Chuyên đề: Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị C đến các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M.. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị C một điểm sao cho k[r]

CHUYÊN ĐỀ: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

CHO TRƯỚC Tổng quát: Cho hàm số y f x   C Tìm điểm M C thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Giả sử M0x y0; 0   C với y0  f x 0 Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến một

phương trình theox , giải phương trình này được 0 x0 y0  f x 0 M0

Loại 1: Tìm điểm thuộc đồ thị liên quan dến tiếp tuyến

Bài 1: (ĐHNN – 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số 1 3 2

y x  x các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ

thị vuông góc với đường thẳng 1 2

y  x

4

3

M   M 

2

1

x



 Tìm những điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên

Đáp số: Hai điểm có hoành độ 1 2

2

x   

Bài 3: (ĐHDB – B 2003) Cho hàm số 2 1  

1

x

x





 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Đáp số: M12;3 , M20;1

Bài 4: (ĐHCĐ – 2001) Tìm điểm M thuộc   3 2

C y x  x  x sao cho tiếp tuyến của (C) tại M

đi qua gốc tọa độ

Đáp số: M  1;12

Bài 5: Cho hàm số

2

1

x y x



 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y 4 tất các điểm mà từ mỗi điểm đó

có thể kẻ tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc bằng 450

Đáp số: A1 1 2 2; 4 A2  1 2 2; 4

Bài 6: Cho hàm số 2 3  

2

x

x





 Tìm những điểm trên đồ thị (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) lập với trục Ox một góc dương 135 Viết phương trình các tiếp tuyến khi đó 0

Đáp số: y   và x 6 y   x 2

Bài 7: Cho hàm số 3 2  

2

x

x





 Tìm trên (H) những điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) có hệ số góc bằng 4 Viết phương trình các tiếp tuyến đó

Đáp số: y4x và 3 y4x 5

Bài 8: (ĐHAN – A 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số

2

2 1

y x

 



 các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị

Đáp số:

A     A     

Bài 9: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (1) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9

Đáp số: M0; 3 ,  M 2; 5

Bài 10: Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M của 1

1

x y x

 



 song song với đường thẳng d: y = - 2x

Đáp số: 1; 0 ( 7;0)

M  và M 

Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C)y x33x2 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song 1 song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Đáp số: A3;1  và B–1; –3

Loại 2: Tìm điểm liên quan đến khoảng cách và đối xứng

Bài 1: Tìm M  (C)

2

1

y

x



 để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

Đáp số: Hai điểm có hoành độ x M  1 4 23

Bài 2: (HVQHQT – D 1999) Cho hàm số 2  

3

x

x





 Tìm trên (C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

Đáp số: M13 5; 5 1 ,  M23 5; 5 1 

Bài 3: Tìm trên đồ thị

3

3

x

y  x  x hai điểm phân biệt M, N đối xứng hau qua trục tung

Đáp số: A(-3;16) và B(3;16)

Bài 4: (ĐHAN – 1997) Cho hàm số 2 1

3

x y x





 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Đáp số: Hai điểm có hoành độ x  3 7và d = 2 7

Bài 5: Cho hàm số 2  

1

x

x





 Tìm những điểm thuộc thuộc (C) cách đều hai điểm A0; 0 và

2; 2

B

Bài 6: Cho hàm số

2

y

x



 (1)

a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min

b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ

Đáp số: a

A     B     

b 1 1

2

OAB

S  OA OB

Bài 7: Cho hàm số  

1

x

x



 Tìm điểm M C có khoảng cách đến đường thẳng : 3x4y 0 bằng 1

2

1

x



 Tìm điểm M C sao cho khoảng cách

từ điểm M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung

Đáp số: Có hai điểm thỏa mãn là M1 2; 2 2 , M2 2; 2 2 

Bài 9: Cho hàm số

2

1 1

y x

 



 Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ

2

1 1

x

 



 Tìm tất cả những điểm M C sao cho tổng khoảng cách từ

M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp số:

M      M     

Bài 11: Cho hàm số 1

x y x

 



 (C)

a Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt giá trị lớn nhất

b Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

c Tìm hai điểm A và B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min

Đáp số:

a 3 1; 3 1

M   

min 3 1

d   b 3 1; 3 1

M   

;

M    

A     B    AB 

Bài 12: Tìm điểm N (x N >1) thuộc 2 1

2

x y

x





 sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất

Đáp số: N2; 5  

Bài 13: Tìm điểm M thuộc (C)

1

1 2







x

x

y sao cho khoảng cách từ điểm I(1;2)tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Đáp số: M   1 3 ; 2 3hoặc M   1 3 ; 2 3

Bài 16: Tìm hai điểm E và F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị  

2

1 1

x

 



 sao cho đoạn EF ngắn nhất

Đáp số: Hai điểm E và F có hoành độ

4

1 1 2



Bài 17: (ĐH KTQS – 2000) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số

2

2

y x



 có khoảng cách đến đường thẳng :y3x  là nhỏ nhất 6 0

Đáp số: Có hai điểm là 1: 3 5; , 2 5; 5

M   M   

4 10

d 

Bài 18: Tìm điểm M thuộc đồ thị 2

2

x y x





 sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất

Đáp số: M0; 1 

Bài 19: Cho hàm số 2

1

x y x





 (C) Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung

Bài 20: Tìm trên đồ thị (C) 2 4

1

x y x





 hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1)

Đáp số: A(0; 4) (2; 0) B

Bài 21: Tìm điểm M thuộc đồ thị y 3x 4

x 2





 sao cho M cách đều hai đường tiệm cận của đồ thị (C)

Đáp số: M 1;1 ; M1  24; 6

Bài 22: (ĐHNT_A 01) Cho

1

y

x



 Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ nhất

Đáp số: x  1 1 / 24 , d 22 2

Bài 23: Cho 1

1

x y

x





 CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận là một hằng số

Bài 24: (ĐHDL Hải Phòng_00) Cho 2

1

x y x





 Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai điểm O(0;0), B(2; 2)

Bài 25: Cho

2

5 2

y

x

 



 CMR tích khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đường tiệm cận là một hằng số

Bài 26: (ĐHSP TPHCM_D00) Cho

2

1

x x y

x



 Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Đáp số: Hai điểm thỏa mãn là A,B 4

và d = 2 2( 2 1)

Bài 27: (ĐHNT_99) Cho hàm số 1

1

y x

x

 

 Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị

Đáp số: Hai điểm thỏa mãn A, B 4

Bài 28: (ĐH Đà Nẵng_B98) Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách

đến hai tiệm cận nhỏ nhất

Đáp số: A(0; 1), B(-2; 3), d = 2

Bài toán 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách:

A Lý thuyết:

- Khoảng cách giữa hai điểm:

Cho A x A;y A,B x B;y B khi đó: AB x B x A2y B  y A2

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm M x y ( 0; 0) và đường thẳng :ax by  c 0, khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng

ax

d M

 



- Định lí Viét: Nếu phương trình ax2  bx   c 0 ( a  0)có hai nghiệm x1,x2 thì

1 2

b

a c

x x

a



  







B Bài tập:

Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số

2 3 3

y

x



 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao

cho AB = 1

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số

1

y

x



 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB nhỏ nhất

1

1

y x

x

  

 (C) a) Tìm m sao cho (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB 5

b) Tìm hai điểm M,N thuộc hai nhánh của (C) sao cho MN nhỏ nhất

Bài 4: Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số 2

3

x y x





 sao cho khoảng cách từ M đến các tiệm cận bằng nhau

Bài 5: Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(C) 2

y x

 



 tại điểm M( )C cắt hai tiệm cận tại P

và Q Cmr MP = MQ

Bài 6: Cho hàm số

2 4 4 1

y

x



 (C) a) Cmr tích khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai tiệm cận là không đổi

b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho: d M Ox( , )2 ( ,d M Oy)

Bài 7: Cmr với mọi m đồ thị hàm số 1 3 2

1 3

y x mx xm luôn có hai điểm cực tri, tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó nhỏ nhất

Bài 8: Cho hàm số

2

1

y

x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm điểm M trên đồ thị sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai tiệm cận nhỏ nhất

Bài 9:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2

1

y x

 



 b) Gọi M( )C có hoành độ x M m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( )C không phụ thuộc vào m

Bài 10: Cho hàm số

1

y x

 





a Khảo sát hàm số đã cho

b Xác định điểm A x y (( ;1 1) với x  ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao 1 1 điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất

Bài 11: Cho hàm số:

2

1

x mx y

x



 với m là tham số Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diện tích bằng 4

Bài 12:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2

1

y

x





2 Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận

là nhỏ nhất

Bài 13:

1 Khảo sát hàm số :

2

5 2

y x

 



 (C)

2 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một

hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M

3 Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 14: Tìm phương trình tt của (C):yx42x23 có khoảng cách đến điểm A(0;-3) bằng

65 5

Bài 15: Cho hàm số 2x + 1

y =

1 - x Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) với đồ thị ( C ) Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất

Bài 16: Tìm trên đồ thị (C): 2 1

1

x y x





 những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất

Đáp số: (0;1) và (-2;-3)

Bài 17: Tìm trên đồ thị (C): 2

3

x y x





 những điểm khoảng cách đến TCĐ và TCN bằng nhau

Bài 18: Tìm trên đồ thị (C): 2

1

x y x





 những điểm cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

Bài 19: Tìm trên đồ thị (C): 2

2

x y x





 những điểm cách đều hai trục tọa độ

Bài 20: Tìm trên đồ thị (C): 3

1

x y x





 những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai

lần khoảng cách từ đó đến trục tung

Bài 21: Tìm trên đồ thị (C): 2 1

3

x y x





 những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất