Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử a... nh bài toán sau chẳng hạn Bài 7.
Trang 1Từ một hẳng đẳng thức.
Bài toán:
Chứng minh : a3 +b3 +c3 − 3abc= (a+b+c)(a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca) (*)
Nhận xét.
Việc chứng minh hằng đẳng thức trên không khó khăn lắm ta có thể tiến hành theo hai hơng sau:
- Biến đổi VF = VT
- Biến đổi VT = VF
Tiến hành theo hai hơng khác nhau thị mức độ thuận lợi cũng khác nhau
Từ hằng đẳng thức trên ta có hệ qủa sau:
Nếu a+b+c= 0 thì a3 +b3 +c3 =3abc (**)
Vận dụng hệ quả này ta có các bài tập sau:
Bài1 Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử
a (a−b) 3 + (b−c)3 + (c−a) 3
b (x+ 2 ) 3 + ( 2x+ 1 ) 3 − ( 3x+ 3 ) 3
giải
a Nhận thấy: (a - b) + (b – c) + (c – a) = 0
áp dụng (**) có: ( )3 ( )3 ( )3 3( )( )( )
a c c b b a a
c c b b
b nhận thấy: (x + 2) + (2x + 1) + (-3x – 3) = 0
Từ: (x+ 2 ) 3 + ( 2x+ 1 ) 3 − ( 3x+ 3 ) 3 = (x+ 2 ) 3 + ( 2x+ 1 ) 3 + ( − 3x− 3 ) 3
) 1 )(
1 2 )(
2 ( 9
) 3 3 )(
1 2 )(
2 (
3
+ + +
−
=
−
− + +
=
x x x
x x
x
Bài2 Cho xy + yz + zx = 0 và xyz≠ 0
Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 2 2 2
y
zx x
yz z
xy
Giải
Từ : xy + yz + zx = 0 ⇒ + + = 0
xyz
zx yz xy
0 1 1
⇒
z y
Biến đổi biểu thức A nh sau:
2 2 2 ( 13 13 13)
z y x
xyz y
zx x
yz z
xy
Vận dụng (**) cho trờng hợp ba số
z y x
1
;
1
;
1 thoả mãn điều kiện (2.1) Khi đó = ( 13 + 13 + 13) = 3 = 3
xyz
xyz z
y x xyz A
Bài3 các số a, b, c thoả mãn điều kiện gì khi a3 +b3 +c3 =3abc
Giải Từ: a3 +b3 +c3 =3abc⇔a3 +b3 +c3 −3abc=0 (3.1)
Trang 2Theo (*) thì 3 3 3 3 ( )( 2 2 2 )
ca bc ab c b a c b a abc c
b
=
−
−
− + + +
+b c a b c ab bc ca
⇔a+b+c= 0 hoặc a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca=0
Nếu a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca=0
c b a
a c c b b a
=
=
⇔
=
− +
− +
−
⇔ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0
Bài4 Cho x,y,z thoả mãn: x3 +y3 +z3 = 3xyz Hãy tính giá trị của biểu thức sau: ( 1 )( 1 )( 1 )
y
z z
x x
y
Giải Biến đổi tơng biểu thức ( 1 )( 1 )( 1 )
y
z z
x x
y
( )( )( )
y
z y z
x z x
y x
Theo bài 3 Nếu x3 +y3 +z3 = 3xyz
⇔x+ y+z = 0 hoặc x= y= z
* Nếu x+y+z= 0 khi đó = (− )(− )(− ) = − 1
xyz
z y x M
* Nếu x = y = z khi đó M = 8
Bài4 trong mặt phẳng toạ độ oxy tìm các điểm M(x;y) thoả mãn:
x3 − y3 − 1 = 3xy
Giải
Từ x3 −y3 − 1 = 3xy chúng ta đa về dạng hằng đẳng thức (*)
x3 −y3 − 1 = 3xy
⇔x3 + ( −y) 3 + ( − 1 ) 3 − 3x( −y)( − 1 ) = 0
⇔x+ ( −y) + ( − 1 ) = 0 hoặc x2 +y2 + 1 +xy−y+x= 0
* Nếu x + (-y) +(-1) = 0 x – y – 1 = 0 y = x - 1
Vậy tập hợp các điểm đó năm trên đờng thẳng y = x – 1
* Nếu x2 + y2 + 1 +xy−y+x= 0
⇔ (x+y) 2 + (y− 1 ) 2 + (x+ 1 ) 2 = 0
⇔ x = -1
y = 1
Điểm M(-1;1)
Bài6 trục căn thức của biểu thức 3 31 3
c b a
A
+ +
=
Giải Đối với mẫu thức chúng ta xem nh x + y + z, để xuất hiện hằng đẳng thức (*) Ta phải nhân với đa thức x2 +y2 +z2 −xy−yz−zx Khi đó mẫu thức có dạng x3 +y3 +z3 − 3xyz
Trang 3Vậy phải nhân 3 a+ 3 b+ 3 c với 3 a2 + 3 b2 + 3 c2 − 3 a 3 b− 3 b 3 c− 3 c 3 a
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
.
c b a c b a
a c c b b a c b a
A
− + +
−
−
− + +
=
Nh vậy ta đã đa biểu thức về dạng: 3
k n
m A
+
=
Khi ở dạng trên thì chỉ cần nhân với biểu thức liên hợp quen thuộc là:
n2 + 3 k2 −n3 k thì ta đã khủ mẫu hoàn chỉnh
Nhận xét: tuy nhiên không phải bài toán nào cũng phải nhân hai lần liên hợp nh bài toán sau chẳng hạn
Bài 7 Trục căn thức sau:
16 2 2 4 4
1 3
=
A
Giải Biểu thức liên hợp: 16 3 16 + 4 3 4 + 256 − 8 3 8 + 64 3 4 + 32 3 2 thì biểu thức có
dạng
240
240 4 70 2 64 8
8 16 3 256 16 256
2 32 4 64 8 8 256 4 4 16
3
3 3
3 3
3
−
+ +
=
− + +
+ +
− + +
=
A
Bài 8 Giải và biện luận phơng trình ax3 +bx+c=0
27
4 3
3 2
2
≥ +
a
b a
c
Giải
Từ phơng trình ax3 +bx+c=0
⇔ 3 + + = 0
a
c a
bx x
Ta biến đổi phơng trinh về dạng
0
3 3
3 + − − =
a
bx a
c x
⇔ x3 +d3 +e3 −3dex=0
áp dụng hẳng đẳng thức (*) thì phơng trình trên thành
(x+d+e)(x2 +d2 +e2 −dx−ex−de) = 0
⇔ x= −d−e (8.1)
Với d3,e3 là nghiệm của phơng trình sau:
27 3
3
a
b X a
c X
22 33
27 4
a
b a
=
∆
Bài 9 Giải phơng trrình:
a 54x3 −9x+ 2 =0
b 6x3 +3x−5=0