Tìm thương của phép chia hai đa thức.. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Trang 1Hằng đẳng thức AB2 A2 2ABB2 và những ứng dụng
trong giải toán lớp 8
1-Dạng 1: Tính nhanh, tính một cách hợp lý: đưa về HĐT để tính.
Ví dụ: a) 1012=(100+1)2=1002 +2.100.1+12 =10201
b) 1992 =(200-1)2 =2002-2.200.1+12=39601
c) 342 +662+68.66=342+2.34.66+662 =(34+66)2 =1002 =10000 d) 742 +242-48.74=742 -2.74.24+242 =(74-24)2=502 =2500
2-Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
- Áp dụng HĐT để rút gọn biểu thức
- Thay giá trị của biến rồi tính
Ví dụ: a) 49x2-70x+25 với x=5
Ta có 49x2-70x+25=(7x)2 -2.7x.5+52=(7x-5)2
Thay x=5 được 49x2 -70x+25= (7.5-5)2 =302 =900
b) 4x2 +8x+4 với x=-3/2
Ta có 4x2 +8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2
Thay x=-3/2 được 4x2 +8x+4=4(-3/2+1)2 =4(-1/2)2=4.1/4=1
3-Dạng 3: Chứng minh biểu thức P(x)>0 với mọi giá trị của x.
Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=(xa)2+số dương>0
Ví dụ: a) Chứng minh x2 -6x+10>0 với mọi x
Ta có x2-6x+10=(x2-6x+9)+1=(x-3)2 +1>0 với mọi x
b) Chứng minh x2 -2xy+y2 +1>0 với mọi x,y
Ta có x2-2xy+y2 +1=(x2 -2xy+y2 )+1=(x-y)2 +1>0 với mọi x,y
4-Dạng 4 : Chứng minh biểu thức P(x)<0 với mọi giá trị của x.
Phương pháp: Đưa về dạng: P(x)=-(xa)2+số âm<0
Ví dụ : a) Chứng minh x-x2-1<0 với mọi x
Ta có x-x2 -1=-(x2-2.x.1/2+1/4)-3/4=-(x-1/2)2 -3/4<0 với mọi x
b) Chứng minh -4x-x2-5<0 với mọi x
Ta có -4x-x2-5=-(x2 +2.x.2+4)-1=-(x+2)2-1<0 với mọi x
5-Dạng 5 : Tìm GTNN của biểu thức P(x)
Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=(xa)2 +mm
Suy ra GTNN của P(x) là m khi xa=0
Ví dụ : Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a) M=x2 +y2-x+6y+10
b) P=x2 -2x+5
c) Q=2x2-6x
Giải:
a) M=(y2+6y+9)+(x2-x+1/4)+3/4=(y+3)2+(x-1/2)2 +3/43/4
Trang 2Suy ra GTNN của M là 3/4 khi x=1/2,y=-3
b) P=(x2 -2x+1)+4=(x-1)2+44
Suy ra GTNN của P là 4 khi x=1
c) Q=2(x2 -2.x.3/2+9/4)-9/2=2(x-3/2)2-9/2-9/2
Suy ra GTNN của Q là -9/2 khi x=3/2
6-Dạng 6 : Tìm GTLN của biểu thức P(x)
Phương pháp : Đưa về dạng : P(x)=-(xa)2 +nn
Suy ra GTLN của P(x) là m khi xa=0
Ví dụ : Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a) A=4x-x2 +3
b) B=x-x2
c) C=2x-2x2-5
Giải:
a) A=-(x2 -2.x.2+4)+7=-(x-2)2 +7 7
Suy ra GTLN của A là 7 khi x-2=0 hay x=2
b) B=-(x2 -2.x.1/2+1/4)+1/4=-(x-1/2)2 +1/41/4
Suy ra GTLN của B là ¼ khi x=1/2
c) C=-2(x2-2.x.1/2+1/4)-9/2=-2(x-1/2)2-9/2-9/2
Suy ra GTLN của C là -9/2 khi x=1/2
7-Dạng 7 : Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức Tìm
thương của phép chia hai đa thức.
Ví dụ : Thực hiện phép chia :
a) (x2 +2xy+y2 ) :(x+y)
b) (x2 -2xy+y2) :(y-x)
Giải :
a) (x2 +2xy+y2 ) :(x+y)=(x+y)2 :(x+y)=x+y
b) (x2 -2xy+y2 ) :(y-x)=(y-x)2 :(y-x)=y-x
8-Dạng 8 : Rút gọn phân thức : Dùng HĐT phân tích tử và mẫu thành nhân tử Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ : Rút gọn các phân thức sau :
a)
x x
x x
2
12 12 3
2 2
; b)
x x
x x
3 3
7 14 7
2 2
Giải :
x x
x x x
x
x
) 2 (
) 2 ( 3 2
) 4 4 ( 3 2
12 12
2
2 2
2
x x
x x x
x
x
x
3
) 1 ( 7 ) 1 ( 3
) 1 ( 7 3
3
) 1 2 ( 7 3
3
7 14
2
2 2
2
9-Dạng 9 : Tìm n để đa thức A chia hết cho đa thức B.
Ví dụ : Tìm n để đa thức 4x2 +12x+9 chia hết cho đa thức 2x+n
Trang 3Giải : Ta có : 4x2 +12x+9=(2x+3)2
4x2+12x+92x+n (2x+3)2 2x+n n=3
Chú ý : Thực hiện phép chia cũng được song phức tạ hơn :
4x2 +12x+9 2x+n
4x2 +2nx 2x+(6-n)
(12-2n)x+9
(12-2n)x+6n-n2
n2-6n+9
Ta có 4x2 +12x+92x+n n2 -6n+9=0 (n-3)2 =0 n=3
10-Dạng 10 : Giải toán tìm x : Đưa về dạng (xa)2=0, suy ra x=a
Ví dụ : Tìm x biết :
a) x2 -x+1/4=0
b) x2 -4x+4=0
Giải:
a) x2 -x+1/4=0 (x-1/2)2=0 x=1/2
b) x2 -4x+4=0 (x-2)2 =0 x=2