức Vander Monde

a n b a b 

   

Bài 3 Cho a b,  ,ab.Tính định thức cấp n n( 3)sau:

x x

n n

n n

1 1 1 2

sin os 0 0 os os os sin os 0 0 sin sin sin

n n

C B

c c c

n n

phụ thuộc tuyến tính vào cột thứ n) Suy ra D n   1 (a b1 1  a b n n) 1 

Bài 7 (Olympic 1995) Cho A là ma trận vuông cấp n và số r thỏa điều kiện

det(B rI n)  0 Chứng minh rằng với mọi a0,  , a n ,n , ta có:

.0)det(

k

n k k k

k B a r I a

Giải

Với mọi k 1, , n ta có được B k rI n  (BrI n)(B k1rB k2 r k1I n). Ta đặt

n k k

k

M  1 2  1 , suy ra k n n k

M rI B rI

B   (  ) Do đó ta được:

)(

)(

0 0

0

0

M rI B M a rI B I r B a I

r a

B

n k k n n

k k n k k n

k n

k

k k

A  I Suy ra

1994

997 2

131

3 1 997

997 1995

23 22 21

13 12 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

22

a a a a a a a a a (2)

Từ (1) và (2) thì ta có:

33 32 31 23 22 21 13 12

11

a a a a a a a a

a

a a a a a a a

Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu, ta sẽ có vế trái là một đa thức bậc 3

của x, kí hiệu là f x( ) Ta có f(2)0vì khi đó định thức ở vế trái có 2 dòng đầu bằng nhau Tương tự f(3)0, (4)f 0.Vì f x( )là đa thức bậc 3, có 3 nghiệm là 2,3,4 nên phương trình trên có nghiệm là 2,3,4

0

( 1) ( 2) ( 3)( 1) ( 2) ( 3)

a a a a

a a a a

a a a a D

Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) có công thức truy hồi:

n n

n n

C B

c c c

1 1 2 2

1 ( 1) ( )n ( 1)n ( 1) n .

n

d n x x n x x

n

x

n x x

a) Nếu n3,thì tồn tại ma trậnAsao cho detA 0.

b) Nếu n4,ta luôn có detA 0.

det ( 1)N j j j j j j .

j j

B   b b b b

n n n n

0 1 2 1

100

00

Bài 20 (Olympic 2009) Tìm tất cả các ma trận vuôngAcấp n 2sao cho với mọi

ma trận vuông cấpn, ta đều có det(A B )detAdet B

ij ij

0

0 ( )( )

có các phần tử là 1 hoặc -1 Cho BM có det(B)0.Chứng minh rằng tồn tại

AM sao cho detA detB Trong đó A có tổng các phần tử trên cùng một hàng đều lớn hơn hoặc bằng 0, tổng các phần tử trên cùng một cột đều lớn hơn hoặc bằng

Chứng minh rằng định thức củaAlà một đa thức đối xứng theo các biến x x x x1, 2, 3, 4.

Tính định thức củaAkhi x x x x1, 2, 3, 4lần lượt là bộ 4 nghiệm của đa thức

b) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có

detAdet(A B )det(A2 )B  det(A2009 )B 0

Bài 11 (Olympic 2013) Cho a a0, 1, ,a n là các số thực, n 2. Tính định thức:

CHƯƠNG 2 HẠNG CỦA MA TRẬN2.1 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

 Tồn tại một định thức con cấpk 1của A là D k1chứa định thức con D k khác

0 Khi đó lặp lại bước 2 với D k1thay cho D k Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra khả năng (1) hoặc (2) thì kết thúc

tạo thành bởi 2 dòng dầu, 2 cột đầu củaA)

Xét các định thức con cấp 3 của A chứa D2, ta thấy có định thức con cấp 3 khác

Tiếp tục, xét các định thức con cấp 4 củaA chứa D3. Có tất cả 2 định thức như vậy, đó là

Cả 2 định thức này đều bằng 0 Do đó rank A3

2.1.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp ( phương pháp Gauss)

Để tìm hạng của ma trận AM m,n(K) \ 0 (m,n 2 ), trước hết ta dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng (tương ứng, cột) đưa ma trậnAvề ma trận bậc thang dòng (tương ứng, cột)B Khi đó hạng củaAchính là số dòng (tương ứng, cột) khác không của B

434343

212121

121212

2.2 Các bài toán liên quan đến hạng của ma trận

Bài 1 Tìm hạng của các ma trận sau:

Vì có định thức con cấp n 1 (bỏ dòng đầu, cột đầu )

n  n rank IA rank IA rank IA rank I n

Suy ra rank A I(  ) rank I( A)n

Bài 5 (Olympic 1995) Cho ma trận vuông A (aij)cấp n n( 1)có hạng r Xét ma trận *

Vì k

rank A  nên từ một số n0nào đó trở đi, các dấu trong (*) trở thành đẳng thức

Bài 7 (Olympic 2002) Cho Pvà Q là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn các điều kiện sau: 2 2

