Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

Sinh viên Tăng Th Nga 1... Đó là phương pháp s mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12]... Ch ng minh... và mi n nh là không âm.. Xét phương trình sai phân Đ nh nghĩa 2.8... Ch ng minh.

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

L I C M ƠN

Trư c khi trình bày n i dung chính c a khóa lu n, em xin bày t lòng bi

t ơn sâu s c t i GS TS Nguy n H u Dư ngư i Th y đáng kính đã luôn t ntình ch b o giúp đ em trong su t th i gian qua

Nhân d p này em cũng xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i gia đình,

b n bè đã luôn bên em, c vũ, đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình

h c t p và th c hi n khóa lu n t t nghi p

M c dù có nhi u c g ng, song trong quá trình th c hi n khóa lu n em không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a Th y Cô và b n bè đ ng nghi p, đ khóa lu n đư c hoàn thi

n hơn

Em xin chân thành c m ơn!

Hà N i, ngày 06 tháng 06 năm 2015

Sinh viên Tăng Th Nga

1

Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo mo-

ment c a phương trình t a tuy n tính

2.3 Phương pháp s d ng Martingale và các b t đ ng th c

2.3.1 Dáng đi u đuôi c a phân ph i xác su t

5512

14

14

1936362.3.2 n đ nh ti m c n h u ch c ch n 402.3.3 Không n đ nh h u ch c ch n 43

M đu

Nghiên c u tính n đ nh c a m t h đ ng l c là m t bài toán h t s c quan

tr ng trong c lý thuy t l n th c hành Năm 1892, nhà toán h c n i ti ng A.M Lyapunov, trong b n lu n án ti n s c a mình, đã đưa ra hai phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a nghi m c a phương trình vi phân Đó là phương pháp s mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12] T đó đ n nay, bài toán này đã thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a nhi u nhà toán

h c và có nhi u k t qu sâu s c v c lý thuy t l n

ng d ng Chúng ta có th k đ n các nhà toán h c có nhi u đóng góp trong lĩnh v c này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] và nhi u nhà toán h c khác như X Mao [18]; L Arnol [2] Trong các h đ ng l c, h đư c mô t b i các phương trình sai phân đóngvai trò h t s c quan tr ng Chúng ta có th th y s xu t hi n nó trong nhi u bài toán th c t như là mô hình tăng trư ng c a qu n th ki u Leslie, mô hình đ ng h c kinh t đa lĩnh v c Leontief ho c là khi ta r i r c hóa đ tính toán nghi m c a m t phương trình vi phân, trong phân tích h th ng d li u

m u c a th ng kê Vi c phân tích d li u trong cơ khí, đi n, kĩ thu t đi u khi n và các v n đ th c t khác cũng ph i c n đ n các nghiên c u c a

phương trình sai phân ng u nhiên

Chính vì v y, v n đ nghiên c u tính n đ nh đ i v i nghi m c a phương trình sai phân là bài toán đư c r t nhi u ngư i quan tâm và phát tri n nhi

u phương pháp đ nghiên c u bài toán này Cũng như h đ ng l c kh vi, các phương pháp Lyapunov cũng đư c s d ng đ nghiên c u tính n đ nh

V i phương pháp hàm Lyapunov, ngư i ta xây d ng m t phi m hàm (g i làhàm Lyapunov) Phi m hàm này đóng vai

trò như là m t "chu n" hay như "phi m hàm năng lư ng" và các qu

3

đ o d c theo hàm này s gi m ho c tăng Đi u đó cho phép chúng ta bi t

đư c h s n đ nh ho c không n đ nh Như c đi m chính c a phương pháp này là các đi u ki n đưa ra ph thu c vào hàm đư c ch n nên nói chung ch

là đi u ki n đ

Phương pháp th hai đư c s d ng là phương pháp so sánh đây ta so sánh các qu đ o c a h v i các qu đ o c a h m t chi u Ưu đi m c a

phương pháp này chúng ta có th d dàng bi t h 1 chi u có

n đ nh hay không thông qua các tiêu chu n đơn gi n Tuy nhiên vi c so sách này không ph i lúc nào cũng th c hi n đư c vì các qu đ o c a h nhi

u chi u nói chung là r t ph c t p

Phương pháp ti p theo là s d ng các đ nh lý gi i h n đã có trong lý thuy t h i t c a các quá trình ng u nhiên (ch y u là các đ nh lý gi i h n trong lý thuy t martingale) V i phương pháp này ngư i ta phân tích quá trình thành t ng c a m t quá trình tăng (ho c gi m) v i m t martingale T

