Chuyên đề tìm điểm biểu diễn của số phức

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng. A.[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z a bi= + , (a b, ∈ ) được biểu diễn bởi điểm M a b( ; )

 Nh ận xét:

- Nếu số phức z a bi= + , (a b, ∈ ) được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) thì z OM

- Nếu M N, lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức ,z z thì z z MN

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Cho điểm biểu diễn, tìm số phức tương ứng

 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

 Tìm cực trị của biểu thức liên quan đến modul số phức

BÀI T ẬP MẪU

Câu 21(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức

1 2

A Q( )1; 2 B P(−1; 2 ) C N(1; 2 − ) D M(− −1; 2 )

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm biểu diễn của số phức

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính ( )2

1 2

z= + i đưa về dạng = +z x yi

B2:Tìm điểm biểu diễn của số phức z

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

L ời giải

Ch ọn B

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= +a bi a b( , ∈  là điểm có tọa độ ) ( )a b;

Do đó, điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i là điểm có tọa độ (−1; 2 )

Bài tập tương tự và phát triển:

 M ức độ 1

D ẠNG TOÁN 21: TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC

Câu 1 Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức

L ời giải

Ch ọn A

Số phức z a bi có phần thực là 2 ảo là 1

Số phức cần tìm là z  2 i

Câu 2 Điểm M trong hình là điểm biểu diễn số phức z Tìm số phức z

Lời giải

Ch ọn C

Điểm (3; 4)M  biểu diễn số phức z    3 4i z 3 4i

Câu 3 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

L ời giải Chọn D

Điểm (2;1)M biểu diễn số phức z 2 i

M

-4

3 O

y

x

Câu 4 Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức   z a bi với a b, , ab0 và



M là diểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M  đối xứng với M qua Oy B M  đối xứng với M qua Ox

C M  đối xứng với M qua O D M  đối xứng M qua đường yx

L ời giải Chọn B

M là điểm biểu diễn cho số phức z  a bi M a b  ;



M là điểm biểu diễn cho số phức z  a bi M a ;b 

Vây, M  đối xứng với M qua Ox

Câu 5 Gọi A B C, , là các điểm trong mặt phẳng theo thứ tự biểu diễn số phức 23 , 3i i,1 i 2

Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức z Tìm z

A z 1 i B z 2 2 i C z 1 i D z 2 2 i

L ời giải Chọn D

Tọa độ A     2;3 ,B 3;1 ,C 1; 2 G 2; 2   z 2 2 i

Câu 6 Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z khác 0 1, 2

Khẳng định nào sai ?

A. z2 ON B z1z2 MN C z1z2 MN D z1 OM

L ời giải

Ch ọn C

Ta có z1 OM z, 2 ON z, 1z2 MN nên đáp án A, B, D đúng

Câu 7 Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z2 16z 17  Trên mặt 0

phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz?

A 1 1;2

2

M  



1;2 2

M  



1;1 4

M  



1;1 4

M  



 

L ời giải

Ch ọn B

  



  





2

0

1

2

2 2

w iz i  i   i





1;2 2

w

  

  là điểm biểu diễn số phức w iz

Câu 8 Gọi A,B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = + ;1 2i z2 = −5 i Tính độ dài đoạn

thẳng AB

L ời giải

Ch ọn B

Câu 9 Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z Môđun của z bằng

A 3 B 2 C 5 D 1

L ời giải

Ch ọn C

z     i z  

Câu 10 Gọi z là nghi0 ệm có phần ảo âm của phương trình 2

z  z  Điểm biểu của z có t0 ọa độ

là

A ( )2;1 B (−2;1) C (2; 1− ) D (− − 2; 1)

Lời giải

Ch ọn C

 M ức độ 2

Câu 1 Điểm M trong hình là điểm biểu diễn của số phức z Hỏi điểm nào sau đây biểu diễn số phức

A N(1; 5). B P(5; 5). C Q(1;1) D R(5;1).

Lời giải

Ch ọn C

Điểm (3; 2)M  là điểm biểu diễn số phức z 3 2iw z i z   3 2i i(32 )i

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn (1i z)  3 i H ỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm

, , ,

A Điểm P B Điểm Q C Điểm M D Điểm N

L ời giải

Ch ọn B

1





i

i có điểm biểu diễn là (1; 2)Q 

Câu 3 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A 1i2i B 1i23i C 3 i2

i

i

Lời giải

Ch ọn C

 2; 3

M nên biểu diễn số phức   i2 3

Ta có: 32 2 3

  

i

i

Câu 4 Cho số phức z 1 2i Điểm biểu diễn của số phức w iz là

A Q 1; 2 B N 2;1 C M1; 2  D P2;1/

L ời giải

Ch ọn B

1 2  2

w iz i i i Ứng với điểm biểu diễn có toạ độ  2;1

Câu 5 Cho hai số phức z1 1 2i

và z2  3 i Điểm biểu diễn của z z1 z2

là

A N4; 3  B M2; 5  C P 2; 1 D Q1;7

L ời giải

Ch ọn C

   

z z z i i i Ứng với điểm biểu diễn có toạ độ  2; 1

Câu 6 Cho số phức z 3 2i Tìm điểm biểu diễn của số phức w iz z

A M 5;5 B N5;5 C P5; 5  D Q 5; 5

L ời giải

Ch ọn B

3 2  3 2  5 5

w iz z i i i i Ứng với điểm có toạ độ 5;5

Câu 7 Điểm biểu diễn của số phức z thoả điều kiện 1i z  5 3i là

A M 1; 2 B N 4;1 C P 1; 4 D Q 1; 4

L ời giải

Ch ọn C

1





i

i Ứng với điểm có toạ độ  1; 4

Câu 8 Điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn z3z162i là

A M 4;1 B N4; 1  C P4;1 D Q 4; 1

L ời giải

Ch ọn A

Đặt  z x yi

Theo giả thiết ta có

4

Khi đó z ứng với điểm có toạ độ  4;1

Câu 9 Cho 2 số phức z1 1 i z, 2 2z1 có điểm biểu diễn là ,M N Độ dài MN bằng

A MN  2 B MN 2 C MN 10 D MN 5

L ời giải Chọn C

 

    1

22 2 1   2 2 2; 2

Câu 10 Điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn 1i z  2 i z 132i là

A M 3; 2 B N3; 2  C P3; 2 D Q 3; 2

L ời giải Chọn B

Đặt  z x yi

3 2

 M ức độ 3

Câu 1 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  2 i z là đường thẳng có phương

trình là

A 2x4y 13 0 B 4x2y 3 0 C 4x2y 3 0 D 2x4y 13 0

L ời giải

Ch ọn B

Theo đề, ta có: z  2 i z

2

     x yi i x yi

 x yi    x y i

x  x y x   yy

 x y 

Câu 2 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa z   2 i z 2i là đường thẳng có phương trình

A 4x2y 1 0 B 4x6y 1 0 C 4x2y 1 0 D 4x2y 1 0

L ời giải

Ch ọn D

Theo đề, ta có: z   2 i z 2i

2 2

 x  y i   x y i

x  x y  y x   yy

 x y 

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn z1i là số thực Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường

thẳng có phương trình

A x  y 1 0 B x y 0 C x  y 1 0 D x y 0

Lời giải

Ch ọn B

Gọi số phức  z x yi , x y, 

Ta có z1 i xyi1   i x y xy i là số thực nên x y 0

Câu 4 Cho z thỏa z   i z 1 2i Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 2 i z 1 là đường

thẳng có dạng

A x7y 9 0 B x7y 9 0 C x7y 9 0 D x7y 9 0

L ời giải

Ch ọn C

Gọi M x y  ;  là điểm biểu diễn  w x yi

2

 



Mà z   i z 1 2i

1 2

Câu 5 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa z23i 5 i là số thuần ảo đường thẳng có phương trình là

A 3x2y 1 0 B 2x3y 5 0 C 3x2y 1 0 D 2x3y 5 0

L ời giải

Ch ọn B

Gọi số phức  z x yi , x y, 

23  5   23  5 2 3  5 3 2 1

z i i là số thuần ảo nên phần thực 2x3y 5 0

Câu 6 Cho số phức z thỏa z i 1i z Tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm và

bán kính lần lượt là

A I 0;1 , R 2 B I0; 1 ,  R 2 C I 0;1 , R2 D I0; 1 ,  R2

L ời giải

Ch ọn B

Gọi z x yi x y , 

Ta có: z i 1i z  1 i z    x yi i 2 xyi

 2

 2  

2 2

x y  y  là đường tròn có tâm I0; 1 , bán kính 2  2

Câu 7 Cho số phức z thỏa zi  2 i 2 Tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm và

bán kính lần lượt là

A I1; 2 ,  R4 B I1;2 , R2 C I 1; 2 ,R2 D I 1; 2 ,R4

L ời giải Chọn B

Giả sử z x yi x y , 

Ta có: xyi i        2 i 2 2 y x 1i 2

Vậy tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là

1;2 , 2

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn z2i z 2 là số thuần ảo Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

đường tròn có bán kính bằng

A 2 B 2 2 C 4 D 2

Lời giải

Ch ọn D

ọi    

Ta có: z2i z  2 z z 2z 2iz 4i xyi x yi2xyi2i x yi4 i

2 2

x y  x y x y i

Vì z 2i z 2 là số thuần ảo nên 2 2   2 2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng 2

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn (z 3 )(i z3) là số thuần ảo Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng

A 9

2 

Lời giải

Ch ọn D

Gọi  z x yi , x y, 

Ta có: z3i z  3 z z 3z3iz 9i xyi x yi3xyi3i x yi9 i

2 2

x y  x y x y i

Vì z3i z 3 là số thuần ảo nên

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng 3 2

2

Câu 10 Cho các số phức z thỏa mãn z 2 5 Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

