MỘT số DỤNG của ĐỊNH lý MENELAUS, CEVA

Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC.. Nhất là các kiến thức:

Trang 1

“ Học mà không nghĩ thì mất hết, nghĩ mà không học thì mỏi mệt.” 1 | P

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS, CEVA

I Nội dung kiến thức sử dụng trong chuyên đề:

1 Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)

Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi A'B. ' . ' 1

B C C A

A C B A C B

Chứng minh

* Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có

đúng 2 điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả

sử là B’, C’

  Qua A kẻ đường thẳng song song với BC

cắt đường thẳng B’C’ tại M

A C B A C B  A B AM A C 

  Gọi A’’ là giao của B’C’ với BC

Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B. ' . ' 1

'' ' '

B C C A

A C B A C B 

mà A'B. ' . ' 1

B C C A

A C B A C B  nên A''B '

'' '

A B

A C  A C Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngoài cạnh BC

Vậy A''B '

'' '

A B

A C  A C và A’, A’’ nằm ngoài cạnh BC suy ra A''  A' Do đó A’, B’, C’

thẳng hàng

* Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam giác ABC được chứng minh tương tự

2 Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734)

Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi A'B. ' . ' 1

B C C A

A C B A C B

Trang 2

Chứng minh

  Qua A kẻ đường thẳng song song

với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N

B A  AM C B  BC A C  AN

A C B A C B  AN AM BC 

  Gọi I là giao của BB’ và CC’

Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC

Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có A''B. ' . ' 1

'' ' '

B C C A

A C B A C B  mà A'B. ' . ' 1

B C C A

A C B A C B  nên A'B ''

' ''

A B

A C  A C Từ đó suy ra A'' A' Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy

3 Chú ý: HS cần nắm chắc các nội dung kiến thức hình học THCS Nhất là các kiến

thức:

- Định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác của tam giác,…

- Tứ giác nội tiếp

- Các phương pháp chứng minh thẳng hàng, đồng quy,…

4 Một số ứng dụng của định lý Menelaus, Ceva trong toán THCS:

- Chứng minh các tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau

- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

- Áp dụng để giải các bài tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,…

II Bài tập minh họa:

Bài 1 Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC tại P Chứng minh rằng: PA = 2PC

Lời giải

Áp dụng định lí Menelaus cho AMC với cát

tuyến BIP ta có: PC IA BM 1

2

PA  IA BM  nên PA = 2PC

Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho bài

toán này dẫn đến lời giải hay và rất ngắn gọn

P I

M

A

Trang 3

Bài 2 Cho ABC Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên

AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh rằng EF // BC

Lời giải

Áp dụng định lí Ceva cho ABC với các đường

đồng quy là AD, BF và CE ta có AE BD CF 1

EB DC FA

Vì BD = CD nên AE CF 1

EB FA suy ra EA FA

EB FC

Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC

Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu

hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông

thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh

Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi

EB  FC và áp dụng định lí Ta-let để thu được

kết quả hay và ngắn gọn

Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp

điểm của (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy

Lời giải

Gọi I là giao của QM và BD

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD

với 3 điểm Q, M, I thẳng hàng ta có

QA ID MB

QD IB MA  mà MA = QA nên suy ra

MB ID

QD IB 

Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC

nên NB ID 1 PC ID NB 1

DP IB   PD IB NC  , do đó theo

định lý Menelaus thì I, N, P thẳng hàng

Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O)

MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của CO và

F O

D

B

C A

E

Trang 4

BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng

(Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011)

Lời giải

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm

thẳng hàng là B, I, M ta có: AB OI CM 1

Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A,

I, F ta có: OI FB

Từ (1) và (2) ta có MA=FB

CM CF Do đó MF // AB (định lí Ta

90

MFC

Ta có EFBEBA(cùng phụ với góc EAB);

EBAEMC (tứ giác AMEB nội tiếp)

MECMFC90 Do đó: ME  EC (3)

MEN  90 (chắn nửa đtròn)  ME  EN (4)

Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng

Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, ABAC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ

A, B, C Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song

với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp

PC  DC và D là trung điểm của QS

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014)