đó ta có th đưa ra k t lu n h h i t hay không

N i dung chính c a lu n văn bao g m 2 chương Trong chương 1 chúng tôi đưa vào các ki n th c t i thi u đ s d ng v sau Chương 2 là n i

dung chính c a b n Lu n văn Ph n 2.1 c a chương này đ c p đ n s

d ng hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh Trong đó chúng tôi trình bày các đi u ki n đáp ng tr ng thái đ xích Markov là n đ nh Trong m c 2.2 chúng tôi s d ng phương pháp so sánh v i h 1 chi u Đây là m t t ng quát hóa c a đ nh lý so sánh c a Ma và Caughey's [14] và s d ng đ nh lý này đ nghiên c u các đ nh lý n đ nh chung c a phương trình sai phân

ng u nhiên phi tuy n M c 2.3 chúng tôi tái l p l i các ý tư ng cơ b n t các

lý thuy t c a martingale cùng v i các k t qu v t p h i t N i dung chính c

C hương 1

Ki n th c chu n b

1.1 Các khái ni m cơ b n v xác su t

Gi s  là m t t p tuỳ ý khác r ng, là m t -đ i s các t p con c a  Khi đó,

c p (,) đư c g i là m t không gian đo

Gi s (,) là m t không gian đo M t ánh x P : R đư c g i

là đ đo xác su t trên n u

(i) P(A) 0 v iA (tính không âm);

(ii) P() = 1 (tính chu n hoá);

(iii) N u A n  (n = 1, 2, 3, ), A i  A j = A i A j =∅ (i = j) thì

P(=1A n) ==1 P(A n) (tính c ng tính đ m đư c)

Các đi u ki n (i)-(iii) đư c g i là h tiên đ Kolmogorov v xác su t B

ba (,, P) đư c g i là không gian xác su t

Đ nh nghĩa 1.1 Gi s (1,1) và (2,2) là hai không gian đo Ánh

x X : 1 2 g i là ánh x1/2 đo đư c n u v i m i B2 thì

X1(B)1

M nh đ 1.1 1 Gi s1,1 là hai -đ i s các t p con c a 1,2,2

là hai -đ i s các t p con c a 2 Khi đó, n u11,22 và X :

1 2 là ánh x1/2 đo đư c thì X là ánh x1/2 đo đư c

2 Gi s X : 1 2 là ánh x1/2 đo đư c, Y : 2 3 là ánh

x2/3 đo đư c Khi đó Y◦ X : 1 3 là ánh x1/3 đo đư c

3 Gi s2 = () Khi đó ánh x X : 1 2 là1/2 đo đư c khi và ch

khi X1(C)1 v i m i C

5

Đ nh nghĩa 1.2 Gi s (,, P) là

không gian xác su t, là - đ i

s con c a - đ i s Khi đó ánh x X :  R đư c g i là bi n ng u nhiên-

đo đư c n u nó là ánh x/(R) đo đư c (t c là v i m i B(R) thì

X1(B))

