SKKN Tọa độ phẳng

II, yêu cầu: - Giúp học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản của phần toạ độ phẳng và thành thạo trong việc tính toán toạ độ của một điểm, một véc tơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo

sở giáo dục và đào tạo tỉnh yên bái trờng trung học phổ thông trần nhật duật

báo cáo chuyên đề

toạ độ phẳng

Ngời viết: Ma Đình Khải

Tổ: Toán

Trờng thpt trần nhật duật

Năm học: 2007 - 2008

phần 1: phần mở đầu

A lý do chọn đề tài

I, lý do pháp chế:

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thờng xuyên của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học

- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Hình giải tích

II, cơ sở lý luận:

Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu

III, cơ sở thực tiễn

1

Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Hình giải tích và nhất là toạ độ phẳng

B nhiệm vụ yêu cầu:

I, nhiệm vụ:

- Những nội dung chính của phần toạ độ phẳng:

+ Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ

+ Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu và véc tơ tích

+ Điều kiện để hai véc tơ vuông góc

+ Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số

+ Tìm góc giữa hai véc tơ

+Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ

- Đề cập đến một số bài toán sử dụng toạ độ phẳng

II, yêu cầu:

- Giúp học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản của phần toạ độ phẳng và thành thạo trong việc tính toán toạ độ của một điểm, một véc tơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai véc tơ, quan hệ cùng phơng hoặc vuông góc giữa hai véc tơ, ba điểm thẳng hàng

- Giúp học sinh sử dụng kiến thức toạ độ phẳng để giải một số bài toán: lập phơng trình đờng thẳng, lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn

C giới hạn của đề tài:

- Những kiến thức cơ bản của toạ độ phẳng trong chơng trình phổ thông trung học: + Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ

+ Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích

+ Điều kiện để hai véc tơ vuông góc

+ Điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số

+ Tìm góc giữa hai véc tơ

+ Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ

- Vận dụng toạ độ phẳng để giải một số bài toán:

+ Lập phơng trình đờng thẳng

+ Chứng minh ba điểm thẳng hàng

+Tìm góc giữa hai đờng thẳng

+Lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn

D Đối tợng nghiên cứu:

Học sinh khối 12 bậc phổ thông trung học

E Phơng pháp nghiên cứu:

- Tham khảo các tài liệu

- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt

tổ, nhóm chuyên môn

F thời gian nghiên cứu:

trong suốt quá trình đợc phân công giảng dạy khối 12 bậc phổ thông trung học

phần II: nội dung đề tài

A toạ độ phẳng

* Vấn đề 1: Xác định toạ độ và mô đun của một véc tơ

I Lý thuyết:

Cho hai điểm A(xA; yA ), B(xB; yB)

Thì AB= ( xB- xA ; yB-y A) (1)

Véc tơ ABcó mô đun: |AB| = (x B  x A) 2  (y B  y A) 2 (2)

Véc tơ a= (a1;a2 ) thì |a| = 2

2 2

1 a

a  (3)

Điều kiện cần và đủ để a= (a1;a2) cùng phơng b= (b1;b2 ) là a1b2 - a2 b1= 0 (4)

Véc tơ đơn vị e= (e1;e2) có |e| = 2

2 2

1 e

e  = 1 (5)

II Bài tập:

Cho 2 điểm A(1;2), B(3;4)

a, Tìm toạ độ và mô đun của AB

b, Tìm toạ độ của véc tơ đơn vị cùng phơng với AB

Giải:

a, Ta có xA = 1; yA= 2; xB= 3; yB= 4

Theo công thức (1) thì toạ độ của véc tơ AB là: AB= (2;2)

Theo công thức (2): |AB| = 2 2

b, Gọi e= (e1;e2) là véc tơ cùng phơng với AB

Vì e là véc tơ đơn vị nên từ (5): |e| = 2

2 2

1 e

e  = 1 Vì e cùng phơng với AB nên theo (4): 2e1- 2e2 = 0

Giải hệ phơng trình 







0 2

2 1 2

2 2

e e e e

















2 2 2 2

2 1

e e

Vậy có 2 véc tơ đơn vị cùng phơng với véc tơ ABlà:

e = (

2

2

;

2

2 ) và e = (-

2

2

; 2

2

* Vấn đề 2: Tìm véc tơ tổng, véc tơ hiệu, véc tơ tích

I, Lý thuyết:

