CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC HÌNH học lớp 7 8 – 9

b Trong một tam giác thì góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.. c Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất.. d Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ cá

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 7- 8 – 9 A.LÍ THUYẾT

1.Các bất đẳng thức về góc

a) Trong một tam giác thì góc tù là góc lớn nhất

b) Trong một tam giác thì góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

2 Các bất dẳng thức về đoạn thẳng.

a) Cho ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC � AC

Dấu “=” xảy ra khi ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác ta luôn có: độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh và bé hơn tổng độ dài hai cạnh

c) Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất

d) Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ các đường vuông góc và đường xiên thì:

- Đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất

- Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại

- Trong hai đường xiên không bằng nhau thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

e) Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm đường tròn

Trong một đường tròn thì:

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

- Trong hai dây không bằng nhau dây nào cách xa tâm hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.

Ta cũng có:

- Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.

- Dây nào trương cung lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

3 Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

a) Trong một tam giác thì:

- Đối diện với góc lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

- Cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất

b) Trong hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và có góc xen giữa không bằng nhau thì:

- Đối diện với góc lớn hơn ta có cạnh thứ ba lớn hơn

- Đối diện với cạnh thứ ba lớn hơn ta có góc xen giữa lớn hơn

*Chú ý:

Ngoài các kiến thức hình học cơ bản trên, ta cũng thường sử dụng các bất đẳng thức đại số quen thuộc:

a)

b) Với hai số không âm:

- Nếu tổng của chúng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi hai số ấy bằng nhau

- Nếu tích của chúng không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số ấy bằng nhau

B CÁC PHƯƠNG PHÁP

Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thường dùng các phương pháp sau:

- Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc

- Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

- Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác và đường tròn tìm cực trị

- Vận dụng bất đẳng thức đại số

- Vận dụng diện tích tìm cực trị

C CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ

C.I CÁC BÀI TOÁN LỚP 7

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung diểm của cạnh BC và �BAM CAM � Chứng

minh: AB < AC

GIẢI:

Vẽ tia đối của tia MA, trên tia này lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét  MAB và  MDC có:

MA = MD(cách vẽ)

AMB DMC (đối đỉnh)

BM = MC (M là trung diểm cạnh BC)

Do đó  MAB =  MDC (c.g.c).

Suy ra AB = DC, �BAM �MDC

Xét  ADC có:

ADC CAD (BAM� > �CAM (giả thiết); BAM� = �MDC )

AC > DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Ta có DC < AC, AB = DC Suy ra AB < AC

Bài 2: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BDAC, CEAB (D�AC, E�AB).Chứng minh rằng AB – AC > BD – CE

GIẢI:

Trên cạnh AB lấy diểm F sao cho AF = AC

Vì AB > AC nên F nằm giữa A và B

Vẽ FG  AC, FH  BD (G �AC, H � BD)

Ta có FG  AC, BD  AC (giả thiết) � FG // BD.

Xét  GFD ( �FGD = 90o

) và  HDF (DHF� = 90o

)

có DF (cạnh chung), �GFD = �HDF (vì FG // BD).

Do đó  GFD =  HDF (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra FG = HD, GH = FH

Xét  GAF ( �GAF = 90o

) và  EAC ( �AEC = 90o

) có:

AF = AC

�

GAF (góc chung)

Do đó  GAF =  EAC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra FG = CE Do vậy GF = CE = HD

Ta có FH  BD nên FB > BH(quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Suy ra AB – AC > BD – HD Hay AB – AC > BD – CE

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA

lấy điểm E sao cho BD = CE Chứng minh rằng: BC < DE.

Gọi M là giao điểm của BC và DE

Vẽ DI  BC tại I, EK  BC tại K

 IDB =  KEC (cạnh huyền – góc nhọn)

�DI = EK, BI = CK

BC = BI + IC = CK + IC = IK = IM + MK < DM + ME = DE

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ AH  BC tại H

Chứng minh rằng: BC + AH > AB + AC.

GIẢI:

Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = AB

Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH

Ta có: BD = AB

�  BAD cân tại B � BAD� = �BDA

Mà BAD� + DAE� = 90o

, �BDA + HAD� = 90o Nên HAD� = DAE�

� HAD =  EAD (c.g.c) � �AHD AED�

DE  AC �DC > EC

Do đó AH + AC = AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AE + EC = AB + AC

Bài 5: Cho = B là điển trên tia Ax, C là điểm trên tia Ay (B, C khác A) Chứng

minh rằng: AB + AC 2BC.

GIẢI:

Vẽ Az là tia phân giác của góc xAy

Vẽ BM Az tại M, CN Az tại N

Gọi K là giảo điểm của Az và BC.

BM = AB, BM BK

Do đó AB BK AB 2BK

Tương tự có AC 2CK

Do đó AB + AC 2(BK + CK) = 2BC

Bài 6: Tam giác ABC có = , = 54, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho = 18 Chứng

minh rằng: BD < AC.

GIẢI:

Vẽ BE là tia phân giác của góc ABD ( E AD)

Từ E vẽ EF BD (F BD)

Ta có = = = 18

Xét ABE ( = ) và FBE ( = ) có:

BE (chung), =

Do đó ABE = FBE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AE = FE, = = 72

DFE có = 180 - 2.72 = 36 mà = nên = - 36 = 54

Xét DFE có < FD < FE Ta có FD < FE, AE = FE FD < AE

Mà = 36 EBC cân đỉnh E EB = EC

Ta có BF < EB (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Mà EB = EC nên BF < EC Do đó BD = BF + FD < EC + AE = AC

Bài 7: Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất, BM là đường trung tuyến Điểm

D nằm trên đoạn BM (D khác B) Chứng minh rằng >

GIẢI:

Trên tia đối của tia MD lấy E sao cho ME = MB

MAE = MCB (c.g.c) AE = BC

Lại có BC > AV nên AE > AB

ABE có AE > AB

Nên >

Mà > ( ABC có BC > AB) Vậy <

> > Do vậy >

Bài 8 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng : AB + AC >

2AM.

GIẢI:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét MAB và MDC có: MA = MD, (đối đỉnh)

MB = Mc (giả thiết)

Do đó MAB = MDC (c.g.c) AB = DC

Xét ADC có CD + AC > AD (Bất đẳng thức tam giác)

Do đó AB + AC > AD mà AD = 2AM

Suy ra AB + AC > 2AM

Bài 9: Cho tam giác ABC, M là điển nằm trong tam giác Chứng minh rằng:

MB + MC < AB + AC

GIẢI:

Vẽ đường thẳng BM cắt AC tại D

Vì M ở trong tam giác ABC nên D nằm giẵ A và C,

Suy ra: AC = AD + DC

Xét ABD có DB < AB + AD ( bất đẳng thức tam giác)

MB + MD < AB + AD (1)

Xét MDC có MC > DC + MD (2)

(bất đẳng thức tam giác)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

MB + MC + MD < AB + (AD + DC) MB + MC < AB + AC

Bài 10 Cho tam giác ABC, M là điểm trên tia phân giác góc ngoài đỉnh C Chứng minh rằng MA + MB > AC + BC.

GIẢI:

Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng

MC cắt đường thẳng BC tại D, cắt MC tại H

Xét CAH có CH vừa là đường cao ( CH AD),

vừa là đường phân giác (gt)

CAH cân tại C CA = CD, HA = HD

MA = MD (Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Xét MBD có: MD + MB > BD (Bất đẳng thức tam giác)

Mà BD = CD + BC = AC + BC Dó đó MA + MB > AC + BC

II.CÁC BÀI TOÁN LỚP 8.

Bài 1 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S ABCD AC.BD.

GIẢI:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vẽ BH, DK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC, DAC

Do đó SABCD = SABC + SDAC

= BH.AC + DK.AC = AC.(BH + DK) Mặt khác, BH OH BH OB và DK OK

DK OD

Mà OB + OD = BD, nên BH + DK BD

Vậy SABCD AC.BD

Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác.

Chứng minh rằng: AB + AC > AH + BH + CH.

Từ đó suy ra chu vi tam giác ABC lơn hơn (AH + BH + CH)

GIẢI:

Vẽ HD // AC, HE // AB (D AB, E AC)

Ta có HD // AC, BH AC (vì H là trực tâm ABC)

Nên HD BH DB > BH

Chứng minh tương tự ta cũng có EC > CH

Ta có: HD // AE, HE // DA

Tứ giác AEHD là hình bình hành AD = HE

AEH có HE + AE > AH AD + AE > AH

Như vậy AB + AC = AD + DB + AE + EC = (AD + AE) +BD + EC > AH + BH + CH Chưng minh tương tự ta có : AB + BC > AH + BH + CH, AC + BC > AH + BH + CH

Do đó 2(AB + BC + AC) > 3(AH + BH + CH)

Vậy AB + BC + AC > (AH + BH + CH)

Bài 3 Cho tam giác ABC có AB > BC Các đường phân giác trong là AD và CE Chứng minh rằng AE > DE > CD.

