Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ thự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCMNguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

Nguyễn Nguyên Trang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

Nguyễn Nguyên Trang

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC

TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các nội dung nghiên cứu

và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủtrong mục Tài liệu tham khảo

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020

Nguyễn Nguyên Trang

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáocủa Thầy Nguyễn Bích Huy Em xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc của mình đến Thầy kính mến.

Em xin chân thành được tỏ lòng biết đến Quý Thầy Cô trong khoaToán của trường Đại học Sư phạm vì sự giảng dạy tận tình và sự quantâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện Luậnvăn

Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn

cổ vũ, động viên để em an tâm học tập và nghiên cứu

Mặc dù em đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian cóhạn nên Luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót Mong QuýThầy Cô sẽ phê bình để Luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 3 năm 2020

Nguyễn Nguyên Trang

Lời cam đoan

Chương 2 Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 Chương 3 Phương pháp sử dụng dãy lặp 38 Chương 4 Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42

A Bao đóng của tập hợp A

coA Bao lồi của tập hợp A

kxk Chuẩn của phần tửx trong không gian định chuẩnX

B (a; r ) Quả cầu mở tâma, bán kính r

B (a; r ) Quả cầu đóng tâma, bán kính r

L p (16p < ∞) Không gian các hàm khả tích cấpp

C (K) Không gian các hàm liên tục trên nónK

i K(F,D) Bậc topo của ánh xạ đa trịF trênDứng với nónK

MỞ ĐẦU

Từ những năm 1930, các nhà Toán học đã nhận thấy tầm quan trọngcủa việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị Lý thuyết về các ánh xạ đa trịđược nghiên cứu mạnh mẽ từ những năm 1950, xuất phát từ sự pháttriển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển của Khoa học, Kỹthuật và Kinh tế

Cho đến nay, Lý thuyết về các ánh xạ đa trị đã được phát triển kháhoàn chỉnh và đã tìm được các ứng dụng có giá trị trong Toán học,Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, , ví dụ như trong Lí thuyết phương trình

vi phân, Lí thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán về Kinh tế,

Ở một hướng khác, từ những năm 1940, trong các công trình nghiêncứu của M.Krein, A.Rutman, đã hình thành Lí thuyết về các phươngtrình trong không gian với thứ tự sinh bởi nón Lí thuyết này một mặtcho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất nghiệm của phương trình(như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, ), mặt khác nó cho phépnghiên cứu các phương trình không có tính liên tục, vốn rất thườnggặp ở các bài toán xuất phát trong Tự nhiên và Xã hội

Gần đây, các nhà Toán học đã kết hợp hai lý thuyết trên và nghiêncứu các bao hàm thức dạng

trong các không gian có thứ tự Hướng nghiên cứu này hứa hẹn đưa tớinhững kết quả Lí thuyết và Ứng dụng có giá trị.

Để nghiên cứu bài toán (1) thì tùy theo các tính chất của ánh xạ

F (tính đơn điệu, liên tục, compact, ) mà ta sẽ chọn phương phápthích hợp Một mặt, các nhà Toán học vẫn sử dụng các phương phápchung trong nghiên cứu bao hàm thức trong không gian không có thứ

tự nhưng với các chỉnh sửa cần thiết để có thể sử dụng quan hệ thứ tự.Mặt khác, để nghiên cứu các bao hàm thức mà các phương pháp chungkhông áp dụng được (như khiF không có tính chất liên tục, compact, ), các nhà Toán học đã dựa vào tính chất của ánh xạ có liên quanđến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi, ) để đưa ra các phương pháp đặcthù

Để tìm ra các kết quả mới cũng như để nghiên cứu các bài toán mớiphát sinh thì ta cần tìm hiểu đầy đủ các phương pháp nghiên cứu baohàm thức dạng (1) trong không gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu,phạm vi ứng dụng của mỗi phương pháp Luận văn này sẽ trình bàymột vài phương pháp cơ bản để nghiên cứu các bao hàm thức trongkhông gian có thứ tự

Mỗi x ∈ K\{θ} được gọi là dương.

Khi đó, cặp(X, K)được gọi là không gian Banach có thứ tự.