Trong trư ng h p đ c bi t, khi X là bi n ng u nhiên- đo đư c, thì

X đư c g i m t cách đơn gi n là bi n ng u nhiên

Đ nh nghĩa 1.3 Gi s (,, P) là không gian xác su t, X :  R là bi n ng

u nhiên và là trư ng con c a Khi đó, kỳ v ng có đi u

Đ nh nghĩa 1.5 Dãy các bi n ng u nhiên X = (X n) N đư c g i là

(n)martingale dư i n u các đi u ki n (i) và (ii) đư c th a mãn và

(iii') V i m < n, m, n N, E(X nm ) X m h.c.c

Đ nh nghĩa 1.6 Dãy các bi n ng u nhiên X = (X n)nN đư c g i là

(n)martingale trên n u các đi u ki n (i) và (ii) đư c th a mãn và

(iii") V i m < n, m, n N, E(X nm ) X m h.c.c

X n  X n1 Khi đónnN là m tn-hi u-martingale

B đ 1.2 Gi snnN , n N là môt dãy các bi n ng u nhiên đ c

l p sao cho En = 0 và En  <, v i m i n N Đ nh nghĩa

Z n = n=1 i Khi đóZ nnN là m tn-martingale vànnN , n N i

là m tn-hi u-martingale

B đ 1.3 Gi snnN là môt dãy các bi n ng u nhiên đ c l p sao cho En = 0

và En  <, v i m i n N và (n)nN là b l c đư c

sinh ra b innN Gi sy nnN là m t dãy các bi n ng u nhiênn-

đo đư c Đ t Z n+1 = n=0 y ii+1 Khi đóZ nnN là m tn-martingale i

B đ 1.6 N uX nnN là m t dãy ng u nhiên tăng v i EXn  <

v in N thìX nnN là m t martingale dư i

B đ 1.7 N uX nnN là m tn -martingale không âm, thì lim n X n

t n t i, h.c.c

Đ nh lý 1.1 Gi s r ngX nnN là m tn-martingale dư i Khi đó

t n t i m tn -martingaleM nnN và m t dãy ng u nhiên tăngn1-đo đư

cA nnN sao cho v in = 1, 2,

X n = M n + A n , h u ch c ch n (1.1)

7

Đ nh lý 1.2 Gi sX nnN là m tn-martingale dư i không

trong đó w n+1 = Zn Zn+1 + u n   n +  n+1 là m t quá trìnhn+1-đo

đư c Vì dãy Zn = n w là dãy tăng và -đo đư c v i EZi=1

là m tn -martingale vàC nnN quá trình tăng

n-đo đư c K t h p v i (1.2) ta thu đư c

m i n N thì

Z n+1 + (V n + C n ) = U n + M n+1 = Y n+1 (1.4)

8

Dãy ng u nhiênY nnN đư c đ nh nghĩa b i (1.4) là m tn-martingale

dư i không âm, và nó có th đư c phân tích duy nh t thành t ng c a

n -martingale dư iM nnN và m t dãy tăngn -đo đư c U n nN, đó

là Y n+1 = U n + M n+1 Theo đ nh lý (1.2) chúng ta k t lu n r ng

1 = U <Y n  (1.5)

Đi u này có nghĩa là lim n Y n t n t i h u ch c ch n trên 1 và dó đó

Y n+1 b ch n trên 1 h u ch c ch n Theo v trái c a (1.4) chúng ta có

khai tri n khác c a Y n+1, c th là

Y n+1 = Z n+1 + (V n + C n ) (1.6)

Vì Y n+1 b ch n h u ch c ch n trên 1 và quá trình Z n+1 là không âm,

quá trình V n + C n cũng b ch n trên 1 h u ch c ch n Vì V n và C n tăng, có

gi i h n h u h n h u ch c ch n limn V n và limn C n trên 1 Do đó gi i h n

Gi s f n và g n là các bi n ng u nhiên b ch n đ un-đo đư c Và

nnN là m t dãy các bi n ng u nhiên th a mãn gi thi t 1.1 Khi đó

trong đó O(h) 0 h i t đ u theo n khi h 0

Ch ng minh Đ cho ng n g n, chúng ta s gi s f n và g n là h ng s tương ng và s d ng kỳ v ng không có đi u ki n, ch ng minh trong trư ng h p t ng quát đư c th c hi n tương t Ch ng minh bao g m hai ph n chính, đ u tiên chúng tôi đưa ra công th c (1.9) đ i v i E 

Sau đó, chúng tôi s ch ng minh r ng  là m t x p x t t c a  Chính

xác hơn, chúng ta ch ng minh ư c lư ng sau đây cho sai s E[ ] =



c

2

c2

10

trong đó, bi n r = c1 + c2 và b đi U trên c n l y tích phân b i vì

(r) (r) = 0 trên U Bây gi chúng ta ư c lư ng

f ,g b ch n và h 0, d th y y đ u trên r E/U Do đó theo

đi u ki n (r 1 hf )3 b ch n b i 0, gi thi t p(y)y3 0 suy ra

sup p(y)y3/(r 1 hf )3 = O(h),

• DãyX n , n 1 h i t theo trung

Trong đó F n (x) và F (x) tương ng là hàm phân ph i c a các bi n ng u

nhiên X n và X, C(F ) là t p h p các đi m mà t i đó F (x) liên t c

k)k , k

x 0 = ϕ0

(1.10)

trong đó F : N Rd Rd , G : N Rd Rd th a mãn F (i, 0) = 0,

G(i, 0) = 0

Đ nh nghĩa 1.9 (i) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c

g i là n đ nh ng u nhiên hay n đ nh theo xác su t n u v i m i

c p (0; 1) và r > 0 t n t i  = ( , r, n0) > 0 sao cho

Px n  < r v i m i n n0 1

khix0 <  Ngư c l i, nghi m c a phương trình đư c g i là không

n đ nh

(ii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh ti m

c n ng u nhiên n u nó n đ nh ng u nhiên và v i m i (0; 1) t n

(ii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh t a

ti m c n moment c p p v i p > 0 n u t n t i 0 > 0 sao cho

Chương 2

Các phương pháp nghiên c u tính

n đ nh c a h sai phân ng u nhiên

2.1 Phương pháp s d ng hàm Lyapunov

ChoX n là m t xích Markov thu n nh t trong m t không gian

Balan , và V : R+ là m t hàm đo đư c đư c hi u như là m t

"chu n", m t "hàm Lyapunov" ho c "hàm năng lư ng" Trong các đ nh

lý m c này, chúng ta gi thi t r ng supx V (x) = Chúng tôi s

d ng các kí hi u chu n t c P x (A) = P (A/X0 = x) và Ex Y đ ch xác

su t có đi u ki n c a bi n c A hay kỳ v ng c a bi n ng u nhiên Y

theo đ đo xác su t P x Đ d ch chuy n (drift) c a hàm V trên xích Markov X sau n đơn v th i gian là hàm x Ex [V (X n ) V (X0)] D

dàng th y r ng n u P (n, x,) là xác su t chuy n c a quá trình Markov

X n thì Ex [V (X n ) V (X0)] = V (y)P (n, x, dy) V (x) Gi s r ng

g : N là m t hàm đo đư c khác Ta hi u g(x) như là hàm th i gian

ph thu c tr ng thái x Đ d ch chuy n c a V sau g(x) bư c là hàm

x Ex V (X g(x) ) V (X0) Cho h : R là hàm đo đư c th ba sao choh đư c xem như ư c

lư ng đ l n c a hàm đ d i sau th i gian g(x) bư c Gi s r ng:

• (L1) h b ch n dư i: inf x h(x) >

• (L2) h đ n cu i cùng dương: lim V (x) h(x) > 0

• (L3) g b ch n trên đ a phương: sup v(x)N g(x)/h(x) <,N > 0

• (L4) g đ n cu i cùng b ch n b i h: lim v(x) g(x)/h(x) <

Đ i v i m t t p đo đư c B b t kỳ ta đ nh nghĩa:

B = infn > 0 : X n  B

B đư c hi u là l n tr l i đ u tiên đ n B c a quá trình X n T p B đư c

g i là t p h i quy n u P x(B <) = 1 v ix B Nó đư c g i là h i

quy dương n u supxBExB <

Đ nh lý 2.1 Gi s r ng đ d ch chuy n c a V sau g(x) bư c th a mãn

"đi u ki n d ch chuy n"

Ex V (X g(x) ) V (X0)h(x)

Trong đó V , g, h th a mãn (L1)-(L4) Đ t

  N = infn > 0 : V (X n ) N Khi đó t n t i N0 > 0,N > N0 và x b t kì, chúng ta có Ex  <

Khi đó t gi thi t (L1) ta có H < Chúng ta đ nh nghĩa m t dãy

tăng t n các th i đi m d ng xây d ng b ng phương pháp đ quy như sau

cũng t o thành m t xích Markov (có

th không thu n nh t) B ng quy

n p theo n d dàng ch ng minh đư c r ng Ex V (Y n+1) Ex V (Y n ) + H

và Ex V (Y n ) < v i m i n và x Ta đ nh nghĩa th i đi m d ng

 = infn 1 : V (Y n ) N

Rõ ràng

 t, h.c.c

Gi s Fn là  đ i s sinh b i Y0, , Y n Lưu ý r ng  là th i đi m d ng

d báo đư c, t c là 1i Fi1 v i m i i Chúng ta đ nh nghĩa "năng

i=1 n

i=1 n+1 i=1

Ex (V (Y i)1i /Fi1)

1iEx (V (Y i )/Fi1)

1iEx (V (Y i1 ) h(Y i1 )/Fi1)

1i1Ex (V (Y i1 ) h(Y i1 )/Fi1)

Đ nh lý 2.1 ch cho chúng ta th y t p B N =x : V (x) <

N = V1(0, N ) là m t t p quay tr l i dương Đây là đ nh lý t ng quát

hóa nhi u k t qu đã bi t trư c đó Th t v y, n u ta ch n g(x) 1 và

h(x) =C11V (x)C2  ta nh n đư c tiêu chu n Foster-Lyapunov c đi n

[7] (n u = Z đư c g i là B đ Pakes [19]) M t cách tương đương,

tiêu chu n Foster-Lyapunov mu n tìm ki m hàm V sao cho Ex V (X1)