GIẢI:

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K

Ta có AD là đường phân giác trong của tam giác ABC

Nên và CE là đường phân giác trong của

tam giác ABC nên Mà AB > BC

Do đó < Vậy

ABC có DK // AC

theo định lí Ta-let trong tam giác ta có

Do đó + 1 < + 1

Hay KB > EB

K không trùng E Do vậy DE cắt AC, gọi M là giao điểm của DE và AC

Ta có > ( là góc ngoài của tam giác DAM)

= (gt) Do đó >

Xét ADE có > AE > DE (1)

Mặt khác = (gt), mà > ( là góc ngoài của CEM),

Do đó > Xét DCE có > DE > CD (2)

Từ (1) và (2) ta có AE > DE > CD

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2CD

So sánh và

GIẢI:

Vẽ AE là đường phân giác của tam giác ADB

Ta có > = nên AB > AD

ABD có AE là đường phân giác

> 1 EB > ED EB >

Gọi M là trung diểm của BD MB =

Vậy M nằm giữa B và E Nên <

ABM = ACD (c.g.c) Vậy <

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Trên AB, AC lấy M, N sao cho

AM = AN = AH Chứng minh rằng

GIẢI:

Gọi K là trung điểm cạnh BC

Xét ABC vuông tại A, AK là đường trung tuyến

AK = Ta có AH AK (vì AH HK)

Do đó SAMN = AM.AN = AH.AH AH.AK

Mà SABC = AH.BC = AH.AK Vậy

Bài 6 Cho tam giác OBC cân tại O Hai đường thẳng m và m’ lần lượt qua B và C song song với nhau và không cắt tam giác OBC Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng OC và m, D là giao điểm của hai đường thẳng MO và m’ Xác định vị trí của

m và m’ để tích AB.CD đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

Vẽ OH BC, OE // m (H, E BC) m // m’ (gt) nên OE // m’

ABC có OE // AB = (1);

BDC có OE // DC (2)

Cách 1: Từ (1), (2) ta có

OE = = 1

Do đó =

AB.CD 4OH2 (vì OE OH)

Dấu “=” xảy ra AB = CD và E H

m BC và m’ BC Cách 2: Từ (1), (2) ta có = Mà BE.EC (BE + EC)2 = BE2

Suy ra AB.CD 4.OE2 Mặt khác OE OH nên AB.CD 4.OH2

Dấu “=” xảy ra BE = EC, E H m BC; m’ BC

Bài 7 Tam giác ABC có diện tích S các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh

AB, BC, CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k CA.

a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k.

b) Với giá trị nào của k thì đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.Ta có

Lại có:

Do đó SBDE = ( 1 – k).kS

Tương tự ta có: SCFE = ( 1 – k).kS

SDAF = ( 1 – k).kS

Vì S không đổi nên SDEF đạt giá trị nhỏ nhất khi tam thức 1 – 3k + 3k2 đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có 1 – 3k + 3k2 =

Dấu “=” xảy ra

Vậy với k = thì diện tích đạt giá trị nhỏ nhất bằng Khi đó các điểm D, E, F theo thứ tự

là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA

Bài 8 Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chi vi nhỏ nhất.

Giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung

Tuyến AM Chu vi tam giác ABC bằng

P = AB + BC + AC

Mà BC = 2AM 2AH

Dấu “ = “ xảy ra khi H M

Ta có AB + AC

=

Dấu “=” xảy ra khi H M Do đó P = AB + BC + AC Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng tam giác ABCvuông cân tại A Bài 9 Cho tam giác vuông ABC vuông ở A AB = 4,1 cm; AC = 3,2 cm M là điểm thay đổi trên cạnh BC; gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác HMK Giải Tứ giác AHMK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật nên tam giác MHK vuông ở M

Diện tích tam giác MHK là S=

Áp dụng định lý TaLet ta được

Suy ra

Đáp số S lớn nhất bằng 1,64 (cm2) khi Hay M là trung điểm BC

Bài 10 Cho tứ giác ABCD có AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2

Chứng minh rằng S ABCD

GIẢI:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vẽ AH BD tại H, CK BD tại K

HAB vuông tại H AB2 = HA2 + HB2

KCD vuông tại K CD2 = KD2 + KC2

Nên AB2 + CD2 =

Tương tự có BC2 + AD2 =

Ta có =

HB2 + KD2 = KB2 + HD2

Ta có H K AC BD SABCD = AC.BD SABCD

Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm nằm trong hình chữ nhật Tính giá trị nhỏ

nhất của biểu thức AM.CM + BM.DM

GIẢI:

Qua M vẽ HK BC (H BC, K AD)

BC // AD nên HK AD

Vẽ điểm E ở ngoài hình chữ nhật ABCD

Sao cho AE = CM, DE = BM

MBC = EDA (c.c.c) SMBC = SEDA

SABCD = AB.BC = KH.BC = 2

= 2(SMBC + SMAD)

= 2(SEDA + SMAD )

= 2SMADE

= 2(SMAE + SMED)

Vẽ MI AE, MJ DE (I AE, J DE)

MI AM, MJ DE MI.ME MJ.ED và MJ.ED DE.DM

2SMAE AM.CM và 2SMED BM.DM

Do đó AM.CM + BM.DM SABCD (không đổi) Dấu “=” xảy ra I A, J D

Bài 12 Cho tam giác ABC, M là điểm cạnh BC

Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC

GIẢI:

Vẽ MD // AB (D AC) ABC có MD // AB

Suy ra MD =

ADM có AM < MD + DA

Do đó MA < + MA.BC < MC.AB + MB.AC

Bài 13 Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác (có thể ở trên cạnh) Chứng minh rằng MA.BC + MB.CA + MC.AB 4S ABC Dấu “=” xảy ra khi nào?