Nhận thấy quan hệ"6"là một quan hệ thứ tự Thật vậy, ta có:

3

Như vậy, 6 là một quan hệ thứ tự.

Mệnh đề 1 Giả sử 6 là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

1 x6y ⇒ x + z6y + z, λx6λy với mọi z ∈ X , với mọi λ>0.

2 Nếu x n6y n ∀n ∈ N∗và lim x n = x, lim y n = y thì x6y

3 (x n)n là dãy tăng, hội tụ về x thì x n6x∀n ∈ N∗.

Định nghĩa 1.1.2 NónKđược gọi là nón chuẩn nếu

∃N > 0 : θ6x6y ⇒ kxk6N °°y°°

Mệnh đề 2 Giả sử"6"là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó,

1 Nếu u6v thì đoạn 〈u, v〉 = {x ∈ X : u6x6v} bị chặn theo chuẩn.

2 Nếu x n6y n 6z n ∀n ∈ N∗, lim x n = lim z n = a thì lim y n = a

3 Nếu (x n)đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim x n = a

Chứng minh.

1 Lấyx tùy ý thuộc 〈u, v〉

Khi đó u6x 6v ⇒ θ6x − u 6v − u Lại có "6" là thứ tự sinh bởinón chuẩn nên

kx − uk6N ku − vk ⇒ kxk − kuk6N ku − vk ⇒ kxk6kuk + N ku − vk.

Do đó đoạn〈u, v〉 = {x ∈ X : u6x6v}bị chặn theo chuẩn

2 Với mọi số tự nhiênn, ta có:

Vậylim x n = a.

Định nghĩa 1.1.3 NónKđược gọi là nón chính quy (nón đều) nếu mọi

dãy tăng, bị chặn trên đều hội tụ.

∞

X

n=1

v n.Đặts n = u1+ u2+ + u n thìs n tăng, bị chặn trên bởiv nên hội tụ

Do đólim u n= 0, mâu thuẫn vớiku n k = 1 ∀n ∈ N∗

Vậy nón chính quy là nón chuẩn

Ví dụ 1 Nón các hàm không âm trongL p (16p < ∞)là nón chính quy

Định nghĩa 1.1.4 Kđược gọi là nón sinh nếuX = K − K.

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃u, v ∈ K : x = u − v

Ví dụ 2.

Nón các hàm không âm trongC (K), Lp là nón sinh

Mệnh đề 4 NếuKlà nón sinh thì ∃M > 0 thỏa

∀x ∈ X, ∃u, v ∈ K : x = u − v, kuk6M kxk, kvk6M kxk

Chứng minh.

• ĐặtC = K ∩ B(θ;1) − K ∩ B(θ;1), ta chứng minh∃r > 0 : B(θ; r ) ⊂ C.Thật vậy, X = ∪∞n=1 nC (doKlà nón sinh)

2B Ta xây dựng dãy(x n)thỏax n∈ 1

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1.5 Cho nónK Khi đó nón liên hợp (nón đối ngẫu) của

Kđược định nghĩa là:

K∗= { f ∈ X∗: f (x)>0∀x ∈ K}.

Trong đó X∗ là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không

gianX, là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênX.

Nhận thấyK∗thỏa hai tính chất đầu tiên trong định nghĩa nón

Như vậy,K∗ thỏa hai tính chất đầu của định nghĩa nón

Ngoài ra, có thể chứng minhK∗∩ (−K∗) = {θ X∗} ⇔ K − K = X

∃g ∈ X∗: g (x0) < g (y), ∀y ∈ K (1.1)Lấyx ∈ K, khi đó t x ∈ K t > 0, áp dụng (1.1), ta có:

g (x0) < g (t x), ∀t > 0hay 1

t g (x0) < g (x), ∀t > 0

Chot → +∞, ta được06g (x)hayg ∈ K∗.

Các kiến thức trong phần này được tham khảo từ ([2])

Định nghĩa 1.2.1 Giả sửXvàYlà hai tập hợp Ký hiệu2Ylà tập hợp tất

cả tập con củaY.

Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là các không gian Banach và F : D ⊂ X →

2Y\{;}là ánh xạ đa trị.

1 Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) trên D nếu

{x ∈ D : F (x) ⊂ V } (tương ứng {x ∈ D : F (x) ∩ V 6= ;}),

là mở trong D , với mọi tập con mở V ⊂ Y

2 Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn B ⊂ D ,

tập hợp F (B ) = [

x∈B

F (x) là compact tương đối.

3 Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp

G F = {(x, y) ∈ D × Y : y ∈ F (x)}.

Mệnh đề 6

1 Giả sử rằng F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D và nhận giá trị đóng và x n → x, y n ∈ F (x n ), y n → y Khi đó y ∈ F (x)

2 Nếu ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới trên D thì với bất kỳ dãy

x n → x và với mọi y ∈ F (x) , tồn tại dãy con {x n k}k và dãy {y k}sao cho

y k ∈ F (x n k)và y k → y

3 Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong

D × Y thì F là nửa liên tục trên trên D

2 (mâu thuẫn với{y n}hội tụ về y)

3 Giả sửF không là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trênD.

Khi đó, tồn tại tậpV mở trongY, trong khi tậpW = {x ∈ D : F (x) ⊂ V }

không là tập mở trongX, nghĩa là tồn tại x ∈ W màW không là lâncận củax.

Do đó,

B

µ

x, 1n

Như vậy ta có {(x n , y n )} ⊂ G F , (x n , y n ) → (x, y) vàG F là tập đóng nên

(x, y) ∈ G F, nghĩa là y ∈ F (x)

Trong khi đó,x ∈ W nênF (x) ⊂ V, do đóy ∈ V, mâu thuẫn

Vậy, ánh xạF là ánh xạ nửa liên tục trên trênD.

Bổ đề 1 Cho F :X → 2Y\{;}là ánh xạ nửa liên tục dưới, f :X → Ylà ánh

xạ liên tục, thỏa mãn: ∀² > 0 thì F (x) ∩ B(f (x), ²) 6= ; ∀x

Xét ánh xạ φ : X → 2Y\{;}xác định bởi φ(x) = F (x) ∩ B(f (x), ²)

Khi đó, φ là ánh xạ nửa liên tục dưới.

Chứng minh Nhắc lại định nghĩa nửa liên tục dưới:

Hàm F :X → 2Y\{;} được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu ∀V mở,chứa trongY, thì tập{x ∈ X : F (x) ∩ V 6= ;}là mở trongX

Lấy tậpV mở tùy ý trongX, ta chứng minh

Suy rax ∈ W Màx tùy ý nênW1∩ W2⊂ W.

Từ đóφlà ánh xạ nửa liên tục dưới

Các kiến thức trình bày tiếp theo được tham khảo từ trang 91 đến trang

99 của tài liệu ([9])

Định nghĩa 1.2.3 Một họ {U α}α∈I các tập con của không gianXđược gọi

là hữu hạn địa phương nếu mỗi điểm trongXđều có một lân cận W sao cho chỉ có hữu hạn α thỏa W ∩U α6= ;.

Định nghĩa 1.2.4 ChoXlà không gian topo, Z ⊂ X Ta nói họA các tập con củaXlà một phủ của Z hayA phủ Z nếu Z ⊂ ∪ B ⊂A B

HọA được gọi là một phủ của Z , phủ đóng, phủ mở, phủ hữu hạn địa phương, phủ rời rạc, phủ σ− rời rạc tương ứng nếuA phủ Z và họA có những tính chất trên.

Cho A, B là các tập con củaX (tương ứng phủ tập Z , với Z ⊂ X ) Ta nói rằng A làm mịn B nếu mỗi phần tử của A được chứa trong một phần tử nào đó của B

Định nghĩa 1.2.5 Một không gian topo Hausdorff X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở củaXđều có một phủ mở làm mịn hữu hạn địa phương.

para-Định lý 1.2.6 Mọi không gian metric đều là paracompact.

Do đó{V α,n}phủX.

Bây giờ, ta chứng minh rằng phủ{V α,n}là hữu hạn địa phương

Thật vậy, lấyx ∈ X, xét tập hợp

B = {β ∈ A |∃n ∈ N : x ∈ V β,n}

Giả sử rằngαlà phần tử nhỏ nhất củaB và để cho x ∈ V α,n

DoV α,n mở nên tồn tại j ∈ Nsao choB (x, 1

2j ) ⊂ V α,n

Ta chứng minhB (x, 1

2j +n)chỉ giao với hữu hạn các tập hợpV β,i vớii >

n + j và giao với hầu hết các tậpV β,i nếui < n + j

Trước tiên, xét trường hợpi >n + j > n

Tập hợpV β,i bao gồm các đĩa mở có bán kính 1

2i và có tâm là các điểmthỏa mãn điều kiện 1), 3)

Đặt biệt, từ 3) ta có thể suy ra rằng nếu y là tâm của một đĩa mở thì

y ∉ V α,n NhưngB (x, 1

2j ) ⊂ V α,n nênd (x, y)> 1

2j.Mặt khác,n + j > j + 1và i > j + 1, từ đó 1

Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp β < γ (Trường hợp β > γ

được xét hoàn toàn tương tự)

Để chỉ ra mâu thuẫn, ta chỉ cần chứng minh rằng vớip ∈ V β,i và q ∈ V γ,i

(được nêu ở trên) thìd (p, q)> 1

2j +n−1.Gọiy, zlần lượt là tâm của đĩaB (y, 1

2i ) ⊂ U βvà điều kiện 2) suy raz ∉ U β

Như vậy phủ{V α,n}hữu hạn địa phương

Tóm lại,U có phủ mở làm mịn hữu hạn địa phương là{V α,n}nênX làkhông gian paracompact

Vậy, không gian metric là không gian paracompact

Định nghĩa 1.2.7 Một không gian topo X được gọi là chuẩn tắc nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1 Mỗi điểm củaXlà tập đóng.

2 Với 2 tập hợp đóng A, B bất kỳ thỏa A ∩ B = ; thì tồn tại 2 tập mở

U , V thỏa A ⊂ U , B ⊂ V, U ∩ V = ;

Định lý 1.2.8 Mọi không gian paracompact đều chuẩn tắc.

Chứng minh.

Giả sửXlà không gian paracompact Trước tiên, ta chứng minhXchính

quy (regular) nghĩa là mọi lân cận mở của một điểm x ∈ Xđều chứa baođóng của vài lân cận mở khác củax.

Tức là ta cần chứng minh∀U1 mở, chứa x ∈ X, ∃U2 mở, chứa x và thỏa

U2⊂ U1.LấyU là một lân cận mở của điểmx ∈ X

Do Xlà không gian Hausdorff nên với mọi y ∈ X \U, tồn tại những tập

mở rời nhauU y , W y thỏay ∈ U y , x ∈ W y vàU y ∩ W y = ;

Khi đóU =

Ã[

y∈X \U

U y

!

∪U phủX.LấyW là một lân cận của điểmx

DoX là không gian paracompact nên U có phủ mở làm mịn hữu hạnđịa phươngV

GọiV1, V2, , V n là tất cả các tập con củaV và thỏaV i ∩ W 6= ;và

Ta chứng minhC ⊂ U:

GọiT là hợp tất cả các phần tử của phủV mà không chứa trongU

⇒ T = V1∪ V2∪ ∪ V m (m6n)

Bây giờ, ta chứng minh không gianXlà chuẩn tắc.

Lấy A vàB là hai tập đóng, rời nhau củaX

Do A ∩ B = ;nên A ⊂ X \B Do đó, ∀a ∈ A ⇒ a ∈ X \B, mà X \B là tập mởnên tồn tại lân cận mởZ a của a sao choC a = Z a ⊂ X \B

Bây giờ ta cần xây dựng một tập mởV chứaB và thỏaV ∩U = ;.

Với mỗib ∈ B, chọn một lân cậnW b mở củabthỏa chỉ tồn tại hữu hạn

Định nghĩa 1.2.9 Cho φ là một hàm liên tục trên một không gian topo

X.

supp(φ) = {x ∈ X : φ(x) 6= 0}.

Định nghĩa 1.2.10 Cho {U α}là một phủ mở của không gian topoX.

các hàm số liên tục φ α:X → [0;1]và thỏa mãn các tính chất sau:

1 Họ(φ α)là hữu hạn địa phương, nghĩa là mỗi điểm x ∈ X có một lân

cận V (x) chỉ có giao khác rỗng với hữu hạn giá của φ α ;

2. Xφ α (x) = 1 ∀x ∈ X ;

3 supp(φ α ) ⊂ U α ∀α

Đôi khi họ {U α}và{φ β}có chỉ số khác nhau Ở đây, ta giả định rằng với mọi β , tồn tại α sao cho supp(φ β ) ⊂ U α

Định nghĩa 1.2.11 (Phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương)

Một họB các hàm liên tục không âm trên một không gian topoXđược gọi là một phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương nếu với mỗi x ∈ X thì

có một lân cận U (x) và một tập con hữu hạn B (x) củaB thỏa mãn:

b∈B(x)

b(y) = 1, ∀y ∈ U (x)

ii) b(y) = 0, ∀b ∈ B\B(x), ∀y ∈ U (x)

Định lý 1.2.12 Trong không gian chuẩn tắc X, mọi phủ mở, hữu hạn địa phương U = {U α:α ∈ A } đều có phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ đó.

Giả sử rằngA là tập sắp thứ tự tốt vàP là tính chất: Nếu tất cả các phần

tử đứng trướcα ∈ A có tính chấtP thìαcũng có tính chất P (đặc biệt,phần tử nhỏ nhất củaA cũng phải có tính chất P) Khi đó, tất cả cácphần tử củaA đều có tính chấtP

Thật vậy, nếu tập hợp các phần tử của A không có tính chất P khácrỗng thì nó có phần tử nhỏ nhấtα0 Mà tất cả các phần tử trướcα0đều

có tính chấtP, do đó phần tửα0phải có tính chấtP (mâu thuẫn).Lấyα0∈ A

Giả sử rằng với mỗi phần tử α < α0, tồn tại các tập mở V α sao cho

Bây giờ, ta xây dựng phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủU

Thay vì xétU, ta xét V được xây dựng ở trên, trong đó V α ⊂ U α, nhậnthấyV là hữu hạn địa phương

DoXlà không gian chuẩn tắc nên tồn tại tập mởW αsao choV α ⊂ W α⊂

W α ⊂ U α

Theo Định lý Tietze mở rộng (Tietze extension Theorem), tồn tại một

ánh xạ liên tụcg α:X → [0;1]sao chog α(X\W α) = 0và g α (V α) = 1

α∈A

g α (x)

!

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.13 Mỗi phủ mởU của một không gian topo paracompactX

đều tồn tại một phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ đó.

Bổ đề 2 ChoX là không gian topo paracompact Nếu F :X → 2Y\{;} là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nhận giá trị lồi thì với mỗi ² > 0 , tồn tại hàm g liên tục thỏa d (g (x), F (x))6², ∀x ∈ X

Chứng minh.

Lấy² > 0, lấyx ∈ X Chọn y x ∈ F (x), ta cóB (y x,²)là tập mở trongY

DoF là ánh xạ nửa liên tục dưới nên tập hợpW x = {u ∈ X : F (u)∩B(y x,²) 6=

Với mỗiu ∈ X, ta cód (g (u), F (u))6²

Lấy y x i ∈ F (x i ) ⇒ F (u) ∩ B(y x i,²) 6= ;(doXlà không gian paracompact).Với mỗii đó, chọnz i ∈ F (u) ∩ B(y x i,²)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 7 Cho F : D ⊂ X → 2Y\{;}là ánh xạ nửa liên tục dưới, nhận giá trị lồi, đóng Khi đó tồn tại ánh xạ liên tục đơn f : D → Y sao cho

(2) với² = 1

2, tồn tại ánh xạ f1:X → Ythỏad ( f1(x), F (x))6 1

2.Giả sử có ánh xạ liên tục f k thỏa (a), (b) Ta chứng minh tồn tại f k+1

Như vậy, theo quy nạp, tồn tại dãy( f n)n∈N các ánh xạ liên tục từXvào

2n hội tụ nên( f n)là dãy Cauchy trong không gian Banach

L(X, Y)nên( f n)hội tụ đều về f trongL(X, Y)

Lại có f n là ánh xạ liên tục∀n nên f cũng liên tục

Mặt khác, ta cód ( f n (x), F (x))6 1

2n , n = 1, 2, , x ∈ X.Chon → +∞, ta đượcd ( f (x), F (x)) = 0 ∀x ∈ X