Cho a= (a1; a2), b= (b1;b2 ), k R

a =b  





2 2

1 1

b a

b a

(6)

a b = (a1 b1; a2 b2)

ka = (ka1;ka2 )

 a+  b = ( a1+ b1;  a2 + b2 )

a cùng phơng b  b = ka (7)

II, Bài tập:

1, Cho a= (2;4), b(-3;1), c(5;-2) Tìm toạ độ của véc tơ

a, m= 2a + 3b- 5c

b, n= 24a+ 14c

Giải:

a, Gọi m= (m1; m2)

m= 2a + 3b - 5c  m1=- 30, m2=21

Vậy m= (- 30; 21)

b, Gọi n= (n1; n2 )

n= 24a+ 14c  n1= 118; n2 = 68

Vậy n= (118; 68)

2, trong mặt phẳng oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2) Tìm toạ độ của M để

2AM + 3BM - 4CM = 0

Giải:

Gọi điểm M(xM ;yM ) ta có: 2AM + 3BM - 4CM = 0

 

























0 ) 2 (

4 ) 3 (

3 ) 1 (

2

0 ) 4 (

4 ) 0 (

3 ) 2 (

2

M M

M

M M

M

y y

y

x x

x

 







 1 12

M M

y

x hay M(-12; -1)

3

* Vấn đề 3: Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc

Cho a= (a1; a2), b= (b1;b2 ) thế thì a b  a1b1+ a2 b2 = 0 (8)

Bài tập: Cho A(2;3), B(9;4), M(5;y), P(x1;-2)

a, Tìm y để tam giác AMB vuông tại M

b, Tìm x để 3 điểm A,P,B thẳng hàng

Giải:

a, Ta có AM = (3;y-3), BM =(-4;y-4) Tam giác AMB vuông tại M  AM  BM

 AM BM = 0  y2 - y = 0  y = 0; y= 7

Vậy với y = 0; y= 7 thì tam giác AMB vuông tại M

b, Để 3 điểm A,B,P thẳng hàng thì 2 véc tơ AB, AP cùng phơng

mà AB= (7;1), AP= (x-2;-5) theo công thức (4) ta có: AB, AP cùng phơng

 -35 - x +2 = 0 x= -33

Chú ý: Để chứng minh 3 điểm A,P,B thẳng hàng ta chứng minh: AB, AP cùng

ph-ơng, hoặc AP, BP cùng phơng, hoặc AB, BP cùng phơng

Bài tập: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;-1), B(0;3), C(4;2) Tìm toạ độ trực tâm H

của tam giác ABC

Giải:

H là trực tâm tam giác ABC  







AC BH

BC AH



0

0





AC BH

BC AH

 













0 9 3

2

0 9 4

H H

H H

y x

y x

 





 7 18

H H

y x

hay H(

7

18

;

7

9

)

* Vấn đề 4: Điểm chia trên đoạn thẳng theo một tỉ số.

Cho 2 điểm A(xA; yA ), B(xB; yB) Điểm M(xM ; yM ) chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k -1 Tức là: AM  k MB

Toạ độ của M là



















k ky y

y

k kx x

x

B A

M

B A

M

1

1 (9)

Đặc biệt khi k = 1 thì M là trung điểm của AB và toạ độ trung điểm của đoạn thẳng

AB là:















2

2

B A

B A

y y y

x x x

(10)

Bài tập:

Bài 1: Cho 3 điểm A(2;1), B(2;-1), C(-2;-3)

a, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành

b, Tìm toạ độ tâm M của hình bình hành

Giải:

a, Gọi D(x;y) khi ABCD là hình bình hành thì ta có: AD= BC

Mà AD= (x-2;y-1), BC=(-4;-2)  AD= BC  













2 1

4 2

y x

 







 1 2

y x

Vậy: D(-2;-1)

b, Tâm M của hình bình hành là giao điểm của hai đờng chéo Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AC Theo công thức (10) ta có:



















2 ) 3 ( 1 2 ) 2 ( 2

M M

y

x

 





 1 0

M M

y x

Vậy M(0;-1)

M

B A

Bài 2: Cho các điểm A(2;6), B9-3;-4), C(5;0)

a, Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tamgiác ABC

b, Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng BC với hai đờng phân giác trong và ngoài của góc A

c, Tìm toạ độ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

Giải :

a,

+ Gọi G(x;y) là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC Trọng tâm G là giao điểm của các đờng trung tuyến và là điểm chia trung tuyến thành hai

đoạn thẳng theo tỷ số

bằng 2  AG = 2GM 

GM

AG

= 2 Gọi toạ độ của M(xM ;yM ) theo công thức (10) ta có: 





 2 1

M M

y x

Theo công thức (9) ta tính toạ độ (x;y) của G:

từ

GM

AG

= 2





















2 1

) 2 ( 2 6 2 1 1 2 2

y

x













3 2 3 4

y

x

 G(

3

2

; 3

4

)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GAGBGC 0 



















3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x













3

2

3

4

G

G

y

x

+ Ta có A(2;6) B(-3;-4), C(5;0) nên AB(-5;-10), BC(8;4), AC (3;-6)  AC BC= 0 Vậy AC  BC

hay tam giác ABC vuông tại C

Do đó trực tâm của tam giác chính là C(5;0)

+ Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp

là trung điểm của cạnh huyền AB nên I(

2

1



;0)

b, Toạ độ giao điểm D của đờng phân giác trong của góc A với cạnh BC

Điểm D là điểm chia cạnh BC thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh bên nên

AC

AB DC

BD

 Theo (1) ta có |AB| = 125  5 5; |AC| = AC = 45= 3 5 Vậy

3

5



DC

BD

áp dụng (9) ta có: 







 2 2

D D

y x

Vậy D(2; )

2

3



Tơng tự trên, nếu gọi E là giao của phân giác ngoài của góc A với cạnh BC thì:

3

5





EC

BE Ta có































3 5 1

0 3 5 4 3 5 1

5 3 5 3

E E

y

x

 



 6 17

E E

y x

Vậy E(17;6)

c, Tâm K của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC là

giao điểm của các đờng phân giác trong của tam

5

I

C B

A

F

K

B A

giác.Nh vậy trong tam giác ABD, BK là đờng phân giác của góc B

Vậy K là điểm chia đoạn AD theo tỷ số bằng tỷ số của các cạnh AB, DB

Ta có: BD =

2

2 5 ) 4 2

3 ( ) 3 2









DB

AB

KD

AK

2

áp dụng công thức (9) ta đợc





















2 1

) 2 3 ( 2 6 2 1 2 2 2

K K

y

x

 



 1 2

K K

y x

Vậy K(2;1)

* Vấn đề5: Tìm góc giữa hai véc tơ

Cho hai véc tơ a= (a1;a2),b =(b1;b2), ta có cos(a,b) = 2

2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a







(11)

Bài tập:

Bài1: Tìm góc giữa 2 véc tơ trong tr\ờng hợp

a, a= (4;3), b= (1;7)

b, a= (2;5), b= (3;-7)

c, a= (6;-8), b = (12;9)

d, a= (2;6), b = (-3;9)

Giải:







2

2 7 1 3 4

7 3 1 4

2 2 2

2 góc giữa (a,b) là 450











2

2 )

7 ( 3 5 2

) 7 ( 5 3 2

2 2 2

c, Ta có a.b = 0  a  b  góc giữa (a,b) là 900

d, cos(a,b) =   











1 9 3 6 2

9 ) 6 ( ) 3 ( 2

2 2 2

2 góc giữa (a,b) là 1800 hay 2 véc tơ a,bcùng phơng

Bài 2: Cho các điểm A(2;1), B(7;6), C(5;-6) Tìm góc Aˆ của tam giác ABC

Giải:

Ta có AB= (5;5), AC =(3;-7)

cosA = cos(AB,AC) =

29

2

 = 0,37 vì cosA < 0 nên A > 900 ta có Aˆ = 111

0

4

0 

* Vấn đề 6: Các bài toán về chọn hệ trục toạ độ

Trong các bài toán không có những yếu tố về lợng mà chỉ đòi hỏi ta chứng minh các tính chất, ta có thể chọn một hệ trục toạ độ thích hợp để cho việc giải toán đợc

đơn giản

Bài tập

Bài1: Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn BA và BD lấy lần lợt cá điểm E và

F thoả mãn BA  n BE và BD ( n 1 )BF với n là một số tự nhiên tuỳ ý Bằng cách chọn hệ trục toạ độ thích hợp hãy chứng minh rằng:

a, AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

b, Khi n thay đổi thì EF luôn luôn đi qua một điểm cố định

Giải: Ta chọn hệ toạ độ xiên (A,AD, AB) Có gốc là đỉnh A, các véc tơ đơn vị trên trục toạ độ là AD, AB Nh vậy ta có A(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0)  Trung điểm

M của AC có toạ độ là

M(-2

1

;

2

1

), trung điểm N của đoạn thẳng BD có toạ độ là:

N(-2

1

; 2

1

) Vậy M trùng N hay AC và BD cắt nhau tại trung điểm

b, Ta xét 2 trờng hợp sau

+ n = 0 khi đó BA 0  B trùng A

 E trùng B và BD trùng BF

 D,F,C trùng nhau

Vậy EF đi qua điểm cố định C

+ n 0: Do |BA| > |BE| nên E thuộc đoạn thẳng AB

|BD| > |BF | nên F thuộc đoạn thẳng BD

Trong trờng hợp này, ta cũng chứng minh đờng thẳng EF đi qua điểm C Muốn vậy,

ta chứng minh hai véc tơ EF , EC cùng phơng

Ta có BA(0;1), BA= nBE  BE= BA

n

1

cho ta BE(0;

n

1

)

BD(1;-1), BD=(n+1) BE  BF =

1

1



n BD cho ta BF =(

1

1



n

;-1

1



Vậy EC=(1;

n

1

)

EF = (

1

1



) 1 (

1



n

1

1



n (1;

n

1

) =

1

1



n EC chứng tỏ EF , EC cùng phơng

Bài 2: Từ một điểm P trong đờng tròn ta kẻ 2 dây vuông góc

APB và CPD Chứng minh rằng đờng chéo PQ của hình

chữ nhật APCQ vuông góc với đờng thẳng BD

Giải: Ta chọn hệ trục toạ độ nh sau:

+ Gốc là điểm P

+ Trục hoành là đờng thẳng AB hớng từ A đến B

+ Trục tung là đờng thẳng CD hớng từ C đến D

Trong hệ trục toạ độ này ta có P(0;0), A(x1;0),

B(x2;0), C(0;y1), D(0;y2 ), Q(x1; y1)

Nh vậy PQ= (x1; y1), DB=(x2 ;- y2 )

 PQ DB= x1 x2 - y1 y2 (1)

Điểm P ở trong hình tròn nên:

PP/(I) = PA. PB =PC. PD  x1 x2 = y1 y2

 x1 x2 - y1 y2= 0 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra PQ DB= 0  PQ  DB

B Một số ứng dụng toạ độ phẳng trong hình học phẳng trong chơng trình phổ thông trung học

Toạ độ phẳng có rất nhiều ứng dụng trong chơng trình hình học lớp 12, ở đây tôi chỉ nêu lên một số bài toán sử dụng kiến thức của toạ độ phẳng để giải quyết vấn

đề Ví dụ nh: bài toán đờng và phơng trình đờng, lập phơng trình đờng thẳng, lập phơng trình đờng tròn, lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn, tìm góc giữa hai đ-ờng thẳng

* Bài toán xác định quĩ tích các điểm trong mặt phẳng:

7

N

F E

B

D

C y

x A

y

D

I R

x B

C

P

Q A

Bài 1: Lập phơng trình quĩ tích tâm của những đờng tròn tiếp xúc với trục Ox và đi

qua điểm A(1;2)

Giải: Gọi (L) là quĩ tích những tâm đờng tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm

A(1;2)

I(xI ; yI ) (L)  I là tâm đờng tròn đi qua A(1;2) và tiếp xúc với Ox tại M









IA IM

Ox IM

 























2 2 2

2 ( ) ( ) ( ) )

(

0

; 0

I A I A I M I M M I M

y y x x y y x x y x x

 x² I - 2xI - 4yI +5 = 0  I(xI ; yI ) có toạ độ thoả mãn phơng trình

F(x;y) = x - 2x - 4y +5 = 0 Đó là ph² ơng trình quĩ tích phải tìm (Parabol)

Bài 2: Cho hai điểm A(3cost; 0) và B(0; 2sint) Tìm tập hợp điểm M(x;y) sao cho:

2AM  5MB 0 (Khi t thay đổi)

Giải: Gọi (L) là tập hợp các điểm cần tìm M(xM ; yM )  (L)  2AM  5MB 0

 

















0 ) sin

2 ( 5 ) 0 (

2

0 ) 0

( 5 ) cos 3 (

2

M M

M M

y t y

x t

x

 









t y

t x

M M

sin 3 10 cos 2



1 sin cos

9

100

4

2 2

2

2







x M M

 M(xM ;yM ) có toạ độ thoả mãn phơng trình: 1

9

100 4

2 2



 y x

Vậy tập hợp các điểm M phải tìm là là đơng (L) có phơng trình: 1

9

100 4

2 2



 y

x

(Elíp)

*Bài toán về tìm góc giữa 2 đờng thẳng:

Cho (d1): A1x + B1y + C1 = 0

(d2): A1x + B1y + C1 = 0

(d1) có véc tơ pháp tuyến n(A1;B1); (d2 ) có véc tơ pháp tuyến m (A2 ;B2 )

Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta đi xác định góc giữa hai véc tơ n và m

Do đó

Cos  = 2

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2

|

B A B A

B B A A







Bài tập: Cho 2 đờng thẳng: (d1): 4x - 2y - 6 = 0

(d2 ): x - 3y + 1 = 0

Tìm số đo các góc tạo bởi 2 đờng thẳng d1 và d2

Giải:

áp dụng công thức: Cos  = 2

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2

|

B A B A

B B A A







) 3 ( 1 ) 2 ( 4

| ) 3 )(

2 ( 1 4

|

2 2

2















Vậy ta có 2 góc  1 = 45°

*Bài toán lập trình đờng thẳng chứa đờng cao của tam giác ABC khi biết toạ

độ các đỉnh của tam giác:

- Xác định đờng cao của tam giác.

- Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng chứa đờng cao

- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm biết pháp véc tơ của đờng thẳng đó

Bài tập: Cho 3 điểm A(1,-1) ; B(-2,1) ; C(3,5) Viết phơng trình đờng cao thuộc

cạnh BC

Giải: Đờng thẳng đi qua A(1,-1) vuông góc với đờng thẳng BC sẽ nhận véc tơ

BC làm véc tơ pháp tuyến

Ta có BC= (5,4) nên phơng trình đờng thẳng là:

5( x - 1) + 4( y + 1) = 0 5x + 4y - 1 = 0

*Bài toán xác định điểm A nằm trong, ngoài hoặc trên đờng tròn có tâm I(x0

;y0), bán kính R

- Tính toạ độ véc tơ IA

- Tính độ dài véc tơ IA theo công thức IA = (x A x I) 2  (y A  y I) 2

- So sánh IA với R:

+ Nếu IA > R điểm A nằm ngoài đờng tròn

+ Nếu IA < R điểm A nằm trong đờng tròn

+ Nếu IA = R điểm A nằm trên đờng tròn

+ Nếu IA = 0 điểm A trùng với tâm đờng tròn

Bài tập: Cho đờng tròn tâm I(1;-2) bán kính 2 Trong số những điểm nào sau đây,

điểm nào nằm trong đờng tròn, thuộc đờng tròn, nằm ngoài đờng tròn

B(1 - 2), C( 3 - 1; -1), D(2; 3 - 2), E(3; - 1)

Giải:

* IB= (- 2;1) IB = (  2 ) 2  ( 1 ) 2 = 3< 2 = R  Điểm B nằm trong đờng tròn

* IC =( 3-2;1) IC= ( 3  2 ) 2  ( 1 ) 2 = 8  4 3 < 2= R Điểm C nằm trong đ-ờng tròn

* ID=(1; 3)  ID = ( 1 ) 2  ( 3 ) 2 = 2  Điểm D nằm trên đờng tròn

* IE =(2;1)  IE = 2  2 1 2 = 5 > 2  Điểm E nằm ngoài đờng tròn

*Bài toán lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn tâm I , bán kính R tại tiếp

điểm M(x0;y0) thuộc đờng tròn đó:

-Tính tọa độ tâm I của đờng tròn

-Tính tọa độ véc tơ IM

- Lập phơng trình đi qua điểm M(x0;y0) nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến

Bài tập: Cho 3 điểm A(2;2) , B(-5;1) , C(3;-5) Lập phơng trình tiếp tuyến với

đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giac ABC tại điểm A(2;-2)

Giải : Gọi I(x;y) là tâm đờng tròn

Ta có IA = IB = IC  





IC IA

IB IA

 







2 2

2 2

IC IA

IB IA

 













0 13 7

0 9 7

y x y x

 









2 1

y

x  I(-1;-2)  IA = (3;4)

Phơng trình đờng thẳng đi qua A(2;2) nhận IA làm pháp véc tơ

3(x-2) + 4(y-2) = 0  3x + 4y - 18 = 0 là phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn tại A

Chú ý: Nếu bài toán đã cho toạ độ tâm đờng tròn ta chỉ cần lập phơng trình đờng

thẳng đi qua A nhận IA lầm véc tơ pháp tuyến

* Bài toán lập phơng trình đờng thẳng chứa đờng trung tuyến của tam giác ABC.

- Xác định đờng trung tuyến của tam giác ABC

- Tìm toạ độ trung điểm đoạn thẳng mà trung tuyến đi qua theo công thức (10)

9

- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm trong đó 1 điểm là đỉnh của tam giác ABC còn điểm kia là trung điểm của cạnh đối diện

Bài tập: Cho A(1;-1), B (-2;1), C(3;5).

Lập phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Giải: Trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC sẽ đi qua M là trung điểm

cạnh BC

Ta có





























3 2 5 1 2

2 1 2

3 2 2

C B M

C B M

y y y

x x x

Phơng trình đơng thẳng AM: 3 1

1 1

2 1

1









x

 8x + y - 7 = 0

*ứng dụng toạ độ phẳng để tính diện tích tam giác ABC

Với A(xA ; yA ), B(xB; yB ), C(xC ; yC ) Tính  =

A C

A B

x x

x x





A C

A B

y y

y y





Diện tích  ABC đợc tính bằng công thức: S = 

2 1

Bài tập: Tính diện tích của tam giác ABC với: A(2;-3), B(3;2), C(-2;5).

Giải: Gọi  =

A C

A B

x x

x x





A C

A B

y y

y y





= 3 22 2







3 5

3 2





= 1 4



8

5

= 1(8)

- 5(-4) = 28

Diện tích tam giác ABC là: S = 

2

1

=

2

1

28 =

2

1

28 = 14 đơn vị diện tích

*Bài toán lập phơng trình đờng tròn đi qua 2 điểm A(xA ; yA), B(xB ; yB) có tâm nằm trên đờng thẳng (): ax + by + c = 0

- Gọi I(x0;y0) là tâm đờng tròn

- I (): ax0 + by0 + c = 0

- Tính IA; IB, IA ; IB² ²

- Giải hệ phơng trình 









2 2

0

IB IA

c by ax

Tìm x0, y0  I(x0, y0)

- Tính R = IA

-Phơng trình đờng tròn: (x - x0)2 + (y - y0)2= R2

Trong mặt phẳng 0xy cho đờng thẳng (): 2x + y + 3 = 0 và A(-5;1), B(-2;4) Lập

phơng trình đờng tròn (C) qua A và B có tâm nằm trên đờng thẳng ().

Giải: Gọi I(x0;y0) là tâm đờng tròn vì I(x0;y0)  (): 2 x0 + y0+3 = 0

0 ) ( 1 ) 5

(   x   y  IA = (5 + x² 0) + (1 - y² 0) ²

0 2

0 ) ( 4 ) 2

(   x   y  IB = (2 + x² 0) + (4 - y² 0)²

Ta có hệ phơng trình 





















2 2 2 2 0

) 4 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 5 (

0 3 2

y x y x y x

 













1 3 2

0 0

0 0

y x

y x

 





 1 2

0 0

y x

Tâm đờng tròn I(-2;1)

Bán kính R = IA = ( 5 2 ) 2 ( 1 1 ) 2 3











Phơng trình đờng tròn: (x + 2) + (y -1) = 9² ²

* Bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng tròn

(C): (x - a1) + (y - b² 1) = R² 1²

(C'): (x - a2 ) + (y - b² 2) = R² 2 ²

- (C) có tâm I (a1; b1), R = R1