1 2 3

w i z là một đường tròn có bán kính bằng

L ời giải

Ch ọn A

Gọi w x yi,x y,  Khi đó ta có

 

z

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 2i z 3 là đường tròn có bán kính bằng 5 5

 M ức độ 4

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn 2

z m m với m là tham số thực thuộc  Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w (3 4 )i z2i là một đường tròn Bán kính nhỏ nhất của

đường tròn đó bằng:

A 20 B 4 C 22 D 5

Lời giải

Ch ọn A

Gọi  w x yix y, 



   2  2  2 2

Do đó, số phức w (3 4 )i z2i nằm trên đường tròn tâm I0; 2 ;  bán kính

2

Do đó, bán kính đường tròn nhỏ nhất là: Rmin 20

Câu 2 Cho z= +x yi thỏa z− −2 4i = −z 2i và z đạt giá trị nhỏ nhất Tính 3x−2y bằng

A 2 B 3 C 4 D 5

L ời giải Chọn A

Ta có: z− −2 4i = −z 2i

(x 2) (y 4)i x (y 2)i

(x 2) (y 4) x (y 2)

Khi đó: z =OM ⇒ zmin =OMmin

Tọa độ H d OH= ∩ thỏa 4

0

+ =



 − =

 2

2

x

y

=



Cách 2 Từ d y: = −4 x 2 2 2 2 2

Suy ra: zmin =2 2 ⇔ = ⇒ = ⇒x 2 y 2 3x−2y= 2

Cách 3 Sử dụng Cauchy – Schwarz, có

2 2 2 2

2 2

+

Lưu ý Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính | |zmin, thì nó là | |zmin =OH =d O d( ; )

Câu 3 Cho z  thỏa mãn x yi z      và z đạt giá trị nhỏ nhất Tìm 1 5i z 3 i 3xy

A 5

12 5

5 12

L ời giải

Ch ọn C

Ta có z             1 5i z 3 i x yi 1 5i x yi 3 i

2 2



Suy ra

min

z      y x x y

Câu 4 Cho z  thỏa mãn x yi z3i    và z z 2 i đạt giá trị nhỏ nhất Tìm x2y

A 1 B.1

3

L ời giải

Ch ọn A

Ta có z3i      z 2 i x y 3i    x 2 y 1i

 2 3 2  2 2 1 2

2 2



Suy ra

min

z        y x x y

Câu 5 Cho z thỏa z 1 2i    z 3i 1 Giá trị nhỏ nhất của z 2 2i bằng

5

L ời giải

Ch ọn B

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi.

z  i   z i  (x  1) (y 2)i    x 1 (y 3)i

   là đường thẳng d

min min

2 2

z  i  AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó:

  min

2



Câu 6 Cho các số phức z thỏa z  3 4i  4.Giá trị lớn nhất của z bằng

L ời giải

Ch ọn A

Gọi ( ; )M x y biểu diễn số phức z  x yi

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn tâm (3; 4)I  bán kính R  4

max

Câu 7 Xét các số phức z thỏa z  2 4i  5 Giá trị nhỏ nhất của z bằng

L ời giải

Ch ọn C

Gọi ( ; )M x y biểu diễn số phức z  x yi

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn tâm (2;4)I bán kính R  5

Câu 8 Xét các số phức z thỏa z  3 4i 2 Gọi z z là hai s1, 2 ố phức có môđun lớn nhất và nhỏ

nhất Tổng phần thực của z z b1, 2 ằng

L ời giải

Gọi ( ; )M x y biểu diễn số phức z  x yi.

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn ( )C tâm ( 3; 4) I   bán kính R  2

4 (3;4)

u





Tọa độ giao điểm của ( )C và OI là nghiệm của hệ phương trình

9 5 12 3

5 4

21

5 28 5

x

x

y

  





  



Vậy tổng phần thực của z z b1, 2 ằng 9 21 6

Câu 9 Xét các số phức z thỏa mãn    Gọi , iz 1 1 m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của biểu thức P  z Giá trị của biểu thức 2020M m bằng

L ời giải

Ch ọn C

Gọi ( ; )M x y biểu diễn số phức z  x yi

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn tâm (0;1)I bán kính R  1

Tọa độ giao điểm của ( )C và OI là (0;0),(0;2)

Vậy 2020M m 2018

Câu 10 Xét các số phức z thỏa mãn z− −2 3i = Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1

z + + lần lượt là i

Lời giải

Ch ọn B

Đặt z x yi= + với x y, ∈ 

Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M ∈( )I;1 với I( )2;3

z + + =i x+ + − +y = x+ + y−

Gọi A(−1;1) suy ra ( ) (2 )2

z+ + =i x+ + y− = AM

Dễ thấy AI = 13> nên 1 A nằm ngoài ( )I;1

Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn ( )I;1 tại B C, như hình vẽ

Có AB≤AM ≤AC nên max

min

13 1

13 1





A

M