V (x) < < 0 khi V (x) > C2 và supV (x)C2 Ex V (X1) <

Trong trư ng h p g(x) = [V (x)] (ký hi u [y] là ph n nguyên c a y)

và h(x) = V (x) C11V (x)C2  ta nh n đư c tiêu chu n Meyn-Tweedie

[17] Chúng ta cũng có th tham kh o các k t qu này trong tài li u

tham kh o c a Fayolle, Malyshev và Menshikovnov

Chúng ta chú ý r ng đây chúng ta không đòi h i r ng t p h p ph i "nh

" theo nghĩa nó h u h n hay có tính compact T t nhiên n u ta quan tâm

đ n tính n đ nh, chúng ta c n ch ng minh r ng các t p compact là h i quydương Đ nh lý trên đ m b o cho chúng ta ngay c t p không compact cũng h i quy dương

Ta cũng chú ý r ng đi u ki n (L4) không ch có tính ch t k thu t

trong đó 0 < p k < 1,k 2 và p k  1, khi k Như v y bư c nh y

c a quá trình có kích thư c +1 ; ho c có bư c nh yk n u t tr ng thái

k ngay l p t c chuy n đ n tr ng thái 1 Ta gi s q k = 1/k, k 2 Khi

Do đó chu i Markov không th h i quy dương Đ t

V (k) = log(1 log k), g(k) = k2

Chúng ta có th ư c lư ng đ d ch chuy n

và th y r ng

Ex k V (X g(k) ) V (k)h(k), (2.4)

trong đó h(k) = c1V k  c2, v i c1, c2 là h ng s dương D th y r ng (L1)-(L3)

đư c th a mãn, nhưng (L4) thì không Đi u này gi i thích t i

sao đ nh lý 2.1 không áp d ng đư c m c dù đ l ch âm

Chúng ta xét trư ng h p đ c bi t khi xích Markov (X n) đư c cho b i

phương trình sai phân Cho và Y là hai không gian Balan, f :

 Y là hàm đo đư c Xét phương trình

X n+1 = f (X n , n+1 ), n = 0, 1, 2, , (2.5)

trong đó (X n) là dãy bi n ng u nhiên đ c l p, cùng phân ph i, nh n giá tr

trên Y , có phân ph i xác su t chung là µ() Ta ch ng minh (X n)

là quá trình Markov thu n nh t Th t v y, g i Fn là đ i s sinh b i

2.2 Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo mo-

ment c a phương trình t a tuy n tính

Gi s A k(),   (k = 0, 1, 2, ) là ma tr n ng u nhiên đ c l p

c n n tương ng Ta ký hi u N0 là t p các s nguyên không âm, R+

là t p các s th c không âm

19

Xét phương trình sai phân ng u nhiên tuy n tính và phương trình sai phân ng u nhiên có nhi u dư i đây

x k+1 = A k()xk , k N0 (2.6)

và

x k+1 = A k()xk + f (k, x k ), k N0 (2.7)

trong đó, x k Rd và f là hàm liên t c xác đ nh trên N0 Rd, nh n giá

tr trên Rd v i f (k, 0) = 0 v i m i k N0 Gi s r ng đi u ki n ban

đ u là bi n ng u nhiên x0 nh n giá tr trong Rn , đ c l p v iA k()

Trư c h t, chúng ta đưa ra các đ nh nghĩa liên quan t i các khái ni m

ii) n đ nh m nh t a-ti m c n trung bình c p p n u:

lim E( A m1 A n p) = 0 v i m > n 0

Đ nh nghĩa 2.3 Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i

t c đ nhanh c p (K, p, ) n u t n t i m t h ng s K 1 p sao cho

2

E( A m1 A n ) K(n + 1) p /m p v im > n 0

Đ nh nghĩa 2.4 Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i t c

đ nhanh c p (K, p, ) n u t n t i m t h ng s K 1 p và 0 <  < 1

2

sao cho

E( A m1 A n ) K(1/m) pmn+1 v im > n 0

Đ nh nghĩa 2.5 Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i

t c đ nhanh c p (, t, p) n u t n t i các dãy dươngn  vàt n sao

cho (n + 1) pn  0 khi n và

E( A m1 A n )  m t n

Ph n ti p theo chúng ta đưa ra các đ nh nghĩa liên quan đ n tính n

đ nh ng u nhiên đ i v i nghi m t m thư ng c a phương trình(2.7)

Đ nh nghĩa 2.6 Nghi m t m thư ng c a (2.7) đư c g i là

Chúng tôi đưa ra m t s b đ c n thi t đ s d ng trong vi c ch ng minh các đ nh lý liên quan đ n tính n đ nh

B đ 2.1 N u a i  0 v i m i s nguyên không âm i, thì tích vô h n

Ký hi u [y] là ph n nguyên c a y Khi đó,

Ti p theo chúng tôi s trình bày b đ mà đóng vai trò cơ s cho ph n này

B đ 2.3 Gi s F (n, s, u) : N0 N0 R+ R+ là m t hàm liên t c, đơn đi u

không gi m theo u và gi s n  vàx n là hai dãy dương

th a mãn các đi u ki n tương ng sau:

Hơn n a, gi s r ng các đi u ki n sau đây th a mãn v i m i n > s

(a) 0 < (n) 1 và F (n, s, u) F (n, s, u),  1, ,

(b) (n) 1 và F (n, s, u) F (n, s, u), 0  

1

Khi đó,

N u (a) th a mãn, thì x  (n) v i m i n N v i đi u ki n

x0 (0)0

N u (b) th a mãn, thì x n n=0 (i) n v i m i n N0 v i đi u ki n i

x0 (0)0

22

đi u ki n () n u F (n, u) F (n, u) v i 0   1

Trong ph n này chúng ta ch ng minh các đ nh lý n đ nh c a các phương trình sai phân ng u nhiên phi tuy n

Ký hiêu ∆ là toán t sai phân trên các dãy đư c đ nh nghĩa b i

Tuy nhiên trong các bài toán liên quan đ n kinh t , v t lí và các h

đi u khi n, ngư i ta đòi h i tính không âm c a các bi n và các giá tr c a

F Vì th , chúng ta có các đ nh nghĩa sau v n đ nh c a nghi m t m thư

23

và mi n nh là không âm Cho F : N0 R+ R+ th a mãn đi u ki n,

F (n, 0) = 0 v i m i n Xét phương trình sai phân

Đ nh nghĩa 2.8 D dàng th y v n 0 là nghi m c a (2.8) Nghi m

t m thư ng c a phương trình sai phân (2.8) là n đ nh n u v i  > 0

b t kỳ, t n t i m t () > 0 sao cho v i m i n N0

0 <  n < 

mi n là 0 < 0 < ()

Tính n đ nh ti m c n c a nghi m t m thư ng c a phương trình sai

phân đư c đ nh nghĩa gi ng như (S3) trong đ nh nghĩa 2.7 Chúng ta b t

đ u v i vi c nghiên c u tính n đ nh c a trung bình c p 1 c a phương

trình (2.8)

Đ nh lý 2.2 Gi s r ng các đi u ki n sau đây đư c th a mãn đ i v i

phương trình sai phân ng u nhiên (2.7) :

(i) Nghi m c a phương trình (2.6) là n đ nh m nh trung bình c p m t

v i b c C,

(ii) E( f (n, x) ) F (n, E( x )), F (n, 0) = 0 v i m i n N0, trong đó

x :  Rd là m t bi n ng u nhiên và F (n, u) : N0 R+ R+ là

m t hàm liên t c, đơn đi u không gi m theo u v i m i n N0,

(iii) Nghi m t m thư ng c a phương trình sai phân



A jf (s, x s ) v i m i n N0 (2.10)

Do bi n ng u nhiên đi u ki n ban đ u x0 đ c l p v i m i A k() (k N0)

và đi u ki n (i) c a đ nh lý đư c th a mãn, ta có

H qu 2.1 Gi s r ng các đi u ki n sau đây đư c th a mãn đ i v i

phương trình sai phân ng u nhiên (2.7):

(iv) Nghi m c a phương trình (2.6) là n đ nh trung bình c p m t m nh

v i b c C,

(v) E( f (n, x) ) B(n)E( x ), B(n) 0 v i m i n N0

N u chu i B(i) h i t thì nghi m t m thư ng c a (2.7) là n đ nh i=0

trung bình c p m t

Ch ng minh Đ t F (n, u) = B(n).u, u R+ v i m i n N0 Khi đó

nghi m c a phương trình sai phân ∆n = CF (n,  n) có d ng