TỌA độ PHẲNG

Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD tâm O.. Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đ

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ PHẲNG THẦY GIÁO : PHẠM KIM CHUNG

A Chủ đề 1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.

 Phương trình đường thẳng.

 Véctơ nur r0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của véctơ nur vuông góc với 

 Véctơ uur r0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của véctơ uur song song hoặc trùng với



 Đường thẳng  đi qua M x y 0; 0 nhận véctơ n A Bur ;  làm véctơpháp tuyến có phương trình : Ax By Ax  0By0 gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng 

 Đường thẳng  đi qua M x y 0; 0 nhận véctơ u a bur ; làm véctơ chỉ

tham số của đường thẳng 

 Cho hai đường thẳng 1: a1x b y c 1  10 và

2:a2 b y2 c2 0

    Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 và 2

là nghiệm của hệ phương trình 1 1 1  

 Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất x y0; 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A x y 0; 0

 Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau

 Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau

C x a  y b R Tọa độ giao điểm của  và  C là

nghiệm của hệ phương trình   2 2 2  

20

 Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì  tiếp xúc với (C)

 Nếu hệ (2) vô nghiệm thì  không cắt  C

1 Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm.

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3;0

2

M�� ��

� � là trung điểm đoạn

AC Phương trình các đường cao AH BK, lần lượt là 2x y  2 0 và 3x4y13 0 Xác

định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x3y6

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 4 3 6  0;2

� � là trung điểm AC suy ra C3; 2 

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH nên có phương trình x2y 1 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 1  3;1

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A 0;2 , B -3;1 , C 3;-2     

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A4; 1  phương trình

đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x3y12 0 và 2x3y0 Xác định tọa

độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Gọi BH BM, lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 3 12 0  3;2

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x2y10 0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0 6; 4

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M 2;0 là trung điểm của

AB Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x2y 3 0 và

6x y  4 0 Viết phương trình đường thẳng AC

Gọi AN AH, lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn 7 2 3 0  1;2

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x6y 9 0

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 7 2 3 0 0; 3

Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm C 3; 1

Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3x4y 5 0

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phươngtrình x y  4 0, điểm M 1; 1 là trung điểm của đoạn AD Xác định tọa độ các đỉnh củahình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E1;1

Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x y  2 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2  1;3

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 2  2;0

Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là

Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x y  2 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 4  3;1

-Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I

-Viết phương trình BC đi qua C M,

-Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC

-Suy ra  B  AB�BC�D

Lời giải.

Từ I là trung điểm AC � tọa độ điểm C2; 2 

Phương trình đường thẳng BC x: 2y 2 0

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB: 2x y  4 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 0  2;0

-Viết phương trình đường thẳng AB, BC

-Suy ra tọa độ điểm B

M là trung điểm AD, suy ra A2;1

Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x y  3

Đường thẳng BC qua C vuông góc với DC nên có phương trình x y 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3  1;2

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD tâm O Biết phương trình

đường thẳng AB x y:   5 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x3y 6 0,

xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Từ M là trung điểm BC � tọa độ điểm C4; 1 

Từ O là trung điểm BC � tọa độ các điểm A4;1 , D 1; 4  

Vậy A -4;1 ,B -1;4 ,C 4;-1 ,D 1;-4        

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và B) Gọi

 3;3 ,

M  N lần lượt là trung điểm của AD và AB Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuông

ABCD, biết phương trình các đường thẳngBD: 7x3y 2 0,CN x: 3y0 và đường thẳng

AB đi qua điểm E3;1

Định hướng:

-Viết phương trình đường thẳng MN Suy ra  N CN�MN

-Viết phương trình đường thẳng AB� B BD�AB�A

-Viết phương trình đường thẳng BC Suy ra tọa độ điểm  C BC CN�

Lời giải.

Đường thẳng MN đi qua M song song với BD nên MN: 7x3y12 0.

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 3 0 3; 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 7 3 2 0 1; 3

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 6 0  2;4

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trọng tâm 4 1;

3 3

G�� ��

� �.Phương trình đường thẳng BC là x2y 4 0, phương trình đường thẳng BG là

7x4y 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng BC và

đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x y  1 0,x2y 2 0; Điểm M 2;1 thuộcđường cao kẻ từ C Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm B Nhận xét BM BC

-Viết phương trình MN , tìm  N BH �MN

-Suy ra C , viết phương trình BC Tìm I

-Viết phương trình AI AC, , suy ra A

Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình :x y  3 0

Tọa độ giao điểm N BH � là nghiệm của hệ 3 0 8 1;

Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x2y 1 0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 2 1 0  1;0

Từ đó suy ra tọa độ điểm C2; 2  và phương trình đường thẳng AC : x -y - 4=0

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD AB CD / /  Biết tọa độ các

điểm A8;2 , B 4;6 , D  6; 8  Xác định tọa độ đỉnh C

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình EF

-Viết phương trình CD , suy ra  F CD EF�

Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AB nên có phương trình x y  2 0

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình 2 0 0; 2

Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm C 6;4 

 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm N 3;2 là trung điểm

cạnh BC, các điểm M2;2 và P2; 1 lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM CP

Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

� tứ giác AMCP là hình bình hành Gọi

I MP�AC suy ra I là trung điểm của MP 0;1

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 2 4  4;0

Bài 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0 Đường thẳng BC

song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 Trung điểm AC là M(1; 1) Viết phương trình các

cạnh của tam giác ABC

Định hướng:

Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC Xác định được tọa độ của A là giao của

AC và d Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C Vận dung quan hệ song song giữa d và BC

ta viết được phương trình của BC Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH và BC Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ

B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ 3 0 4 ( 4;1)

2 Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm.

 Bài 2.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh

 3;2

A  và C 3;0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD

Định hướng:

-Tìm tọa độ trung điểm I của AC

-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính 1

2

R AC -Viết phương trình đường thẳng BD Suy ra tọa độ B D, là giao điểm của BD và đường tròn

Lời giải.

Trung điểm I của đường chéo AC là I 0;1 Đường thẳng BD

đi qua I và nhận véc-tơ uuuurAC6; 2  làm véc-tơ pháp tuyến nên có

 Bài 2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A5;2, chân đường cao

kẻ từ A là điểm H 2; 1, tâm đường tròn ngoại tiếp 1 1; .

3 3

I�� ��

� � Tìm tọa độ các đỉnh B và C

Định hướng:

-Viết phương trình đường thẳng BC

-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-Suy ra tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn.

Lời giải.

Đường thẳng BC đi qua H và nhận véc-tơ uuuurAH3; 3  làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y  1 0

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính 221

-Viết phương trình đường thẳng AD

-Viết phương trình đường tròn tâm A ,bán kính RAB

-Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường tròn

-Viết phương trình BC CD, Suy ra  C BC CD�

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình

Phương trình đường thẳng DC: 3x2y 4 0 và phương trình đường thẳng BC: 2x3y 7 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 2 4 0 2; 1

Do M là trung điểm BC , suy ra tọa độ điểm C6; 3 

Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2x y  5 0

Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x7y15 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 5 0  1;3

Vậy A -1;3 ,B -3;-1 ,C 6;-3     

 Bài 2.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A1;3 , trung điểm của

đoạn BC là 3

; 22

M��  ��

� �, phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B C, là

22x31y75 0. Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hoành độ âm và BC 85

Định hướng:

-Viết phương trình đường tròn tâm M , bán kính 1

2

R BC

-Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn

-Viết phương trình AB� là giao của B AB và đường tròn Suy ra C

Lời giải.

Đường tròn tâm M bán kính 85

BC

R  ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K H, lần lượt là hình chiếu của B

trên AC và của C trên AB) có phương trình 3 2  2 85

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 3 2  2 85  

 Bài 2.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm

I Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu vuông góc của B trên AI Giả sử

-Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK

-Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác   2 2

 Bài 2.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hàng ABCD Phương trình đường tròn

- Tìm tọa độ điểm B H, là giao của BH và đường tròn  C

- Tâm I là trung điểm của AB�A

� � là trung điểm của BC Suy ra A2;2

Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BH nên có phương trình x y 0

Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3x y  4 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 0 1; 1

 Bài 2.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Phương trình các đường thẳng chứa

đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x2y13 0 và 13x6y 9 0 Tìm tọa độ

các đỉnh B C, biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I5;1 

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm A là giao của AH AM,

-Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình IM , tìm tọa độ điểm M

-Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn.

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2x y 11

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính RIA 85 nên có phương trình   2 2

-Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD

-Viết phương trình đường tròn đường kính AD

-Tìm tọa độ điểm A D, là giao của đường thẳng AD và đường tròn Suy ra B C,

Phương trình đường tròn tâm M, bán kính 2

x y



�

�  

�

Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là        2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1   

 Bài 2.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A1;4, phương trìnhđường thẳng BC x y:   4 0 Xác định tọa độ các đỉnh B C, biết tam giác ABC có diện tích bằng

18

Định hướng :

- Viết phương trình AH Suy ra  H  AH�BC

- Từ diện tích tam giác ABC�BC

- Viết phương trình đường tròn tâm H , bán kính 1

2

R BC

- Tìm tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn.

Lời giải.

Gọi H là trung điểm của BC Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc với BC nên có phương trình x y 3

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 4 0 7; 1

2 23

x y

 Bài 2.11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường

chéo là : 3x y 70 và điểm B0; 3   Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết diện tích hình thoibằng 20

Định hướng :

-Nhận xét rằng B� , suy ra AC� 

-Viết phương trình BD, tìm  I AC�BD Suy ra D

-Từ diện tích hình thoi, suy ra độ dài AC

-Viết phương trình đường tròn tâm I , bán kính RIA

-Tìm tọa độ giao điểm A C,

Lời giải.

Dễ thấy B��AC: 3x  y 7 0. Gọi  I AC�BD

Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với AC nên có phương trình x3y9

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình 3 9 3; 2

-Dựa vào tính chất tam giác vuông IAB và AC2BD , tính IA IB,

-Viết phương trình đường tròn tâm I , đường kính AC

-Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và đường tròn đường kính AC

-Viết phương trình BD , tìm  B BD�AB

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB Ta có:

Khi đó phương trình đường thẳng BD là 2x y  3 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 2 3 0 1; 1

 Bài 2.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân ở A Điểm M1; 1  là

trung điểm của cạnh BC Xác định tọa độ các đỉnh tam giácABC, biết trọng tâm tam giác ABC là

-Từ tính chất trọng tâm tam giác , suy ra A

-Viết phương trình đường thẳng BC

-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-Tìm tọa độ điểm B C, là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải.

Từ tính chất G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra uuuurAG2GMuuuur�A 0;2

Đường thẳng BC đi qua M, nhận véc-tơ uuuurAM1; 3  làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x3y 4 0

Do tam giác ABC vuông cân ở A, nên MBMCMA 10.

Đường tròn tâm M bán kính RMA 10 có phương trình   2 2

 Bài 2.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn

 C :x2y22x4y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M 0;1 là trungđiểm cạnh AB và A có hoành độ dương

Định hướng :

-Viết phương trình AB Tìm tọa độ A, B là giao của AB và đường tròn (C)

-Viết phương trình BC Tìm tọa độ điểm C là giao của BC và đường tròn (C)

Đường thẳng BC đi qua B và nhận véc-tơ uurIA làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x  1 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình