TÀI LIỆU dạy TOÁN 9 GIAI đoạn 3

Bài tập Bài 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong.. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc.. Hỏi nếu làm ri

TÀI LIỆU ÔN ĐẠI SỐ GIAI ĐOẠN 3

PHẦN ĐẠI SỐ Chuyên đề 1: Hệ phương trình

6

32

532

y x

y x

0243

y x

y x

352

y x

y x

y x y

x

xy y

x

4)5)(

5

4

(

6)32

4)(3)(2

y x y x

y x y x

)(

1

(

54)3(4)42

x

y x y

x

xy y

x

)1)(

10(

)1)(

20(

2(

1)3)(

xy y

1

24

275

3

52

x y y x

x y

x y

Bài 3) Giải các hệ phương trình sau:

32

4

32

12

2

x y y x

x y y x

3

132

2

162

3

y x

y x

184

y x

y x

Bài 4) Giải các hệ phương trình:

1; 6

12x 3 y 1

Bài 6) Tìm các giá trị của m, n thỏa mãn:

(

)1(2

m ny x m

n m y m mx

a) Tìm a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2

b) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6, f(-1) = 0

c) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm : A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)

d) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm : P(1; 2) ; Q(2; 0)

Bài 8) Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy

Bài 9) *Giải hệ phương trình:

 (Đề thi vào Lê Hồng Phong 2013-2014)

Bài 10) *Giải hệ phương trình:

Dạng 2 Hệ phương trình chứa tham số

Bài 1) Cho hệ phương trình: 2 (1)

a) Giải hệ với m = 1 b) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn : x2 + y2 = 10

c) Tìm m để để hệ có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x (cm) và y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 10cm

Bài 3) Cho hệ phương trình: x 2y 3 m

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x - 3y > 5

c) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4) Cho hệ phương trình:

9

y mx

my x

a) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 2)

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Bài 5) Cho hệ phương trình : mx y 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 6) Tìm m nguyên để hệ sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

12

m my x

m y mx

Gợi ý: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m2,m 2

1

2

322

124

)12)(

2

(

2

m m

m

x

m m

m m

m m

y

Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ư(3) = 1;1;3;3

Chuyên đề 2 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

A Chú ý:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1 Chọn ẩn: Tùy từng dạng bài cụ thể mà linh hoạt chọn ẩn Chú ý có đơn vị, ngôn ngữ phải rõ nghĩa

Đặt điều kiện cho ẩn: phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế

Bước 2 Lập các phương trình: Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 3 Lập và giải hệ phương trình

Bước 4 Trả lời: Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời theo yêu cầu bài

toán Bước đối chiếu có thể làm luôn sau khi giải xong hệ phương trình ở bước 3

Nhận xét: Bước 1 và bước 3 quan trọng và quyết định nhất

B Các bài tập:

Dạng 1: Toán về quan hệ các số

I Những kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)

+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc100a 10b c  ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN)

Bài 1: Hai lần mẫu số của một phân số lớn hơn ba lần tử số của nó là 4 đơn vị Nếu tăng cả tử và mẫu của nó

thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng 1

2 Tìm phân số đó?

Bài 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết

bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó?

Bài 3: Hai lần số thứ nhất kém số thứ hai 6 đơn vị Tìm hai số biết 2

5 số thứ nhất thì bằng

1

6 số thứ hai

Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7 Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn

vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị

- Gọi vận tốc thực của ca nô là v 1 vận tốc dòng nước là v 2 thì:

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là v = v 1 + v 2 Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v 1 - v 2

- Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn; Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;

Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn; Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian

II Bài tập

Bài 1: Trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình, xe máy thứ nhất đi hết 3 giờ 20 phút Còn xe máy thứ hai đi hết 3 giờ

40 phút Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km

Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?

Bài 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B gặp nhau tại C cách A 80 km

Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A 60 km Tính vận tốc của ô tô và xe máy?

Bài 3: Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn

hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút Tính vận tốc của mỗi ô tô

Bài 4: Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10

phút Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông

Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với

vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B Tính vận tốc của mỗi xe?

Bài 6: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B

Ca nô đến B thì quay lại A ngay, trên đường về nó gặp bè nứa khi đã đi được 10 giờ Khi về đến B thì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng hết 15 giờ Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?

Đáp án: Bài 1 33 km/h, 30 km/h, 110 km; Bài 2 50 km/h, 40 km/h; Bài 3 60 km/h, 50 km/h; Bài 4 25

km/h; Bài 5 ? ; Bài 6 15 km/h, 5 km/h

Dạng 3: Toán làm chung công việc

I Những kiến thức cần nhớ:

a) Dạng bài năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian

- Lượng công việc = thời gian năng suất  Năng suất = lượng công việc : thời gian

- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được 1

x công việc

- Xem toàn bộ công việc có lượng công việc là 1

- Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn

- Làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn

- Thường chọn thời gian làm ẩn x Đk : x > thời gian cả hai

Thường có một phương trình là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai

b) Dạng bài nhiều đối tượng:

- Tổng số lượng công việc = số đối tượng  lượng công việc của mỗi đối tượng

Ví dụ: Tổng số cây trồng được = Tổng số học sinh X số cây mỗi học sinh trồng

- Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…

- Thường chọn số đối tượng làm ẩn

II Bài tập

Bài 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người

thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công

việc trong bao lâu?

Bài 2: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn

thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?

Chú ý: + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại

lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai Bài này có thể chọn một ẩn

+ Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải

Bài 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc Nếu người thứ nhất làm trong 4

ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bài 4: Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ,

người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc?

Bài 5: Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi

làm việc khác Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu xong công việc đó?

Bài 6: Hai đội công nhân cùng đào một con mương Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc

Nếu làm riêng thì đội hai hoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?

Bài 7: Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít Ở mỗi bình có một vòi nước chảy vào

và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau

2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước

Bài 8:Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có 1 bạn

trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau

Kết quả: Bài 1 24 giờ, 48 giờ; Bài 2 5 giờ, 7 giờ; Bài 3 6 ngày, 3 ngày; Bài 4 54 giờ, 27 giờ;

Bài 5 10 giờ, 15 giờ; Bài 6 6 ngày, 3 ngày; Bài 7 75 lít Bài 8 8 h/s

Dạng 4: Toỏn cú nội dung hỡnh học:

I Kiến thức cần nhớ:

- Diện tớch hỡnh chữ nhật S = x.y ( x và y là cỏc kớch thước hỡnh chữ nhật)

- Diện tớch tam giỏc S 1x.y

2

 ( x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là cỏc cạnh gúc vuụng)

II Bài tập

Bài 1: Tớnh cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật cú diện tớch 40cm2, biết nếu tăng mỗi kớch thước thờm 3cm thỡ diện tớch tăng thờm 48 cm2

Bài 2: Cạnh huyền của một tam giỏc vuụng bằng 5 m Hai lần cạnh gúc vuụng thứ nhất hơn cạnh gúc vuụng

thứ hai là 1m Tớnh cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc?

Bài 3: Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật cú đường chộo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7m

Bài 4: Một thửa ruộng hỡnh chữ nhật cú chu vi là 250 m Tớnh diện tớch của thửa ruộng biết rằng chiều dài

giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thỡ chu vi thửa ruộng khụng thay đổi

Bài 5: Một cỏi sõn hỡnh tam giỏc cú diện tớch 180 m2 Tớnh cạnh đỏy của sõn biết rằng nếu tăng cạnh đỏy 4

m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thỡ diện tớch khụng đổi?

Bài 6: Một miếng đất hỡnh thang cõn cú chiều cao là 35 m hai đỏy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm

hai đoạn đường cú cựng chiều rộng Cỏc tim đường lần lượt là đường trung bỡnh của hỡnh thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đỏy Tớnh chiều rộng đoạn đường đú biết rằng diện tớch phần làm đường bằng 1

4 diện tớch hỡnh thang

Đỏp số: Bài 1: 5cm và 8cm; Bài 2 : 3m và 4m; Bài 3: 60m 2 ; Bài 4: 3750m 2 ; Bài 5: 36 m; Bài 6: 5 m

Dạng 5: Toỏn dõn số, lói suất, tăng trưởng

100 100 100

II Bài tập

Bài 1: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do ỏp dụng kỹ thuật mới

nờn trong thời gian quy định tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% Vỡ vậy họ đó hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiờu

Bài 2: Dõn số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lờn 2048288 người Tớnh xem hàng năm

trung bỡnh dõn số tăng bao nhiờu phần trăm

Bài 3: Bỏc An vay 10 000 000 đồng của ngõn hàng để làm kinh tế Trong một năm đầu bỏc chưa trả được

nờn số tiền lói trong năm đầu được chuyển thành vốn để tớnh lói năm sau Sau 2 năm bỏc An phải trả là 11

881 000 đồng Hỏi lói suất cho vay là bao nhiờu phần trăm trong một năm?

Bài 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định Do ỏp dụng kỹ thuật mới

nờn tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17% Vỡ vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đú sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiờu?

Kết quả: Bài 1: 200 (sản phẩm) và 400 (sản phẩm); Bài 2: tăng 1,2%;

Bài 3: 9% trong 1 năm; Bài 4: 400 sản phẩm và 600 sản phẩm

- Khối lượng nồng độ dung dịch = Khối lượng chất tan

Khối lượng dung môi (m tổng)

II Bài tập

Bài 1: Một phũng họp cú 240 ghế được xếp thành cỏc dóy cú số ghế bằng nhau Nếu mỗi dóy bớt đi một ghế

thỡ phải xếp thờm 20 dóy mới hết số ghế Hỏi phũng họp lỳc đầu được xếp thành bao nhiờu dóy ghế

Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30 cuốn thì số sách ở giá thứ

nhất bằng 3

5 số sách ở giá thứ hai Tính số sách ban đầu của mỗi giá?

Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m

thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên bờ của thửa đất Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?

Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán Số trứng của hai người không bằng nhau nhưng

số tiền thu được của hai người lại bằng nhau Người thứ nhất nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng

số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng ” Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh tôi chỉ bán được 10 đồng thôi” Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?

Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì

được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đó giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?

Bài 6: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng biết thể tích hỗn hợp bằng tổng thể tích các chất lỏng

Bài 7: Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g Thể tích của miếng thứ nhất

nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3 Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại

Kết quả: Bài 1: 60 dãy ghế ; Bài 2: 180 quyển và 220 quyển ; Bài 3: 5m ; Bài 4: 40 quả và 60 quả ;

Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam; Bài 6: 0,8 (g/cm 3 ) và 0,6 (g/cm 3 ) ; Bài 7: 8,8 g/cm 3 và 7,8 g/cm 3

Chuyên đề 3 Hàm số y = ax 2 và đồ thị

A Chú ý: Xét hàm số y = ax 2

* Với a > 0:

- Hàm số đồng biến với x > 0, nghịch biến với x < 0, giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0

- Đồ thị hàm số là một Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, quay bề lõm lên trên, điểm thấp nhất là O

* Với a < 0:

- Hàm số nghịch biến với x > 0, đồng biến với x < 0, giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0

- Đồ thị hàm số là một Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, quay bề lõm xuống dưới, điểm cao nhất là O

B Các bài tập

Bài 1) Cho hàm số y = (3m - 4)x2 với m là tham số

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 5)

b) Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x < 0

Bài 2) Cho hàm số y = 1 2

2x

 có đồ thị là (P) a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ là 2

c) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ là -2

d) Chứng tỏ đường thẳng y = mx + 2m – 2 luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P)

Bài 3) Cho hàm số y = (- m2 + 2m + 4)x2 với m là tham số

a) Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1; -4)

c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M thuộc đường thẳng y = 2x + 7 và có tung độ là 5

Bài 4) Cho hàm số y = (3 – 2m)x2

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -4) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được

b) Tìm m để hàm số nghịch biến với mọi x < 0

c) Tìm m để đồ thị hàm số là một Parabol có điểm cao nhất là O(0;0)

Bài 5) Cho hàm số y = ax2

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm (4; 8) Vẽ đồ thị hàm số với a tìm được

b) Khi a = 2, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 2x + 4

Bài 6) Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 2x +1

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng -2

c) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có tung độ là 8

d) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với (d)

Bài 7) Cho (P) 2

x

y  và đường thẳng (d) y = 2x + m a) Với m = -2 Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm

c) Tìm m để (d) đi qua điểm M thuộc (P) có hoành độ là 3 Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d)

Chuyên đề 4 Phương trình bậc hai

Bài 1) Giải các phương trình:

a) x2 – 2x – 35 = 0 b) x2 – 4x + 9 = 0 c) - x2 – 3x + 8 = 0

d) -3x2 – 5x + 50 = 0 e) - 2x2 – 3x + 6 = 0 f) -3x2 – 2 5 x + 5 = 0

g) x2 + 2 3x – 1 - 2 3 = 0 h) x2 – (1 + 3)x + 3 = 0 i) ( 3+1)x2 +2 3x + 3 - 1 = 0

Bài 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2mx + m2 – 2m + 5 = 0

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại nếu có

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 3) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 -2mx + m2 – 3m + 4 = 0

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

Bài 4) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 -2(m-1)x + m2 – m + 3 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm Tìm nghiệm đó

c) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 5) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - mx + m - 1 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn nhận x = 1 là nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

Bài 6) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2(m2)x40

a) Tìm m để phương trình nhận giá trị nguyên âm lớn nhất là nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

Bài 7) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (có hai cách)

b) Tìm m để phương trình nhận x = 3 là nghiệm

Bài 8) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 9) Tìm điều kiện để các phương trình sau có nghiệm:

Bài 12) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có 2 nghiệm phân biệt

a) x24xm2 0 b)x23x1m2 0 c) x22mxm30

Bài 13) *Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x)

Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

PHẦN HÌNH HỌC Bài 1) Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB, CD

vuông góc với nhau M là điểm trên cung BC sao cho

0

30

MAB

a) Tính theo R độ dài của MA và MB

b) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đường thẳng AB tại S và

cắt đường thẳng CD tại K Chứng minh MA = MS

c) AM c ắt CD tại N Chứng minh tam giác KNM đều

N K

Bài 2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O),

các đường cao BD, CE

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Xác định tâm I

của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh AE.AB=AD.AC

c) Chứng minh OA ED

Gợi ý: Cách 1: Kẻ đường kính AK

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xy tại A của đường tròn (O)

x

y

H E

D O

A

Bài 3) Cho đường tròn (O) Từ điểm A bên ngoài đường

tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là

các tiếp điểm) Đường thẳng kẻ qua C song song với AB

cắt đường tròn (O) ở D, AD cắt đường tròn (O) ở M, CM

B

O A

Bài 4) Cho đường tròn (O) Từ điểm A bên ngoài đường

tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là

các tiếp điểm) Gọi N là trung điểm AB, giao điểm của

CN với đường tròn (O) là M Kẻ cát tuyến AMD với

đường tròn (O) Chứng minh:

Bài 5) Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp

tuyến AB, AC và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (B,

C là tiếp điểm, D nằm giữa A và E) Gọi H là trung điểm

DE Gọi K là giao điểm của BC và DE Chứng minh:

H C

B

E

Bài 6) Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp

tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B, C là

tiếp điểm, D nằm giữa A và E) Gọi I và K lần lượt là

giao điểm của OA và AE với BC Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) AC.AB=AD.AE

c) AIDAEO

I

K D

C

B

O A

E

Bài 7) Từ điểm A trên đường tròn (O; R), đặt liên tiếp ba

điểm A, B, C sao cho sđ 0

90

AB , sđ 0

30

BC Kẻ AH vuông góc với đường thẳng BC

a) Chứng minh tứ giác AHBO nội tiếp

b) Chứng minh OH là trung trực của AC

c) Tính theo R độ dài các đoạn AB, AH, BH, BC, OH

H

O A

B C

Bài 8) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại

A Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở B, cắt

đường tròn (O’) ở C Kẻ các đường kính BD và CE của

hai đường tròn (O) và (O’)

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) Chứng minh BD//CE

c) Nếu đường tròn (O) bằng đường tròn (O’) thì tứ giác

BDCE là hình gì? Vì sao?

Gợi ý: b) Hai góc so le trong bằng nhau

c) Là hình thoi ( hbh có hai đường chéo vuông góc)

Bài 9) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp

tuyến Ax Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn Tia

phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn ở E, AE và

BC cắt nhau ở K

a) Tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của AC và BE Cminh: KI//Ax

Bài 10) Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài

Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ ( A và A’ là tiếp điểm)

và cát tuyến SBC tới đường tròn (BC không đi qua O)

Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E

Gọi H là giao điểm của OS và AA’, G là giao điểm của

OE và BS, F là giao điểm của AA’ với BC Chứng minh:

a) Tam giác SAD cân

b) SF.SG = SO.SH c) SA2 = SF.SG

G F H

C

Bài 11) Cho đường tròn tâm O đường kính AB và C là

điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm thay đổi

trên cung CB Qua C kẻ CNAM

a) Chứng minh tam giác MNC vuông cân

b) Chứng minh OCNOAN

c) Điểm M ở vị trí nào trên cung BC thì tam giác OMC

là tam giác đều

Bài 12) Cho (O), hai đường kính AB và CD vuông góc

với nhau Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC Kẻ các

dây MP và MQ sao cho MP AB MQ, AC

a) Chứng minh ba điểm P, O, Q thẳng hàng

b) Nếu M là điểm chính giữa cung AC thì tứ giác APQC

là hình gì? Tính các góc của tứ giác đó

c) Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AC

thì các tia phân giác trong của góc P và góc Q của tam

giác MPQ luôn luôn đi qua những điểm cố định

Gợi ý: a) Góc PMQ vuông và nội tiếp đường tròn

b) PA AM MCCQ , APQC là hình thang cân

c) QA luôn là phân giác của góc MQP, mà A cố định nên

tia phân giác của góc MQP luôn đi qua A, tương tự tia

phân giác của góc MPQ luôn đi qua C

I

K P

Bài 13) Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp

đường tròn (O) Trên các cung AB và AC lây tương ứng

s®AD = s®AE = 60 a) ADOE là hình gì?

b) Chứng minh DECB là hình thang cân

c) ABC cần có đk gì để DECB là hình chữ nhật?

Gợi ý: b) Hình thang nội tiếp đtròn là hình thang cân

c) ACE300 BCE900BCA600 ABC đều

E D

O

C B

A

Bài 14) Cho (O) và một dây cung AC cố định Trên

cung lớn AC lấy điểm B bất kỳ Phân giác của góc ABC

cắt cạnh AC tại M và cắt (O) tại K

a) Chứng minh: OK AC

b) Kẻ đường cao BH của tam giác ABC

Chứng minh: BM là tia phân giác của góc OBH

c) Chứng minh: KC2 = KM KB

d) Gọi E là giao của BM và đường phân giác trong tại A

của tam giác ABC Hỏi khi B thay đổi trên cung lớn AC

của (O) thì E thay đổi trên đường nào?

Gợi ý d : Trong tam giác AEC tính góc AEC ?

ABC không đổi nên B C không đổi Vậy AEC ?

Bài 15) Cho nửa (O), đường kính BC, lấy điểm A trên

cung BC sao cho AB < AC D là trung điểm của OC, từ

D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E

a) Chứng minh: tứ giác ABDE nội tiếp được đường

tròn, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh: BAD = BED

c) Chứng minh: CE.CA = CD.CB

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM =

AC Giả sử không có điều kiện AB < AC, tìm quỹ tích

điểm M khi A di chuyển trên nửa đường tròn tâm O

Gợi ý d) Tam giác ACM vuông cân

Suy ra AMC450 hay BMC 450

M

I

E

D B

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI GIỮA KÌ II

PHẦN ĐẠI SỐ Giải các hệ phương trình sau: (Bài 1 đến bài 4)

x



và (d): y =  x 4

a Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

c Tìm điểm thuộc (P) có tung độ bằng -8

Bài 11 Cho hàm số y = ax + b

Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y = 1

  , tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

b Tìm m để (P) cắt (d) tại điểm có hoành độ - 1

c Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Bài 13 Cho Parabol (P): y 1x2

2



và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 2 ( m0 )

a Khi m=2, vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b Chứng tỏ rằng (P) và (d) luôn có điểm chung

Bài 14 Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -2

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2

với mọi giá trị của m

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 1 nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại

Bài 15 Cho phương trình : x2 - 2x + 3m - 1 = 0

a Giải phương trình với m = - 1

b Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép với m vừa tìm được

Bài 16 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau

1 giờ 30 phút thì đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong

15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ chảy được 20 bể Hỏi mỗi vòi chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể

Bài 17 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4

giờ thì đầy Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình đầy

bể thì hết ít hơn vòi thứ hai là 6 giờ Hỏi nếu mỗi vòi

chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể

Bài 18 Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu

tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5

ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo Biết rằng

trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ

thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày

may được bao nhiêu chiếc áo?

Bài 19 Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc trên quãng

đường từ A đến B dài 120 km Mỗi giờ ô tô thứ nhất

chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 10 km nên đến B trước

ô tô thứ 2 là 2

5 giờ Tính vận tốc mỗi xe

Bài 20 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là

180m Ba lần chiều rộng hơn hai lần chiều dài là

20m Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường

Bài 21 Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn

hàng Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm

nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5

tấn Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

Bài 22 Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì

san lấp được 1

10 khu đất Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ

hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san

lấp được 25% khu đất đó Hỏi nếu làm một mình thì

mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đó trong bao lâu

Bài 23 Một người đi xe đạp xuất phát từ A Sau 4

giờ một người đi xe máy cũng đi từ A đuổi theo trên

cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A

là 60km Tính vận tốc của mỗi xe Biết vận tốc của

xe máy lớn hơn vận tốc của xe đạp là 20km/h

Bài 24 Trên cùn g m ột dòng s ông, một ca nô

xuôi dòng 12km, rồi ngược dòng 12km mất 2h30ph

Nếu ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì

hết 1h20ph Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc

của dòng nước? (ĐS: 10km/h và 2km/h)

Bài 25 Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 84km

và ngược dòng 44km mất 5 giờ Nếu ca nô xuôi

dòng 112km và ngược dòng 110km thì mất 9 giờ

Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước

Bài 26 Một HCN có chu vi 80m Nếu tăng chiều

dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích

của mảnh đất tăng thêm 195m2 Tính chiều dài, chiều

rộng của mảnh đất (ĐS: 30m và 10m)

Bài 27 Một thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài

thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích

tăng thêm 100m2 Nếu cùng giảm cả chiều dài và

chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2 Tính

diện tích của thửa ruộng đó? (Dài 22m và rộng 14m)

Bài 28 Tháng 1 hai tổ sản xuất được 600 chi tiết

máy Sang tháng 2 tổ một vượt mức 18% và tổ hai

vượt mức 21% nên sản xuất được 720 chi tiết máy

Tính số chi tiết máy mỗi tổ làm được trong tháng 1

PHẦN HÌNH HỌC Bài 1 Cho (O) đường kính AB Lấy C khác A và B

nằm trên đường tròn Gọi E là giao điểm của AC và tiếp tuyến tại B của đường tròn Chứng minh rằng: a) ACO CBE b) BC2 = AC.CE

c) Cho BC = 12cm, AE = 25cm

Tính AB và BE (biết BE nhỏ hơn AB)

Bài 2 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2

tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là tiếp điểm)

a Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Xác định tâm

I của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, O, C

b Gọi M là trung điểm AC Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh MC2 = ME MB

c Tia AE cắt (O) tại F Chứng minh BF//AC

Bài 3 Cho ABC có 3 góc nhọn Đường tròn đường

kính BC cắt AB; AC lần lượt ở M và N Gọi I là giao điểm của CM và BN

a Chứng minh AI  BC

b Chứng minh AM.AB = AN.AC

BMN BCN 180  d* Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh AO  MN

Bài 4 Cho đường tròn tâm O Hai dây AB, CD

vuông góc với nhau tại điểm M nằm trong (O) và

MD < NC Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC, cắt BC tại H, cắt đường thẳng CD tại E Chứng minh:

a Tứ giác AMHC nội tiếp b MAHMCB

c Tam giác ADE là tam giác cân

Bài 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB,

bán kính R = 5cm Từ O vẽ bán kính OC vuông góc với AB M là điểm thuộc cung BC sao cho

0CAM 15 Gọi giao điểm của AM với BC là E, với

OC là N Gọi K là giao điểm của AC với BM

a Cminh các tứ giác OBMN và CEMK nội tiếp

b Chứng minh KE // CO

c Tính số đo cung ON của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBMN

Bài 6 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên

cung AB lấy hai điểm C, D sao cho sđ 0

60

CD và

C thuộc cung AD nhỏ Gọi E là giao điểm của AC

và BD, F là giao điểm của AD và BC

a Tính AEB và AFB

b Chứng minh ECFD nội tiếp, xác định tâm O’ đường tròn ngoại tiếp ECFD

c Chứng minh OD là tiếp tuyến của (O’)

Bài 7 Cho (O) và cung AB cố định có số đo 900 Một điểm C di động trên cung lớn AB sao cho

CAB nhọn Kẻ BNAC (NAC), đường thẳng

BN cắt (O) ở E (khác B) Kẻ AMBC (MBC), đường thẳng AM cắt (O) ở D (khácA) Đường thẳng

AE cắt BD ở I Chứng minh :

a Tính ACB và ANMB là tứ giác nội tiếp

b E, O, D thẳng hàng và ACBI là hình bình hành

b, Tìm giá trị của m sao cho điểm C(-2; m)  (P)

Câu 3: Giải bài tốn bằng cách lập hệ p trình

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu tổ thứ

nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày

thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo Biết rằng

trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ

thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày

may được bao nhiêu chiếc áo?

Câu 4: Từ điểm A ở bên ngồi đường trịn (O) kẻ

hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm) M

là điểm bất kì trên cung nhỏ BC Kẻ MI  AB,

MH BC, MK  AC (I, H, K là chân các đường

vuơng gĩc)

a Chứng minh tứ giác BIMH nội tiếp

b Chứng minh MH 2 = MI.MK

c Gọi P là giao điểm của IH và MB Q là giao điểm

của KH và MC C minh tứ giác MPHQ nội tiếp

Câu 5*: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 3: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phtrình

Tính kích thước của một hình chữ nhật, biết

rằng: Nếu tăng chiều dài thêm 20m và giảm chiều

rộng đi 1m thì diện tích khơng đổi Nếu giảm chiều

dài đi 10m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích

tăng thêm 30m2

Câu 4: Từ một điểm M ở ngồi đường trịn O bán

kính R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn O

bán kính R (với A, B là hai tiếp điểm) Qua A vẽ

đường thẳng song song với MB cắt đường trịn tâm

O tại E Đoạn ME cắt đường trịn tâm O tại F Hai

đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I Chứng minh:

a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường trịn

b) IB2 = IF.IA c) IM = IB

Câu 5: Cho dương x, y dương thỏa mãn 4xy = 1

Tìm GTNN của biểu thức: A =

y x

xy y

x





 ) 16 (

Câu 2: Xe tải lớn chở 3 chuyến và xe tải nhỏ chở

4 chuyến thì chuyển được tất cả 85 tấn hàng Biết 4 chuyến xe tải lớn chở nhiều hơn 5 chuyến xe tải nhỏ 10 tấn Hỏi mỗi loại xe chở mỗi chuyến bao nhiêu tấn hàng ?

Câu 3: Cho hệ phương trình 2

a) Giải hệ phương trình khi m = –1

b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình cĩ

nghiệm (x; y) thỏa điều kiện: x + y = 1

Câu 4: Cho ABC nhọn, các đường cao BD, CE a) Chứng minh: BEDC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax//ED

số đi qua điểm A(2 ; 5) và B( -1 ; 2)

Câu 3: Chu vi của một tam giác bằng 48cm Biết

cạnh lớn nhất bằng 20cm, hai cạnh cịn lại hơn kém

nhau 2 cm Tìm độ dài hai cạnh đĩ?

Câu 4: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O), các tiếp

tuyến tại B và C với đường trịn (O) cắt nhau tại E,

AE cắt đường trịn tại D ( khác điểm A)

a) Chứng minh rằng tứ giác OBEC nội tiếp

b) Từ E kẻ đường thẳng d song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại P, Q Chứng minh AC.AQ = AD.AE

c) ABC cần thêm ĐK gì thì A, O, E thẳng hàng d) Chứng minh rằng EP = EQ

Câu 5*: Biết a + b + c = 0 và a.b.c ≠0 Chứng minh:

Câu 2: Cho hệ phương trình: 2 2