Lời giải

a) Do AB AC nên Q nằm trên tia đối

của tia BA và R nằm trong đoạn CA,

từ đó Q, C nằm về cùng một phía của

đường thẳng BR

P

Q

R

S

E

F

H

A

B

C

Trang 5

Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFEBCA,

Do QR song song với EF nên AFEBQR

Từ đó suy ra BCABQR hay tứ giác BQCR nội

tiếp

b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên DB HB

AE  HA

Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên DC HC

AF  HA

Từ hai tỷ số trên ta được DB AE HB. AE FB.  1

DC  AF HC  AF EC

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:

 

PC EA FB   PC  AF EC

Từ (1) và (2) ta được PB DB  3

PC  DC

Do QR song song với EF nên theo định lí Thales DQ BD DS, CD

PF  BP PF CP Kết hợp với (3) ta được DQDS hay D là trung điểm của QS

c) Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM DQ DR.

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC. (4)

2

DC DB

DP DCDB  DB DCDB DPDC DC DPDB DB PCDC PB

  (đúng theo phần b) Do đó DP DM DB DC.  5

Từ (4) và (5) ta được DP DM DQ DR. suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường

tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

Bài 6 Cho tam giác ABC có ABAC. Trên các cạnh AB AC, lần lượt lấy các điểm E D, sao cho DEDC. Giả sử đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC tại F.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF chia đôi góc AED.

b) Chứng minh rằng BFECED.

(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)

Trang 6

Lời giải

a) Gọi M là trung điểm BE, G là giao điểm

của các đường thẳng EF AC,

Ta sẽ chứng minh GA EA

GD  ED

Áp dụng định lý Ménélaus cho ADM với cát

tuyến G E F, , ta có:

1

GD FM  EA  GD  FD EM

Lấy IBC sao cho DI AB

Khi đó do hai tam giác FMB FDI, đồng dạng nên

FD  DI

Do ABC cân, DI AB nên DCI cân, hay DI DCDE suy ra: FM BM BM

FD  DI  DE

Do M là trung điểm của BE nên EM MB do đó EA EA

EM MB

GD FD EM  DE BM  ED điều phải chứng minh

b) Đặt ABC ACB  ; DCEDEC  ; DEGGEA  Ta sẽ chứng minh

.

     Thật vậy:

Trong tam giác BEC có CBE  , BCE    suy ra

 

CEB         (1)

Do G E F, , thẳng hàng nên FEB  và do đó

 

CEB CEGBEF      (2)

Từ (1) và (2) suy ra      , điều phải chứng minh

Bài 7 Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân

giác của góc BCA, N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC Chứng minh rằng DE song song với MN









I

G

F M

E

A

D

Trang 7

Lời giải

Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt BC

tại I, kéo dài CL cắt AB tại J

Khi đó AM = MG AN = NI suy ra MN và BC

song song với nhau (1)

Vì AM = MG nên AF = FC

Gọi H là giao của LF và BC, ta có BH = CH

Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt

nhau tại F, theo định lý Ceva ta có BH CE LD 1

HC EL DB 

Vì BH = CH nên CE DB

EL  LD, suy ra DE và BC song song với nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra MM song song với DE

Bài 8 Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy

Lời giải

Cách 1: (Chứng minh đồng quy)

Gọi AM  EF = K

Theo định lý Talét ta có:

KM

AK BF

AF

 ;

AK

KM AE

CE

 ;

CM

BM

Suy ra

BF

AF

CM

BM

AE

CE

= 1

Áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có CF, BE ,

AM đồng quy

Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)

Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM 

BE = I

Ta có

BF

AF

=

BC

AN

;

MC

BC

=2;

AI

MI

=

AN BM

Suy ra

BF

AF

MC

BC

AI

MI

=

BC

AN

.2

AN

BM

=1

A

F

M

K E

E

A

F

M

N

I

Trang 8

Bài 9 Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E,

F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

Lời giải

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

AF = AE; BF = BD; CE = CD

Suy ra

BF

AF

CD

BD

AE

CE

=

BD

AE

CE

BD

AE

CE

=1

Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD,

BE, CF đồng quy

Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N

AD  CF = I Ta có :

CE

AE

DB

CB

AI

DI

=

CD

AF

BF

CB

AN

CD

=

BF

AF

AN

CB

=

AN

CB

AN

. =1

Áp dụng định lí Menelaus cho ACD thì

AD, BE, CF đồng quy

Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là

phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy

Lời giải

Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N

Vì HA là phân giác của góc A, HA là đường cao

nên AM = AN

Ta có:

BH

MA BD

AD

 ;

AN

CH AE

CE

 

1

.