Rõ ràng mọi nghiệm của phương trình đầu đều là nghiệm của phương trình thứ hai

Ta sẽ chứng minh mọi nghiệm của (2) cũng là nghiệm của (1) Thật vậy, giả sử x0

là nghiệm của (2), nghĩa là

2

0 (AA  A x n)  0.

trong đó k là số chiều của không gian nghiệm hai phương trình trên, còn m là cấp của ma trận A

Bài 9 Cho ma trận AM n( )có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0, còn các phần tử còn lại đều bằng 1 hoặc bằngp(p là số nguyên tố,p2) Chứng minh rằng rank A n 1

rank A rank B

2005220052

min rank A A rank BB 

Bài 12 (Olympic 2007) Cho A (aij)n n trong đó các phần tử aij  i j,, 1, 2, ,

Dễ thấy rank B1rank B2   1 rank Arank B( 1B2) rank B1rank B2  2. Kí hiệu

Clà ma trận con cấp 2 nằm bên trái phía trên của , 2 3 .

Bài 13 (Olympic 2009) Cho A B C, , là các ma trận vuông cấp n sao cho Cgiao hoán vớiAvà 2

,

B C I(ma trận đơn vị) và AB2(A B C ) a) Chứng minh rằng ABBA.

b) Nếu có thêm điều kiện A  B C 0 hãy chứng tỏ:

Nhân phân phối lại, ta được ABBA.

b) Nếu có thêm điều kiện A  B C 0 thì 2

n rank C rank A B C rank A C B C

rank A C rank B C n rank A C B C n

Bài 4 Cho ma trận A( )aij M n , trong đó a ii  0và aij  1, 1 (i j) Chứng minh rằng với n là số chẳn thìAlà ma trận không suy biến, còn n lẻ thìAcó thể suy biến nhưng rank A n 1.

Bài 5 Cho P Q R, , M n  Hỏi rank PQ rank QR rank Q rank PQR 

không? Tại sao?

Bài 6 Cho A B, M n( ),chứng minh rằng:

a) rank A rank B rank A B(  )rank A rank B

b) rank A rank B n  rank ABminrank A rank B, 

CHƯƠNG 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

3.1.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình

a a

31

(a) Nếu a1,ta có thể chọn tham số y y y y1, 2, 3, 4để (a 2)y1 y2 y3 y4  0.

Khi đó hệ vô nghiệm và do đóAkhông khả nghịch

1

( 2)( 1)( 3)

1

( 2)( 1)( 3)

1

( 2)( 1)( 3)

3.2 Các bài toán liên quan đến ma trận nghịch đảo

Bài 1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:

Vậy 1

1

1 7 5 3

41

41

( 1) ( )

n n

a

 

Bài 5 (Olympic 1996) ChoAlà một ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng nếuA

không khả nghịch thì có thể thay thế các phần tử aii củaAbởi số 0 hoặc số 1, còn các phần tử khác vẫn giữ nguyên, để nhận được ma trận mới S khả nghịch

Giải

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n1, hiển nhiên đúng

Giả thiết mệnh đề đúng với n1,nghĩa là ta đã thay thế các phần tử a iicủa A,

Trong đó ít nhất một hệ số khác 0 Giả sử m max 1 , 2 , ,n Đương nhiên 0.

n n

CHƯƠNG 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

4.1 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

i) Nếu ta thấy có một dòng i nào đó là dòng không thì ta bỏ dòng i đó

ii) Nếu ta thấy hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì ta bỏ đi một dòng

iii) Nếu thấy một dòng có dạng 0 0 0 | a, với a khác 0 thì kết luận ngay

hệ phương trình đã cho vô nghiệm mà không cần biến đổi tiếp

5 3

4 2

5 4 3 2 1

x x

x x

x x x x x

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là

23

5 3

4 2

5 1

x x

x x

x x

732

52

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

0 0 0 0

3 1 2 1

1 2 1 1

10 7 5

4 3 3 2

3 1 2 1

1 2 1 1

1 2 3

3 d d d d

i  , trong đó Dlà định thức của ma trận hệ số, D ilà định thức nhận được

từ Dbằng cách thay cột thứ i của ma trận hệ số bởi cột tự do

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

111

111

A có D detA  4 0nên hệ trên là hệ Cramer

Ta lại có các định thức

4113

111

111

111

111

311

111

111

3 3

2 2

1 1

D

D x D

D x D

D x

4.2 Các bài toán liên quan đến hệ phương trình tuyến tính

Bài 1 Cho hệ phương trình:

3

12

25

12

52

62

372

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

m x x x x

m x x x x

m x x x x

m x x x x

Để hệ phương trình có nghiệm thì rank Arank A mà rank A3 rank A 3

8 120 015

m m

4 2

4 1

122

x x

x x

x x

x

k x

k k x

x k

Bài 3 Cho hệ phương trình

ax x x

ax x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

32

23

32

(a b, là các tham số thực)

a) Tìm a b, để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

b) Tìm a b, để hệ phương trình trên có nghiệm

c) Tìm a b, để hệ phương trình trên vô nghiệm

b a

0 7

2 3

b) Để hệ phương trình có nghiệm thì rank Arank A

b a a

c) Để hệ phương trình vô nghiệm thì rank Arank A