GIẢI:

Xét 2 trường hợp

a) ABC không có góc tù AM cắt BC tại D Vẽ BH AD, CK AD (H, K AD)

Ta có MA.BC = MA(BD + DC) MA(BH + CK)

= MA.BH +MA.CK = 2SMAB + 2SMAC Chứng minh tương tự ta có

MB.CA 2SMAB + 2SMBC.

MC.AB 2SMAC + 2SMBC

Do đó ta có: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC

Dấu “=” xảy ra M là trực tâm của ABC

b) ABC có một góc tù, giả sử >

Vẽ AB’ AC và AB’ = AB

M A và M nằm trong AB’C (nếu không ta

vẽ AC’ AB AC’ = AC và giải tương tự)

(AB =AB’) MB > MB’

Mà CB > CB’

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB > MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’

Theo a) ta có MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’ 4SAB’C = 2AB’.AC

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB > 2AB.AC > 4SABC

Tóm lại: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC

Dấu “=” xảy ra ABC không có góc tù và M là trực tâm của ABC

Bài 14 Cho tam giác ABC ( = ) Từ một điểm M trong tam giác vẽ MI BC, MJ CA,

MK AB (I BC, J CA, K AB) Xác định vị trí cảu điểm M sao cho tổng MI 2 + MJ 2 +

MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

Vẽ đường cao AH của ABC

Tứ giác AJMK là hình chữ nhật (vì = = = ) AM = JK

MKJ có = nên theo định lí Py-ta-go ta có

JK2= MK2+ MJ2

Do đó MJ2 + MK2 = MA2

Xét ba điểm M, A, I ta có MI + MA AI

AH IH AI AH

Ta có MI2 + MJ2 + MK2

= MI2 + MA2 AI2 AH2

Do đó MI2 + MJ2 + MK2 AH2 không đổi

MI = MA

Do đó “=” xảy ra M nằm giữa A và I M là trung điểm AH

I H

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cận tại A Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, L, M sao cho tam giác KLM vuông cận tại K Xác định vị trí của K, L, M

để diện tích tam giác KLM đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

Kẻ LH AB (H AB)

A C

M

B

H

A' X

Z

Y

22 0

28 0

N

Xét HLK và AKM có:

(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Và LK = MK (KLM vuông cân tại K)

Do đó HLK = AKM HK = AK, HK = AM

HBL có = ; =

HBL vuông tại H HL = BH

Đặt AK = x, AM = y Ta có AB = 2x + y

SABC = AB2 = (2x + y)2

= [5(x2 + y2) – (x – 2y)2] 5(x2 + y2) = KM2 = 5.SKLM (AKM có nên x2 + y2 = AK2 +

AM2 = KM2;KLM vuông cân nên SKLM = KM2) SKLM SABC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra x = 2y AK = AB, AM = AC

CÁC BÀI TOÁN LỚP 9.

Bài 1 Cho góc xOy = 50 o Giữa hai tia Ox, Oy lấy tia Oz sao cho góc xOz = 22 o Trên

Oz lấy điểm M sao cho OM = 67cm Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua điểm M

và cắt 2 tia Ox, Oy tương ứng tại A, B Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABO.

Giải

Ta chứng minh SOAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA = MB

Xét đường thẳng A’MB’ khác đường thẳng AMB, kẻ AN // Oy (N A’B’)

ANBB’ là hình bình hành

SOAB = SOANB’ < SOA’B’

Khi M là trung điểm của AB dựng hình bình hành OACB OC = 134 (cm)

Kẻ AH OC, đặt AH = x (cm) Ta có:

Và OH + HC = OC = 134 (cm)

Lại có: x = OH tan 220

x = HC tan 280

Bài 2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C thuộc bán kính OA, điểrm M thuộc cung AB Trên nửa mặt phẳng chứa M bờ AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Đường vuông góc với CM tại m cắt Ax, By theo thứ tự ở D, E a) Chứng minh các tam giác ADC và BCE đồng dạng.

b) Giả sử OA = R và C là trung điểm OA Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABED.

GIẢI

Ta chứng minh được