AN

CH CH

BH BH

MA AE

CE

CH

BH

BD

AD

Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE,

CD đồng quy

Áp dụng định lý Menelaus cho ABM thì F, I, C

thẳng hàng

Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy

F

A

E

D

F

A

E

D

I

N

A

D

E

K

I

A

D

H

E

Trang 9

Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lượt tại M,

N, K Gọi AH  BE = I

Ta có:

BD

AD

=

BH

MA

=

BH

AN

và

AK

BH AI

HI



 .

BD

AD

CH

BH

AI

HI

=

AK

BH HC

BC BH

AN

.

AK

BC HC

AN

. =

AE

CE CE

AE

.

=1

Áp dụng định lí Menelaus cho ABH thì D, I, C

thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy

Bài 11 Cho ABC vuông tại A, đường cao AK Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy

Lời giải

Gọi D = AB  CE, I = AC  BG

Đặt AB = c, AC = b

Ta có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC



CK

BK

= 2

2

b

c

và

BD

AD

=

c

b

;

AI

CI

=

c

b

(do AIB  CIG)



BD

AD

CK

BK

AI

CI

=

c

b

2 2

b

c

b

=1

Áp dụng định lý Ceva cho ABC thì

AK, BG, CE đồng quy

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC

cắt BG tại M AK  BG tại O

Ta có

BD

AD

=

c

b

;

AO

KO

=

AM

BK

suy ra

BD

AD

CK

BC

AO

KO

=

c

b

CK

BC

AM

BK

=

c

b

AM

BC

CK

BK

=

c

b

AI

CI

2 2

b

c

=

c

b

c

b

2 2

b

c

=1

Áp dụng định lý Menelaus cho ABK

thì D, O, C thẳng hàng

Vậy AK, BG, CE đồng quy

H

A

B

G

E

C

K

D

I

F

H

A

B

G

E

C

K

D

I

F

M

O

Trang 10

III Bài tập đề nghị:

Bài 1 Cho tứ giác ABCD có M, N là giao của các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC

Đường thẳng AC cắt BD, MN tại I, J Chứng minh rằng JA IA

JC  IC

Bài 2 Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy ở O Gọi A1,

B1, C1 lần lượt là giao điểm các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài 3 Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối AB và Cd, AD và BC cắt nhau tại M, N

Chứng minh rằng các trung điểm I, J, K của AC, BD, MN thẳng hàng

Bài 4 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ lần lượt là

giao điểm của các cặp AB và DE, BC và EF, CD và AF Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

Bài 5 Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Điểm M

nằm trong tam giác ABC các điểm A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm của MA, MB, MC với B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh rằng A’A1, B’B1, C’C1 đồng quy

Bài 6 Cho tam giác ABC Một đường thẳng cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1,

C1 Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng của A1, B1, C1 qua trong điểm các cạnh

BC, CA, AB Chứng minh 3 điểm A2, B2, C2 thẳng hàng

Bài 7 Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác AM, BM, CM lần lượt cắt các

cạnh đối diện tại A1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt các cạnh

BC, CA, AB tại điểm thứ hai là A2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy

Bài 8 Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K Lấy điểm M nằm trên (O1) không trùng A và B Đường thẳng AM cắt (O2) tại điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) tại điểm thứ hai là C và đường thẳng AC cắt (O2) tại điểm thứ hai là Q Gọi H là giao điểm của PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H là trung điểm của PQ

Bài 9 Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao

cho AD cắt BC tại E Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K; tia OE cắt AB tại I Chứng minh rằng: IA KA

IB  KB

Trang 11